3.4: Аналіз паралельних ланцюгів
- Page ID
- 33694
Поточний закон Кірхгофа (KCL) є оперативним правилом для паралельних ланцюгів. У ньому зазначено, що сума всіх струмів, що надходять і виходять з вузла, повинна дорівнювати нулю. По черзі це може бути заявлено, оскільки сума струмів, що надходять у вузол, повинна дорівнювати сумі струмів, що виходять з цього вузла. Як псевдоформула:
\[\sum I \rightarrow = \sum I \leftarrow \label{3.6} \]
Аналогічна ситуація відбувається в паралельних ланцюгах змінного струму до тих, що бачили ланцюги серії змінного струму; а саме, що виявляється, що KCL (як KVL) «зламаний». Тобто спрощене підсумовування величин струмів може не врівноважити. Знову ж таки, це тому, що підсумовування повинно бути векторним підсумовуванням, звертаючи увагу на фазові кути кожного окремого струму.
Можливий привід паралельної ланцюга з декількома джерелами струму. Ці джерела додаватимуть приблизно так само, як джерела напруги послідовно додають, тобто слід враховувати полярність та фазу. Зазвичай джерела напруги з різними значеннями не розміщуються паралельно, оскільки це порушує основне правило паралельних ланцюгів (напруга однакова на всіх компонентах).
Правило дільника струму залишається дійсним для паралельних ланцюгів змінного струму. З огляду на дві складові\(Z_2\),\(Z_1\) і, і струм, що живить їх\(I_T\), струм через одну зі складових буде дорівнювати сумарному струму, кращому співвідношенню протилежної складової над сумою імпедансу пари.
\[i_1 = i_T \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \label{3.7} \]
Це правило зручно тим, що паралельний еквівалентний імпеданс не потрібно обчислювати, але пам'ятайте, воно діє лише тоді, коли задіяні лише два компоненти.
При аналізі паралельної схеми, якщо вона приводиться в рух джерелом напруги, то це ж напруга має з'явитися на кожному з окремих компонентів. Закон Ома потім може бути використаний для визначення окремих струмів. Згідно ККЛ, сумарний струм, що виходить з джерела, повинен дорівнювати сумі цих окремих струмів. Наприклад, в схемі, зображеній на малюнку\(\PageIndex{1}\), напруга\(E\) має з'явитися на обох\(R\) і\(L\). Тому струми повинні бути\(i_L = E / X_L\) і\(i_R = E / R\), і\(i_{total} = i_L + i_R\). \(i_{total}\)також можна знайти визначення паралельного еквівалентного імпедансу\(R\) і\(X_L\), а потім розділити це на\(E\). Цей метод також може бути використаний у зворотному напрямку для визначення значення опору або реактивного опору, яке буде виробляти заданий загальний струм: ділення джерела на струм дає еквівалентний паралельний імпеданс. Як відомо одне з двох, відомий компонент може бути використаний для визначення значення невідомої складової за допомогою Equation 3.3.3.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Визначте струми в схемі, показаної на малюнку,\(\PageIndex{1}\) якщо джерело\(10\angle 0^{\circ}\) вольт пік,\(X_L = j2 k\Omega\) і\(R = 1 k\Omega\)
Однакове напруга має з'явитися на всіх елементах при паралельному з'єднанні. У цьому випадку це пік\(10\angle 0^{\circ}\) вольт. Два струми гілок знаходять за законом Ома:
\[i_L = \frac{v}{Z} \nonumber \]
\[i_L = \frac{10\angle 0^{\circ} V}{j2 k\Omega} \nonumber \]
\[i_L = 5E-3\angle −90^{\circ} A \nonumber \]
\[i_R = \frac{v}{Z} \nonumber \]
\[i_R = \frac{10\angle 0^{\circ} V}{1k \Omega} \nonumber \]
\[i_R = 10E-3\angle 0^{\circ} A \nonumber \]
Струм джерела - це сума цих двох струмів, або\(11.18E−3\angle −26.6^{\circ}\) ампер. Це можна перевірити, визначивши еквівалентний паралельний імпеданс, а потім застосувавши закон Ома:
\[Z_T = \frac{Z_1\times Z_2}{Z_1+Z_2} \nonumber \]
\[Z_T = \frac{1k \Omega\times j 2k \Omega}{1k \Omega+j 2k \Omega} \nonumber \]
\[Z_T = 894\angle 26.6^{\circ} \Omega \nonumber \]
Як примітка сторони, у прямокутній формі це означає\(800 + j400\), що ця паралельна комбінація еквівалентна послідовній комбінації опору 800 Ом та індуктивного реактивного опору 400 Ом. Продовжуючи закон Ома, ми маємо:
\[i_{Source} = \frac{v}{Z_T} \nonumber \]
\[i_{Source} = \frac{10\angle 0^{\circ} V}{894\angle 26.6^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_{Source} = 11.18E-3\angle −26.6^{\circ} A \nonumber \]
Фазорна діаграма струмів показана на малюнку\(\PageIndex{2}\), нижче.
Вимірювання струму в лабораторії
У цей момент виникає практичне запитання; як ми перевіряємо ці струми в лабораторії? Зрештою, видатним інструментом вимірювання є осцилограф, і вони призначені для вимірювання напруги, а не струму. Хоча можна отримати зонди вимірювання струму, простий метод вимірювання струму полягає у використанні невеликого резистора для вимірювання струму зі стандартною установкою осцилографа. Ми вже бачили, що напруга на резисторі має бути в фазі зі струмом через нього. Тому,
незалежно від фазового кута ми бачимо на напрузі резистора, його поточний фазовий кут повинен бути однаковим. Ідея полягає в тому, щоб просто вставити резистор, в гілку якого ми хочемо виміряти струм. Поки опір набагато менший, ніж імпеданс, що спостерігається в решті частини цієї гілки, це мало вплине на точне значення струму. Потім ми можемо розмістити зонд через цей чутливий резистор, щоб зчитувати його напругу. Закон Ома потім використовується для визначення величини струму, тоді як фазовий кут отримується безпосередньо з осцилографа (знову ж таки, тому що напруга чутливого резистора повинна бути у фазі зі своїм струмом, і, таким чином, кут фази напруги дорівнює поточному фазовому куту). Ця методика буде проілюстрована в частині моделювання наступного прикладу завдання.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Визначте струми гілки в ланцюзі на рис\(\PageIndex{3}\).
Насамперед необхідно визначити ємнісний реактивний опір.
\[X_C =− j \frac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]
\[X_C =− j \frac{1}{2 \pi 500 Hz 250 nF} \nonumber \]
\[X_C \approx − j 1273\Omega \nonumber \]
І резистор, і конденсатор побачать пік 20 вольт від джерела. Їх струми можна визначити за законом Ома:
\[i_C = \frac{v}{X_C} \nonumber \]
\[i_C = \frac{20 V}{1273\angle −90^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_C \approx 15.71E-3\angle 90^{\circ} A \nonumber \]
\[i_R = \frac{v}{R} \nonumber \]
\[i_R = \frac{20 V}{220\angle 0^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_R \approx 90.91E-3\angle 0^{\circ} A \nonumber \]
Струм джерела - це сума цих двох струмів, або\(92.26E−3\angle 9.8^{\circ}\) ампер. Струм джерела також можна визначити шляхом ділення напруги джерела на еквівалентний паралельний імпеданс наступним чином.
\[Z_T = \frac{Z_1 \times Z_2}{Z_1+Z_2} \nonumber \]
\[Z_T = \frac{220 \Omega\times (− j 1273\Omega)}{220 \Omega − j 1273 k \Omega} \nonumber \]
\[Z_T = 216.8\angle −9.8^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[i_{Source} = \frac{v}{Z_T} \nonumber \]
\[i_{Source} = \frac{20 \angle 0^{\circ} V}{216.8\angle −9.8^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_{Source} = 92.26E-3\angle 9.8^{\circ} A \nonumber \]
Графік струмів в часовій області проілюстрований на малюнку\(\PageIndex{4}\) разом з фазоровим графіком на малюнку\(\PageIndex{5}\). Зверніть увагу, що струм джерела близький як по амплітуді, так і по фазі до струму резистора. Для порівняння, струм конденсатора значно менше і з явним провідним зсувом фаз.
Комп'ютерне моделювання
Схема малюнка\(\PageIndex{3}\) зображена в симуляторі, як показано на малюнку\(\PageIndex{6}\). Окремі резистори 2 Ом використовуються для відчуття струмів в гілках резистора і конденсатора. Ці чутливі резистори вставляються безпосередньо над землею для зручності вимірювання. Таким чином диференціальне вимірювання не потрібно.
Значення чутливого резистора повинно бути значно менше, ніж імпеданс гілки, в яку він вставлений. Два порядки величини (тобто менше 1%) були б гарним місцем для початку. Хоча ще менші значення збільшать точність, з практичної точки зору в лабораторії, такі крихітні значення резисторів створювали б надзвичайно малі напруги, які було б важко виміряти з великою точністю.
Потім проводиться базовий перехідний аналіз, як показано на малюнку\(\PageIndex{7}\). Результати моделювання тісно узгоджуються з сюжетом рисунка\(\PageIndex{4}\). Зверніть увагу, що нанесені резистор і конденсаторні «струми» - це, по суті, напруги на пов'язаних чутливих резисторах (вузлах 2 і 3), розділені на 2 (Ом), в безпосередньому застосуванні закону Ома. Моделювання не тільки перевіряє результати, обчислені раніше, але й підтверджує концепцію використання малих резисторів, що зондують струм в лабораторії.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Визначте струми гілки в ланцюзі на рис\(\PageIndex{8}\). Використовуйте напругу джерела в якості опорного\((\angle 0^{\circ})\).
Хоча ця схема намальована трохи інакше, ніж попередні приклади, вона залишається простою паралельною схемою всього з двома вузлами. Тому кожен елемент бачить піковий потенціал 2 вольта. Законом Ома вистачить, щоб знайти три складові струми. Потім вони додаються, щоб знайти вихідний струм. Їх орієнтири вказані справа наліво, враховуючи полярність джерела.
\[i_C = \frac{v}{X_C} \nonumber \]
\[i_C = \frac{2\angle 0^{\circ} V}{12 \angle −90^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_C \approx 0.1667\angle 90^{\circ} A \nonumber \]
\[i_L = \frac{v}{X_L} \nonumber \]
\[i_L = \frac{2\angle 0^{\circ} V}{8\angle 90 ^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_L = 0.25 \angle −90 ^{\circ} A \nonumber \]
\[i_R = \frac{v}{R} \nonumber \]
\[i_R = \frac{2\angle 0^{\circ} V}{10\angle 0^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_R = 0.2\angle 0^{\circ} A \nonumber \]
Сума цих трьох струмів становить приблизно\(0.2167\angle −22.6^{\circ}\) ампер. Це значення можна перевірити, знайшовши комбінований паралельний імпеданс. Використовуючи рівняння 3.3.3, можна показати, що цей імпеданс є\(9.231\angle 22.6^{\circ} \Omega\). Таким чином,
\[i_{Source} = \frac{v}{Z} \nonumber \]
\[i_{Source} = \frac{2\angle 0^{\circ} V}{9.231\angle 22.6^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_{Source} \approx 0.2167\angle −22.6^{\circ} A \nonumber \]
Фазорна діаграма, що показує векторне підсумовування струмів, проілюстрована на малюнку\(\PageIndex{9}\).
Зверніть увагу, що\(i_C\) і\(i_L\) знаходяться в ідеальному протистоянні, як очікувалося. Віднімання величини\(i_C\) з\(i_L\) залишає нам точну вертикальну складову вихідного струму.
Якщо паралельна ланцюг приводиться в рух джерелом струму, як показано на малюнку\(\PageIndex{10}\), існує два основних методи вирішення для складових струмів. Перший спосіб полягає у використанні правила дільника струму. При бажанні компонент напруги потім можна знайти, використовуючи закон Ома. Альтернативний метод передбачає знаходження паралельного еквівалентного імпедансу спочатку, а потім за допомогою закону Ома для визначення напруги (пам'ятайте, що будучи паралельною схемою, існує лише одна загальна напруга). З огляду на напругу, закон Ома можна використовувати для знаходження струму через одну складову. Щоб знайти струм через інший, вдруге можна застосувати або закон Ома, або KCL; віднімання струму через першу складову з джерела струму. Якщо компонентів більше двох, зазвичай другий метод буде найбільш ефективним способом дій.
Варто відзначити, що обидва способи, описані вище, дадуть правильні відповіді. Один не є «правильнішим», ніж інший. Ми можемо розглядати кожен з них як окремий шлях вирішення; тобто метод прибуття до бажаної кінцевої точки. Загалом, чим складніше схема, тим більше буде шляхів вирішення. Це добре, тому що один шлях може бути більш очевидним для вас, ніж інший. Це також дозволяє вам засіб перехресної перевірки вашої роботи.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Визначте струми в ланцюзі на малюнку,\(\PageIndex{10}\) якщо джерело 300 міліампер пік на 10 кГц,\(R\) є\(750 \Omega\) і\(L\) дорівнює 15 мГн.
Першим кроком є визначення індуктивного реактивного опору.
\[X_L = j 2\pi f L \nonumber \]
\[X_L = j 2\pi 10 kHz15 mH \nonumber \]
\[X_L \approx j 942.4\Omega \nonumber \]
Правило дільника струму можна використовувати для знаходження струму через резистор.
\[i_R = i_{Source} \frac{X_L}{R+X_L} \nonumber \]
\[i_R = 0.3\angle 0^{\circ} A \frac{942.4\angle 90 ^{\circ} \Omega}{750\angle 0^{\circ} \Omega +942.4\angle 90^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_R = 0.2347\angle 38.5 ^{\circ} A \nonumber \]
КВЛ можна використовувати для знаходження струму, що залишився через індуктор, так як струм джерела повинен дорівнювати сумі струмів індуктора і резистора. Тому:
\[i_L = i_{Source} − i_R \nonumber \]
\[i_L = 0.3\angle 0^{\circ} A −0.2347\angle 38.5^{\circ} A \nonumber \]
\[i_L = 0.1868\angle −51.5^{\circ} A \nonumber \]
Це значення також можна було б отримати, застосувавши правило дільника струму вдруге:
\[i_L = i_{Source} \frac{R}{R+X_L} \nonumber \]
\[i_L = 0.3\angle 0^{\circ} A \frac{750\angle 0^{\circ} \Omega}{750\angle 0^{\circ} \Omega +942.4\angle 90 ^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_L = 0.1868\angle −51.5^{\circ} A \nonumber \]
Графік часової області поточних форм сигналу показаний на рис\(\PageIndex{11}\).
З сюжету видно, що струми індуктора і резистора дійсно складаються до струму джерела. Далі струм через індуктор відстає, як годиться.
Комп'ютерне моделювання
Схема Прикладу\(\PageIndex{4}\) зображена в симуляторі, як показано на малюнку\(\PageIndex{12}\). Додана пара резисторів, що зондують струм 1 Ом. Використовуючи 1 Ом, напруга зондування матиме ту ж величину, що і струм, без необхідності масштабування.
Проводиться аналіз перехідних процесів, побудова напруг на вузлах 2 і 3 разом з їх сумою (струмом джерела). Результати наведені на рис\(\PageIndex{3}\). Сюжет затримується на мілісекунду, щоб уникнути початкового перехідного включення живлення. Отримані результати повністю узгоджуються з сюжетом Рисунок\(\PageIndex{11}\).
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Визначте струми гілки в ланцюзі на рис\(\PageIndex{14}\). Використовувати джерело струму як посилання на час (тобто\(\angle 0^{\circ}\)).
Замість того, щоб використовувати повторювані дільники струму тут, ми можемо замість цього знайти еквівалентний імпеданс, а потім застосувати закон Ома для визначення напруги системи. Кожен струм гілки можна отримати, розділивши цю напругу на імпеданс цієї гілки; швидке застосування закону Ома.
Імпеданс системи обчислюється за допомогою Equation\ ref {3.4} наступним чином:
\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \frac{1}{Z_3}} \nonumber \]
\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{− j 12\Omega} + \frac{1}{j 8\Omega} + \frac{1}{10\Omega}} \nonumber \]
\[Z_{total} = 9.231\angle 22.6^{\circ} \Omega \nonumber \]
Напруга системи знаходять за законом Ома. Оскільки опорний напрямок джерела струму стікає вниз в землю, струми гілки будуть витікати вгору. Це робить посилання на їх напругу негативним відносно землі (тобто + до − знизу вгору). Ми можемо впоратися з цим, описавши джерело струму як негативний (тобто витікає з верхнього вузла). Джерело може бути записано як\(−1\angle 0^{\circ}\) або як\(1\angle 180^{\circ}\), це не має ніякої різниці.
\[v = i_{source} \times Z_{total} \nonumber \]
\[v =−1\angle 0^{\circ} A\times 9.231\angle 22.6^{\circ} \nonumber \]
\[v \approx −9.231\angle 22.6 ^{\circ} V \nonumber \]
Цей потенціал також може бути записаний як\(9.231\angle −157.4^{\circ}\) вольти (пам'ятайте, інверсія така ж, як зсув фаз на 180 градусів).
А тепер для гілок течій:
\[i_C = \frac{v}{X_C} \nonumber \]
\[i_C = \frac{9.231\angle −157.4^{\circ} V}{12\angle −90^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_C \approx 0.7692\angle −67.4 ^{\circ} A \nonumber \]
\[i_L = \frac{v}{X_L} \nonumber \]
\[i_L = \frac{9.231\angle −157.40^{\circ} V}{8\angle 90^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_L = 1.154\angle 112.6^{\circ} A \nonumber \]
\[i_R = \frac{v}{R} \nonumber \]
\[i_R = \frac{9.231\angle −157.4^{\circ} V}{10\angle 0^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_R = 0.9231\angle −157.4 ^{\circ} A \nonumber \]
Сума цих трьох струмів становить приблизно\(1\angle 180^{\circ}\) ампер (тобто\(−1\angle 0^{\circ}\)), значення джерела струму, як передбачалося.
Фазорна діаграма струмів побудована на рис\(\PageIndex{15}\).
Тепер про підлий біт. Якщо ви не помітили, компоненти в цій схемі ідентичні компонентам малюнка, за\(\PageIndex{8}\) винятком джерела. Як наслідок, фазові кути і величини струмів гілок через три складові залишаться незмінними відносно один одного. Завдяки зміні як величини, так і напрямку джерела, вся фазорна ділянка була повернута за годинниковою стрілкою на 154,7 градуса і всі величини були подовжені співвідношенням напруг\((9.231 / 2)\). Це, мабуть, найпростіше побачити, зосередившись на\(i_{source}\) векторі для на малюнку\(\PageIndex{9}\). Повертайте цей вектор за годинниковою стрілкою разом з будь-яким іншим вектором, поки не\(i_{source}\) вирівняється з негативною дійсною віссю. В результаті виходить сюжет Фігури\(\PageIndex{15}\), нехай і з знову подовженими величинами.
Якщо паралельна схема містить кілька джерел струму, вони можуть бути додані разом (векторна сума, звичайно) для створення еквівалентного джерела одного струму. Далі аналіз триває, як і раніше. Це продемонстровано на наступному прикладі.
Приклад\(\PageIndex{6}\)
Для схеми\(\PageIndex{16}\) малюнка визначте струми через конденсатор, індуктор і резистор, а також визначте напругу системи. \(i_1\)це\(0.5\angle 0^{\circ}\) підсилювачі та\(i_2\) його\(3\angle 45^{\circ}\) підсилювачі.
Першим кроком тут є визначення ефективного струму, що рухає ланцюг. Якщо ми розглядаємо верхній вузол як позитивний,\(i_2\) це введення (позитивний), а\(i_1\) вихід (негативний). Комбінація буває:
\[i_{total} = i_1 + i_2 \nonumber \]
\[i_{total} = −0.5\angle 0^{\circ} A +3\angle 45^{\circ} A \nonumber \]
\[i_{total} = 2.67\angle 52.6^{\circ} A \nonumber \]
Цей струм має той самий напрямок відліку, що і джерело два. Фазорна діаграма процесу проілюстрована на малюнку,\(\PageIndex{17}\) щоб допомогти візуалізувати векторне додавання.
Наступним кроком є пошук комбінованого імпедансу, щоб ми могли знайти прикладену напругу.
\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \frac{1}{Z_3}} \nonumber \]
\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{− j 100 \Omega} + \frac{1}{j 50\Omega} + \frac{1}{40 \Omega}} \nonumber \]
\[Z_{total} = 37.14\angle 21.8^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[v = i_{source} \times Z_{total} \nonumber \]
\[v = 2.67\angle 52.6^{\circ} A\times 37.14\angle 21.8^{\circ} \nonumber \]
\[v \approx 99.16\angle 74.4^{\circ} V \nonumber \]
Тепер застосуємо закон Ома до кожної зі складових для визначення струмів гілки.
\[i_C = \frac{v}{X_C} \nonumber \]
\[i_C = \frac{99.16\angle 74.4^{\circ} V}{100\angle −90^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_C \approx 0.9916\angle 164.4^{\circ} A \nonumber \]
\[i_L = \frac{v}{X_L} \nonumber \]
\[i_L = \frac{99.16\angle 74.4^{\circ} V}{50 \angle 90^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_L = 1.983\angle −15.6^{\circ} A \nonumber \]
\[i_R = \frac{v}{R} \nonumber \]
\[i_R = \frac{99.16\angle 74.4^{\circ} V}{40\angle 0^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i_R = 2.479\angle 74.4 ^{\circ} A \nonumber \]
Сума цих трьох струмів становить приблизно\(2.67\angle 52.6^{\circ}\) ампер. Це врівноважує чистий вхідний струм з двох джерел, перевіряючи KVL.