4.3: Серійно-паралельний імпеданс
- Page ID
- 33684
Правила поєднання резисторів, конденсаторів і індукторів в послідовно-паралельних ланцюгах змінного струму аналогічні тим, що встановлені для об'єднання резисторів в ланцюгах постійного струму. Очевидно, що перший пункт полягає у визначенні реактивних опорів конденсаторів і індукторів. У цей момент можна визначити прості ряди та паралельні комбінації. Ці комбінації зводяться до складного імпедансу. Після того, як це буде завершено, мережа знову досліджується, щоб побачити, чи можна ці нові складні опори ідентифікувати як частини нових серій або паралельних підсхем та спростити. Цей процес повторюється до тих пір, поки у нас не залишиться єдиний комплексний імпеданс. Знову ж таки, корисно пам'ятати, що фазові кути реактивних компонентів іноді можуть призвести до дивовижних результатів, таких як послідовна підсхема, що має величину імпедансу меншу, ніж її найбільший компонент - те, що ніколи не відбудеться з мережею, що складається лише з резисторів. Важливість використання векторних обчислень не може бути надмірно підкреслена.
Почнемо з відносно простої послідовно-паралельної мережі RLC, де вже знайдені значення реактивного опору.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Визначте еквівалентний імпеданс мережі, показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\).
Зазирнувши з лівого боку, відзначимо, що індуктор і\(\Omega\) резистор 33 к розташовані паралельно, оскільки обидва вони прив'язані до одних і тих же двох вузлів. Також ми бачимо, що конденсатор знаходиться послідовно з\(\Omega\) резистором 8.2 k. Ця послідовна комбінація, в свою чергу, паралельна іншим двом паралельним компонентам. Таким чином, було б сенс спочатку знайти комбінацію серій.
\[Z_{series} = R+(− jX_C ) \nonumber \]
\[Z_{series} = 8.2 k\Omega − j 2k \Omega \nonumber \]
\[Z_{series} = 8440\angle −13.7^{\circ} \Omega \nonumber \]
Тепер ми розміщуємо цей новий комплексний імпеданс паралельно з індуктором і\(\Omega\) резистором 33 k.
\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \frac{1}{Z_3}} \nonumber \]
\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{j 550 \Omega} + \frac{1}{33 k\Omega} + \frac{1}{8440\angle −13.7^{\circ} \Omega}} \nonumber \]
\[Z_{total} = 556.8\angle 85.4^{\circ} \Omega \nonumber \]
Зрозуміло, що тут домінує індуктор. Паралельний резистор приблизно на два порядки більше, ніж індуктивний реактивний опір і має мінімальний вплив на паралельну комбінацію. Крім того, складний імпеданс, отриманий від комбінації конденсатор/резистор, також значно більший, і з огляду на, що він має негативний (ємнісний) фазовий кут, він частково скасовує індуктивний реактивний опір. Це залишає нас з величиною трохи вище, ніж у індуктивного реактивного опору, і з фазовим кутом, зміщеним у бік резистивної сторони.
Серійні та паралельні комбінації можуть бути набагато складнішими, ніж у попередньої мережі. Сходові мережі, наприклад, мають набір секцій, які навантажують інші ділянки, що призводить до повторних послідовних, а потім паралельних спрощень. У такій ситуації найкраще починати роботу в самому далекому від цікавлять вузлів кінці. Наступний приклад проілюструє це в скромних масштабах.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Визначте еквівалентний імпеданс мережі, показаний на малюнку\(\PageIndex{2}\).
Зазирнувши з правого боку, бачимо відразу\(\Omega\) резистор 750. Це послідовно з підсхемою, що складається з решти п'яти компонентів. Цю підсхему можна розглядати як\(−j800 \Omega \) конденсатор паралельно з іншою підсхемою, що містить інші чотири компоненти. Ця чотирикомпонентна підсхема складається з індуктора послідовно з ще однією підсхемою, що складається з останніх двох резисторів і конденсатора. Ця трьохелементна підсхема складається з\(\Omega\) резистора 2.2 k паралельно послідовної комбінації\(\Omega\) резистора 1 k і\(−j400 \Omega \) конденсатора.
Найбільш розумний спосіб підійти до цього - почати з лівого кінця з простою комбінацією серії RC, а потім працювати вправо, до вузлів, що цікавлять. Ми пронумеруємо компоненти зліва направо для ідентифікації.
\[Z_{left2} = R_1+(− jX_{C1}) \nonumber \]
\[Z_{left2} = 1k \Omega − j 400 \Omega \nonumber \]
\[Z_{left2} = 1077\angle −21.8^{\circ} \Omega \nonumber \]
Тепер ми розміщуємо цей складний імпеданс паралельно з\(\Omega\) резистором 2.2 k. Це створює триелементну підсхему, яка послідовно з індуктором.
\[Z_{left3} = \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{Z_{left2}}} \nonumber \]
\[Z_{left3} = \frac{1}{\frac{1}{2.2 k\Omega} + \frac{1}{1077\angle −21.8^{\circ} \Omega}} \nonumber \]
\[Z_{left3} = 734.7\angle −14.7^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[Z_{left4} = Z_{left3} +jX_L \nonumber \]
\[Z_{left4} = 734.7\angle −14.7^{\circ} \Omega +j 600\Omega \nonumber \]
\[Z_{left4} = 822.5\angle 30.2 ^{\circ} \Omega \nonumber \]
Ця група з чотирьох знаходиться паралельно з другим конденсатором\(−j800 \Omega \). Нарешті, ми приходимо до еквівалентного загального значення, розмістивши отриману групу з п'яти послідовно з\(\Omega\) резистором 750.
\[Z_{left5} = \frac{1}{\frac{1}{X_{C2}} + \frac{1}{Z_{left4}}} \nonumber \]
\[Z_{left5} = \frac{1}{\frac{1}{− j 800 \Omega} + \frac{1}{822.5\angle 30.2^{\circ} \Omega}} \nonumber \]
\[Z_{left5} = 813.4\angle −31.3^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[Z_{total} = Z_{left5} +R_3 \nonumber \]
\[Z_{total} = 813.4\angle −31.3^{\circ} \Omega +750 \Omega \nonumber \]
\[Z_{total} = 1506\angle −16.3^{\circ} \Omega \nonumber \]
У прямокутній формі це 1443\(−j422.3 \Omega \), що означає, що ця мережа еквівалентна\(\Omega\) резистору 1443 послідовно з ємнісним реактивним опором\(−j422.3 \Omega \).
Послідовно-паралельні методи спрощення працюватимуть не для всіх схем. Деякі мережі, такі як конфігурації дельти або мосту, вимагають інших методів, які будуть розглянуті в наступних розділах.