3.3: Паралельний опір
- Page ID
- 33701
Можливо, першим порядком бізнесу є визначення еквівалентних значень імпедансу для деякої колекції паралельних компонентів. Нагадаємо, що зворотний опір - це сприйнятливість,
\[S = \dfrac{1}{X} \label{3.2} \]
і що зворотний імпеданс - це допуск,
\[Y = \dfrac{1}{Z} \label{3.3} \]
Одиниці Siemens для кожного. Також варто відзначити, що за рахунок поділу ознаки зворотні. Наприклад, ємнісна сприйнятливість має кут +90 градусів і якщо складний допуск має негативний кут, то пов'язаний імпеданс є індуктивним.
«Правило провідності» для паралельних комбінацій, вивчених у випадку постійного струму, залишається дійсним для випадку змінного струму, хоча ми узагальнюємо його для імпедансів:
\[Z_{total} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3} + \dots + \dfrac{1}{Z_N}} \label{3.4} \]
Кожен з окремих імпедансів, представлених в Equation\ ref {3.4} (тобто\(Z_1\)\(Z_2\), і т.д.), може представляти собою простий опір, чистий реактивний опір або складний імпеданс. Крім того, ярлик правила product-sum для двох компонентів також залишається дійсним для компонентів змінного струму:
\[Z_{total} = \dfrac{Z_1 \times Z_2}{Z_1+Z_2} \label{3.5} \]
Існує один особливий випадок, коли Equation\ ref {3.5} може бути «клопітким», і саме тоді два імпеданси складаються з чистого ємнісного реактивного опору та чистого індуктивного реактивного опору, обидва однакової величини. Два елементи будуть ефективно скасовувати один одного, залишаючи знаменник нуль і невизначений результат. Хоча теоретична комбінація «вибухає» і наближається до нескінченності, насправді вона обмежена пов'язаними опорами\(R_{coil}\), такими як, і досягає деякого кінцевого значення Ця ситуація вивчається дуже глибоко в главі 8, яка охоплює поняття резонансу.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Визначити імпеданс мережі показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).
Рівняння\ ref {3.4} буде кращим тут.
\[Z_{total} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3}} \nonumber \]
\[Z_{total} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{j 12 k\Omega} + \dfrac{1}{20 k \Omega} + \dfrac{1}{− j 48 k\Omega}} \nonumber \]
\[Z_{total} = 12.49E3\angle 51.3^{\circ} \Omega \nonumber \]
Цей результат може бути трохи дивним для гострих очей. Зверніть увагу, що величина сумарного більше, ніж величина найменшої складової (індуктора при\(j12 k\Omega\)). Це ніколи не було б так, якби ці три компоненти були всі резистори: результат повинен бути меншим, ніж найменший елемент у групі.
Причиною цього є те, що ємнісний реактивний опір частково скасовує індуктивний реактивний опір. Якщо з цими двома складовими використовується правило «Сума продукту» (Equation\ ref {3.5}), результат буде\(16E3\angle 90^{\circ}\) або\(j16 k\Omega\). Розміщення цього паралельно з\(\Omega\) резистором 20 k (знову ж таки за допомогою Equation\ ref {3.5}) призводить до результату, обчисленого вище.
Діаграма допуску проілюстрована на малюнку\(\PageIndex{2}\). Векторне підсумовування провідності компонента та сприйнятливості перевірено добре.
Окремими значеннями компонентів є:
\[S_L = \dfrac{1}{j 12k \Omega} \approx − j 83.33E-6S \nonumber \]
\[S_C = \dfrac{1}{− j 48k \Omega} \approx j 20.83E-6S \nonumber \]
\[G = \dfrac{1}{20 k\Omega} = 50E-6 S \nonumber \]
\[Y_{total} = \dfrac{1}{12.49E3\angle 51.3^{\circ} \Omega} \approx 80.1E-6\angle −51.3^{\circ} S \nonumber \]
У прямокутній формі\(Y_{total} = 50E−6 − j62.5E−6 S\).
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Визначте імпеданс мережі, показаний\(\PageIndex{3}\) на малюнку, на частоті 10 кГц. Повторіть це для частоти 1 кГц.
Спочатку знайдіть реактивні опори на 10 кГц. Для індуктора знаходимо:
\[X_L = j 2\pi f L \nonumber \]
\[X_L = j 2\pi 10 kHz680 \mu H \nonumber \]
\[X_L \approx j 42.73\Omega \nonumber \]
А для конденсатора:
\[X_C = − j \dfrac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]
\[X_C = − j \dfrac{1}{2 \pi 10kHz 470 nF} \nonumber \]
\[X_C \approx − j 33.86\Omega \nonumber \]
Тепер використовуйте Equation\ ref {3.4} для об'єднання елементів.
\[Z_{total} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3}} \nonumber \]
\[Z_{total} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{j 42.73\Omega} + \dfrac{1}{1.8k \Omega} + \dfrac{1}{− j 33.86\Omega}} \nonumber \]
\[Z_{total} = 162.6\angle −84.8^{\circ} \Omega \nonumber \]
У прямокутній формі це\(14.68 − j161.9 \Omega\). Оскільки реактивний опір конденсатора є найменшим з трьох компонентів, він домінує над еквівалентним імпедансом на цій частоті. Працюючи формулу ємнісного реактивного опору в зворотному напрямку, можна показати, що реактивна частина\(− j161.9 \Omega\) може досягти на цій частоті за допомогою ємності 98,3 нФ. Це означає, що при 10 кГц ця паралельна мережа має такий же імпеданс, як\(\Omega\) резистор 14.68 послідовно з конденсатором 98.3 нФ. На будь-якій іншій частоті це вже не буде правдою, як буде проілюстровано на мить.
На 1 кГц частота знижується в десять разів. Тому\(X_L\) буде в десять разів нижче, або приблизно\(j4.273 \Omega\). Далі,\(X_C\) буде в десять разів вище, або близько\(− j338.6 \Omega\). Індуктивний реактивний опір тепер буде домінувати.
Новий імпеданс:
\[Z_{total} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3}} \nonumber \]
\[Z_{total} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{j 4.273\Omega} + \dfrac{1}{1.8k \Omega} + \dfrac{1}{− j 338.6\Omega}} \nonumber \]
\[Z_{total} = 4.328\angle 89.9^{\circ} \Omega \nonumber \]
У прямокутній формі це\(10.4E−3 + j4.328 \Omega\). Результат індуктивний, протилежний тому, що ми бачили на 10 кГц. Використовуючи формулу індуктивного реактивного опору, можна показати, що при 1 кГц ця паралельна мережа має такий же імпеданс, як резистор 10,4 міліом послідовно з індуктором 689\(\mu\) Н.