10.3: Ділянки Боде
- Page ID
- 33751
Графік Боде - це графічна техніка прогнозування відповіді, яка корисна як для проектування схем, так і для аналізу. Він названий на честь Хендріка Вейда Боде, американського інженера, відомого своєю роботою в теорії систем управління та телекомунікацій. Ділянка Боде - це, насправді, пара ділянок: Один графіки посилення сигналу або втрати системи в порівнянні з частотою, а інший деталізує фазу ланцюга проти частоти. Обидва ці пункти дуже важливі при проектуванні добре поводяться, оптимальних схем.
Як правило, графіки Боде малюються з логарифмічними осями частоти, віссю посилення децибел та фазовою віссю в градусах. Для початку давайте подивимося на сюжет посилення. Типовий графік посилення показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\). Пам'ятайте, «посилення» можуть бути дробовими, як при дільнику напруги.
Зверніть увагу, як ділянка відносно рівна в середній або середній смузі, області. Значення посилення в цьому регіоні відоме як посилення середньої смуги. У чисто пасивних ланцюгах це значення може бути дробовим (тобто негативним значенням дБ). На будь-якій крайності області середньої смуги посилення починає зменшуватися. Графік посилення показує дві важливі\(f_1\) частоти, і\(f_2\). \(f_1\)нижня частота розриву, а\(f_2\) верхня частота розриву. Коефіцієнт посилення на частотах розриву на 3 дБ менше, ніж коефіцієнт посилення середньої смуги. Ці частоти також відомі як точки напівпотужності, або кутові частоти. Зазвичай підсилювачі використовуються лише для сигналів між\(f_1\) і\(f_2\). Точна форма областей відкидання буде залежати від конструкції схеми. Наприклад, можна конструювати підсилювачі без нижчої частоти розриву (тобто підсилювач постійного струму), однак всі підсилювачі будуть демонструвати верхній розрив. Точки розриву викликані наявністю реакційних опорів ланцюга, як правило, зчеплення та бродячих ємностей. Графік посилення - це підсумовування відгуку середньої смуги з верхньою та нижньою мережами, що обмежують частоту. Давайте подивимося на нижній розрив,\(f_1\).
Свинець Мережа Посилення Відповідь
Зниження коефіцієнта посилення низьких частот викликано провідними мережами. Загальна провідна мережа показана на малюнку\(\PageIndex{2}\). Свою назву він отримав від того, що вихідна напруга, що розвивається\(R\) поперек, веде на вхід. На дуже високих частотах схема буде по суті резистивної. Концептуально подумайте про це як про простий дільник напруги. Коефіцієнт дільника залежить від реактивного опору\(C\). У міру падіння вхідної частоти\(X_c\) збільшується. Це робить\(V_{out}\) зменшення. На дуже високих частотах\(X_c \ll R\), де, приблизно\(V_{out}\) дорівнює\(V_{in}\). Це можна побачити графічно на малюнку\(\PageIndex{3}\), де нормалізується вісь частоти\(f_c\). Частота розриву (тобто частота, при якій сигнал зменшився на 3 дБ) знаходиться за допомогою стандартного рівняння,
\[f_c = \frac{1}{2\pi RC} \nonumber \]
Відповідь нижче\(f_c\) буде прямою лінією, якщо використовуються вісь посилення децибел та вісь логарифмічної частоти. Це робить для дуже швидкого та зручного ескізу реакції схеми. Нахил цієї лінії становить 6 дБ на октаву (октава - це подвоєння або скорочення вдвічі частоти, наприклад, 800 Гц - це 3 октави вище 100 Гц) 1. Цей діапазон охоплює два рази по частоті. Цей нахил також може бути виражений як 20 дБ на десятиліття, де десятиліття - це коефіцієнт 10 за частотою. З розумною точністю ця крива може бути наближена у вигляді двох відрізків ліній, званих асимптотами, показаними на малюнку\(\PageIndex{3}\) (синій колір). Форма цієї кривої однакова для будь-якої свинцевої мережі. Через це дуже легко знайти приблизний коефіцієнт посилення на будь-якій заданій частоті, поки\(f_c\) відомо. Не обов'язково проходити розрахунки реактивного опору і фазору. Щоб створити загальне рівняння відгуку, почніть з правила дільника напруги, щоб знайти коефіцієнт посилення:
\[\frac{V_{out}}{V_{i n}} = \frac{R}{R− j X_c} \nonumber \]
\[\frac{V_{out}}{V_{i n}} = \frac{R\angle 0}{\sqrt{R^2+X_c^2} \angle − \arctan \frac{X_c}{R}} \nonumber \]
Величина цього є,
\[|A_v| = \frac{R}{\sqrt{R^2+X_c^2}} \\ |A_v| = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{X_c^2}{R^2}}} \label{10.9} \]
Нагадуючи, що,
\[f_c = \frac{1}{2\pi RC} \nonumber \]
ми можемо сказати,
\[R = \frac{1}{2\pi f_cC} \nonumber \]
За будь-яку частоту інтересу\(f\),
\[X_c = \frac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]
Прирівнювання двох попередніх рівнянь дає,
\[\frac{f_c}{f} = \frac{X_c}{R} \label{10.10} \]
Заміна рівняння\ ref {10.10} у рівнянні\ ref {10.9} дає,
\[A_v = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{f_c^2}{f^2}}} \label{10.11} \]
Для вираження\(A_v\) в дБ замініть рівняння\ ref {10.11} на рівняння 10.2.5.
\[A'_v = 20 \log_{10} \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{f_c^2}{f^2}}} \nonumber \]
Після спрощення кінцевий результат:
\[A'_v = −10 \log_{10} \left( 1+ \frac{f_c^2}{f^2} \right) \label{10.12} \]
Де
\(f_c\)це критична частота,
\(f\)це частота зацікавленості,
\(A'_v\)це децибел посилення на частоті інтересу.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Ланцюг має меншу частоту розриву 40 Гц. Скільки сигналу втрачається при 10 Гц?
\[A'_v = −10 \log_{10} \left( 1+ \frac{f_c^2}{f^2} \right) \nonumber \]
\[A'_v = −10 \log_{10} \left( 1+ \frac{40^2}{10^2} \right) \nonumber \]
\[A'_v = −12.3 dB \nonumber \]
Іншими словами, рівень сигналу на 12,3 дБ нижче, ніж в середній смузі. Зверніть увагу, що 10 Гц на 2 октави нижче частоти розриву. Оскільки нахил зрізу становить 6 дБ на октаву, кожна октава втрачає 6 дБ. Отже, приблизний результат становить −12 дБ, який перевіряє точний результат. Без провідної мережі коефіцієнт посилення залишався б на рівні 0 дБ аж до постійного струму (0 Гц.)
Свинець Мережа Фаза Відповідь
На дуже низьких частотах схема Рисунок в\(\PageIndex{2}\) значній мірі ємнісна. Через це вихідна напруга розвивалося на\(R\) відведеннях на 90 градусів. На дуже високих частотах схема буде в значній мірі резистивної. У цей момент\(V_{out}\) буде перебувати в фазі с\(V_{in}\). На критичній частоті\(V_{out}\) призведе на 45 градусів. Загальний фазовий графік показаний на малюнку\(\PageIndex{4}\). Як і у випадку з графіком посилення, форма фазового графіка однакова для будь-якої провідної мережі. Загальне рівняння фази можна отримати з дільника напруги:
\[\frac{V_{out}}{V_{i n}} = \frac{R}{R− j X_c} \nonumber \]
\[\frac{V_{out}}{V_{i n}} = \frac{R\angle 0}{\sqrt{R^2+X_c^2} \angle − \arctan \frac{X_c}{R}} \nonumber \]
Фазовою частиною цього є,
\[\theta = \arctan \frac{X_c}{R} \nonumber \]
Використовуючи рівняння 1.6, це спрощує,
\[\theta = \arctan \frac{f_c}{f} \label{10.13} \]
Де
\(f_c\)це критична частота,
\(f\)це частота зацікавленості,
\(\theta\)- фазовий кут на частоті, що цікавить.
Часто достатньо наближення, такого як синя лінія\(\PageIndex{4}\) на малюнку. Використовуючи Equation\ ref {10.13}, ви можете показати, що це наближення вимкнено не більше ніж на 6 градусів по кутах.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Телефонний підсилювач має меншу частоту розриву 120 Гц. Що таке фазова реакція на десятиліття нижче і на десятиліття вище?
Одне десятиліття нижче 120 Гц становить 12 Гц, тоді як одне десятиліття вище - 1,2 кГц.
\[\theta = \arctan \frac{f_c}{f} \nonumber \]
\[\theta = \arctan \frac{120 Hz}{12Hz} \nonumber \]
\(\theta = 84.3\)градусів на одну декаду нижче\(f_c\) (тобто наближається до 90 градусів)
\[\theta = \arctan \frac{120 Hz}{1.2kHz} \nonumber \]
\(\theta = 5.71\)градусів на одну декаду вище\(f_c\) (тобто наближається до 0 градусів)
Пам'ятайте, якщо ланцюг або підсилювач є прямим зв'язком і не має ведучих мереж, фаза залишиться на 0 градусів назад до 0 Гц (DC).
Відставання відповіді мережі
На відміну від свого провідного мережевого аналога, всі системи будуть містити лаг-мережі. По суті, це трохи більше, ніж перевернута свинцева мережа. Як ви можете бачити на малюнку\(\PageIndex{5}\), він просто переносить\(R\) і\(C\) місця. Через це відповідь, як правило, також інвертується. У плані посилення,\(X_c\) дуже великий на низьких частотах, і при цьому\(V_{out}\) дорівнює\(V_{in}\). На високих частотах\(X_{c}\) зменшується, і\(V_{out}\) падає. Точка розриву виникає, коли\(X_c\) дорівнює\(R\). Загальний графік посилення показаний на малюнку\(\PageIndex{6}\). Як і реакція ведучої мережі, нахил цієї кривої становить −6 дБ на октаву (або −20 дБ на десятиліття). Зверніть увагу, що нахил негативний замість позитивного. Ми можемо вивести загальне рівняння посилення для цієї схеми практично так само, як і для провідної мережі. Виведення залишають як вправу.
\[A'_v = −10 \log_{10} \left( 1+ \frac{f^2}{f_c^2} \right) \label{10.14} \]
Де
\(f_c\)це критична частота,
\(f\)це частота зацікавленості,
\(A'_v\)це децибел посилення на частоті інтересу.
Зауважте, що це рівняння майже таке ж, як Equation\ ref {10.12}. Єдина відмінність полягає в тому, що\(f\) і\(f_c\) були перенесені.
У подібному ключі ми можемо вивчити фазову відповідь. На дуже низьких частотах схема в основному ємнісна. Оскільки вихід приймається поперек\(C\),\(V_{out}\) буде у фазі с\(V_{in}\). На дуже високих частотах схема по суті резистивна. Отже, вихідна напруга поперек\(C\) буде відставати на 90 градусів. При частоті розриву фаза становитиме −45 градусів. Загальний фазовий графік показаний на малюнку\(\PageIndex{7}\). Як і у випадку з провідною мережею, ми можемо вивести рівняння фази. Знову ж таки, точні кроки дуже схожі, і залишають як вправу.
\[\theta = −90+ \arctan \frac{f_c}{f} \label{10.15} \]
Де
\(f_c\)це критична частота,
\(f\)це частота зацікавленості,
\(\theta\)- фазовий кут на частоті, що цікавить.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Медичний ультразвуковий перетворювач живить мережу відставання з верхньою частотою розриву 150 кГц. Які значення коефіцієнта посилення і фази на 1,6 МГц?
Оскільки це означає збільшення трохи більше, ніж на 1 десятиліття, приблизні значення становлять −20 дБ\(\PageIndex{4}\) та −90 градусів\(\PageIndex{5}\), відповідно. Точні значення:
\[A'_v = −10 \log_{10} \left( 1+ \frac{f^2}{f_c^2} \right) \nonumber \]
\[A'_v = −10 \log_{10} \left( 1+ \frac{1.6 MHz^2}{150 kHz^2} \right) \nonumber \]
\[A'_v = −20.6dB \nonumber \]
\[\theta = −90+ \arctan \frac{f_c}{f} \nonumber \]
\[\theta = −90+ \arctan \frac{150 kHz}{1.6MHz} \nonumber \]
\[\theta = −84.6 \text{ degrees} \nonumber \]
Повний сюжет Боде для цієї мережі показаний на малюнку\(\PageIndex{8}\). Дуже корисно розглядати обидва ділянки одночасно. Таким чином ви можете знайти точну зміну фази для даного посилення досить легко. Наприклад, якщо ви уважно подивитеся на графіки малюнка\(\PageIndex{8}\), то зауважте, що при критичній частоті 150 кГц сумарна зміна фази становить −45 градусів.
Оскільки ця схема передбачала використання однієї мережі відставання, це саме те, що ви очікуєте.
Час зростання проти пропускної здатності
Для сигналів імпульсного типу «швидкість» ланцюга часто виражається через час її підйому. Якщо квадратний імпульс, такий як Рисунок,\(\PageIndex{9a}\) передається в просту мережу затримок, ефект зарядки конденсатора призведе до округлої варіації, як показано на малюнку\(\PageIndex{9b}\). Цей ефект встановлює верхню межу тривалості імпульсів, які може обробляти дана схема, не створюючи надмірних спотворень.
За визначенням час підйому - це кількість часу, необхідного для проходження сигналу від 10% до 90% пікового значення імпульсу. Форма цього імпульсу визначається стандартним рівнянням заряду конденсатора, розглянутим у попередніх курсових роботах, і справедлива для будь-якої системи з єдиною чітко домінуючою мережею затримок.
\[V_{out} = V_{peak} \left(1−\epsilon^{\frac{−t}{RC}} \right) \label{10.16} \]
Для того, щоб знайти внутрішній час від початкової точки початку до точки 10%, встановіть\(V_{out}\)\(0.1V_{peak}\) в Equation\ ref {10.16} і вирішіть для\(t_1\).
\[0.1V_{peak} = V_{peak} \left(1−\epsilon^{\frac{−t_1}{RC}} \right) \\ 0.1V_{peak} = V_{peak}−V_{peak} \epsilon^{\frac{−t_1}{RC}} \\ 0.9V_{peak} = V_{peak} \epsilon^{\frac{−t_1}{RC}} \\ 0.9 = \epsilon^{\frac{−t_1}{RC}} \\ \log 0.9 = \frac{−t_1}{RC} \\ t_1 = 0.105 RC \label{10.17} \]
Щоб знайти інтервал до 90% точки, дотримуйтесь тієї ж техніки, використовуючи\(0.9V_{peak}\). Роблячи це, дає:
\[t_2 = 2.303 RC \label{10.18} \]
Час підйому\(T_r\), це різниця між\(t_1\) і\(t_2\)
\[T_r = t_1−t_2 \\ T_r = 2.303RC−0.105 RC \\ T_r \approx 2.2 RC \label{10.19} \]
Рівняння\ ref {10.19} пов'язує час підйому з мережами лаг\(R\) і\(C\) значеннями. Ці ж значення також встановлюють критичну частоту\(f_2\). Об'єднавши Equation\ ref {10.15} з базовою залежністю критичної частоти, ми можемо отримати рівняння, що відноситься\(f_2\) до\(T_r\).
\[f_2 = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]
Розв'язування\ ref {10.19} з\(RC\) точки зору та заміщення прибутковості
\[f_2 = \frac{2.2}{2\pi T_r} \\ f_2 = \frac{0.35}{T_r} \label{10.20} \]
Де
\(f_2\)верхня критична частота,
\(T_r\)- час підйому вихідного імпульсу.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Визначте час підйому для мережі відставання критичного на 100 кГц.
\[f_2 = \frac{0.35}{T_r} \nonumber \]
\[T_r = \frac{0.35}{f_2} \nonumber \]
\[T_r = \frac{0.35}{100 kHz} \nonumber \]
\[T_r = 3.5 \mu s \nonumber \]
Посилання
1 Термін октава запозичений з області музики. Свою назву він отримує від того, що в стандартній західній шкалі налічується вісім нот: do-re-mi-fa-sol-la-ti-do.