2.4: Серійний аналіз ланцюга
- Page ID
- 33709
Методи, що застосовуються для послідовного аналізу ланцюга змінного струму, такі ж, як ті, що використовуються для постійного струму. Ключовий пункт, який слід пам'ятати для послідовних ланцюгів, будь то змінний або постійний струм, оскільки струм буде однаковим скрізь у послідовному з'єднанні. Основними інструментами аналізу є закон Ома, закон напруги Кірхгофа (KVL) та, можливо, правило дільника напруги.
КВЛ стверджує, що сума напруг навколо петлі повинна дорівнювати нулю, або що сума напруги, що піднімається навколо петлі, повинна дорівнювати сумі падінь напруги:
\[\sum v \uparrow = \sum v \downarrow \label{2.2} \]
Правило дільника напруги для змінного струму стверджує, що напруга на будь-якому компоненті або групі компонентів пропорційна співвідношенню імпедансу зазначеного компонента та загального послідовного імпедансу. Для деяких компонентів,\(A\) керованих джерелом\(e\),
\[v_A = e \frac{Z_A}{Z_{Total}} \label{2.3} \]
Якщо струм є необхідною величиною, то виявляється еквівалентний імпеданс мережі, а потім ділиться на еквівалентне напруга джерела. Якщо потрібні напруги на конкретних компонентах, їх можна знайти, використовуючи циркуляційний струм і закон Ома. По черзі їх можна обчислити за допомогою правила дільника напруги. Якщо джерело струму керує послідовним ланцюгом, то циркулюючий струм є струмом джерела. Окремі складові напруги можна знайти за допомогою струму джерела і закону Ома. Напруга джерела можна знайти, підсумовуючи складові напруги через КВЛ, або визначивши еквівалентний послідовний опір і помноживши його на струм джерела.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Для схеми\(\PageIndex{1}\) малюнка знайдіть циркулюючий струм і напруги на конденсаторі і резисторі.
Насамперед необхідно визначити,\(X_C\) а потім знайти\(Z_{total}\). Потім скористайтеся законом Ома, щоб знайти циркулюючий струм.
\[X_C =− j \frac{1}{2\pi f C} \nonumber \]
\[X_C = − j \frac{1}{2\pi 1000Hz 33nF} \nonumber \]
\[X_C =− j 4823 \Omega \nonumber \]
\[Z_{Total} = R+(− j X_C ) \nonumber \]
\[Z_{Total} = 2200 \Omega − j 4823 \Omega \nonumber \]
\[Z_{Total} = 5301\angle −65.5^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[i = \frac{v}{Z} \nonumber \]
\[i = \frac{1V}{5301\angle −65.5^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[i = 188.6\angle 65.5^{\circ} \mu A \nonumber \]
Тепер скористайтеся законом Ома, щоб знайти складові напруги.
\[v_R = i\times R \nonumber \]
\[v_R = 188.6\angle 65.5^{\circ} \mu A\times 2200\angle 0^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[v_R = 0.4149\angle 65.5^{\circ} V \nonumber \]
\[v_C = i\times X_C \nonumber \]
\[v_C = 188.6\angle 65.5^{\circ} \mu A\times 4823\angle −90^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[v_C = 0.9098\angle −24.5^{\circ} V \nonumber \]
Щоб завершити цей приклад, ми створимо серію графіків: По-перше, графік імпедансу, що показує векторну комбінацію\(R\) та\(X_C\) провідну до\(Z_{Total}\). Це показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).
Далі на малюнку\(\PageIndex{3}\) показана фазорна діаграма трьох напруг. Це може бути не відразу очевидним, але експертиза цієї ділянки показує, що це лише обертання імпедансу проти годинникової стрілки. По суті, він обертається на 65,5 градусів, фазовий кут струму. Це не повинно дивуватися, оскільки струм множиться на кожен опір, реактивний опір або імпеданс для розвитку напруги, а векторне множення просто додає кути.
Також врахуйте, що якби ми просто підсумували величини складових напруг, то результат був би значно більше вхідної напруги, ніби порушуючи КВЛ. На відміну від цього, як тільки виконується правильне векторне підсумовування, все в раю.
Для подальшої наочності\(\PageIndex{4}\) на малюнку зображені напруги в часовій області. Зверніть увагу, як складові напруги додають графічно, що призводить до вхідної напруги.
Часові зрушення можна обчислити для перевірки наступним чином:
\[\theta = 360^{\circ} \frac{\Delta t}{T} \nonumber \]
\[\Delta t_R = T \frac{\theta_R}{360^{\circ}} \nonumber \]
\[\Delta t_R = 1 ms \frac{65.5^{\circ}}{360^{\circ}} \nonumber \]
\[\Delta t_R = 181.9\mu s \nonumber \]
\[\Delta t_C = T \frac{\theta_C}{360^{\circ}} \nonumber \]
\[\Delta t_C = 1ms \frac{−24.5^{\circ}}{360^{\circ}} \nonumber \]
\[\Delta t_C =−68\mu s \nonumber \]
Таким чином перевіряємо напругу резистора, що веде (вліво) на 181,9\(\mu\) с і відставання напруги конденсатора (праворуч) на 68\(\mu\) с, як видно на малюнку\(\PageIndex{4}\).
Комп'ютерне моделювання
Схема Прикладу\(\PageIndex{1}\) фіксується в симуляторі, як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\). Напруга вузла 1 відповідає вхідній напрузі, а вузол 2 відповідає напрузі конденсатора. Напруга резистора - це всього лише різниця між цими двома, або вузол 1 мінус вузол 2.
Виконується моделювання перехідної або часової області. Результати моделювання наведені на рис\(\PageIndex{6}\). Зверніть увагу на тісну згоду з обчисленими результатами, як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\).
Зараз ми розглянемо різноманітні схеми різних серій. Щоб полегшити обчислення, ми просто виставимо значення для реакційних опорів компонентів, а не вказуємо частоту разом із значеннями індуктора та/або конденсатора.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Визначте складові напруги для схеми, показаної на малюнку\(\PageIndex{7}\).
З огляду на опорний напрямок джерела (який виробляє опорний струм проти годинникової стрілки), напруга на резисторі буде визначено як\(v_b − v_a\). Першим кроком є пошук еквівалентного послідовного імпедансу. За інспекцією це є\(180 + j360 \Omega\), що рівнозначно\(402.5\angle 63.4^{\circ} \Omega\).
Напруги можна знайти за допомогою правила подільника напруги.
\[v_L = e \frac{X_L}{Z} \nonumber \]
\[v_L = 6\angle 0^{\circ} V \frac{360\angle 90^{\circ} \Omega}{ 402.5\angle 63.4^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[v_L = 5.366\angle 26.6^{\circ} Vp \nonumber \]
\[v_R = e \frac{R}{Z} \nonumber \]
\[v_R = 6\angle 0^{\circ} V \frac{180\angle 0^{\circ} \Omega}{402.5\angle 63.4 ^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[v_R = 2.683\angle −63.4^{\circ} Vp \nonumber \]
Прямокутні варіанти\(v_L\) і\(v_R\) є\(4.8 + j2.4\) і\(1.2 − j2.4\) відповідно, підсумовуючи до джерела\(6\angle 0^{\circ}\). Це проілюстровано на графіку фазорної напруги на малюнку\(\PageIndex{8}\).
Порівняйте графік малюнка\(\PageIndex{8}\) з RC-ланцюгом на малюнку\(\PageIndex{3}\). У цій схемі імпеданс індуктивний. Це призводить до того, що струм затримує напругу, протилежне випадку для RC-ланцюга. Таким чином, напруга резистора накручується нижче реальної осі, а не над нею (пам'ятайте, струм і напруга для резистора знаходяться по фазі, а тому напруга на резисторі буде мати той же фазовий кут, що і струм через нього). Ще раз, просто підсумовуючи величини напруг, виходить більше значення, ніж джерело, однак правильне додавання вектора показує, що KVL задоволений.
Графік часової області напруг джерела і компонента показаний на малюнку\(\PageIndex{9}\). Зверніть увагу на схожість з сюжетом Малюнок\(\PageIndex{4}\). Далі зверніть увагу на те, як помінялися тимчасові положення напруг компонентів.
Нарешті, оскільки частота джерела не була вказана для цієї схеми, шкала часу малюнка\(\PageIndex{9}\) калібрується з точки зору циклів, а не секунд.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Знайти напруги\(v_a\) і\(v_b\) в схемі рис\(\PageIndex{10}\). Припустімо, що джерело струму є посиланням\(0^{\circ}\).
Закон Ома може використовуватися безпосередньо, оскільки струм встановлюється джерелом. Враховуючи орієнтовний напрямок джерела 20 мА, опорна полярність для напруги конденсатора становитиме + до − знизу вгору. Таким чином,\(v_a\) є негативним.
\[v_a = v_C = −i\times X_C \nonumber \]
\[v_a =−20E-3\angle 0^{\circ} A\times 1000\angle −90^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[v_a =−20\angle −90^{\circ} V \nonumber \]
Нагадуючи, що негативна величина така ж, як\(180^{\circ}\) фазовий зсув, ми можемо видалити негативний знак величини, додавши\(180^{\circ}\) до фазового кута. Тому також\(v_a\) може бути написано як\(20\angle 90^{\circ}\).
\(b\)Напруга вузла виявляється шляхом множення струму на імпеданс, що видно від вузла\(b\) до землі.
\[v_b = i\times (R+jX_L ) \nonumber \]
\[v_b = 20 \angle 0^{\circ} mA\times (4300+j 150\Omega ) \nonumber \]
\[v_b = 86.05\angle 2^{\circ} V \nonumber \]
Зверніть увагу на невеликий розмір фазового кута. Це очікується, враховуючи, що індуктивний реактивний опір набагато менше, ніж резистивний компонент. Нарешті, ці напруги є середньоквадратичним, оскільки струм вважається середньоквадратичним (не позначено як пік або пік-пік).
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Знайдіть напругу\(v_{bd}\) в ланцюзі на рис\(\PageIndex{11}\). \(E_1 = 2\angle 0^{\circ}\)вольт пік і\(E_2 = 5\angle 60^{\circ}\) вольт пік.
Насамперед необхідно знайти еквівалентну напругу джерела. Джерела напруги послідовно додають, однак, зверніть увагу на еталонну полярність для\(E_2\). Якщо взяти в\(E_1\) якості системного еталонного, то комбінований джерело є\(E_1 − E_2\). Використання в\(E_1\) якості опорного джерела створює опорний струм за годинниковою стрілкою і, таким чином, позитивну опорну полярність для\(v_{bd}\). Якби\(E_2\) був прийнятий за орієнтир, то вважалося\(v_{bd}\) б від'ємним через передбачуваний напрямок відліку проти годинникової стрілки результуючого струму. Будь-який спосіб спрацює.
\[E_{Total} = E_1 −E_2 \nonumber \]
\[E_{Total} = 2\angle 0^{\circ} Vp −5\angle 60 ^{\circ} Vp \nonumber \]
\[E_{Total} = 4.359\angle −96.6^{\circ} Vp \nonumber \]
Тепер ми можемо використовувати дільник напруги між імпедансом, що видно від вузла\(b\) до вузла,\(d\) проти загального послідовного імпедансу. Імпеданс ланцюга є\(2 k + j7.5 k − j800 \Omega\), або\(2 k + j6.7 k \Omega\). Це еквівалентно\(6992\angle 73.4^{\circ} \Omega\). Імпеданс між вузлами\(b\) і\(d\) є\(j7.5 k − j800 \Omega\), або\(j6.7 k \Omega\). У полярній формі це є\(6700\angle 90^{\circ} \Omega\).
Дільник напруги дає:
\[v_{bd} = e \frac{Z_{bd}}{Z_{Total}} \nonumber \]
\[v_{bd} = 4.359\angle −96.6^{\circ} V \frac{6700\angle 90^{\circ} \Omega}{6992\angle 73.4 ^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[v_{bd} = 4.177\angle −80^{\circ} Vp \nonumber \]
Хоча ми відповіли на запитання, на цьому етапі спроба візуалізувати форми хвиль у вашій голові для перевірки результатів може бути трохи складною. Немає проблем! Якщо ми також знайдемо напругу на резисторі, ми можемо перевірити, чи перевіряється KVL за допомогою фазорної діаграми. По-перше, напруга резистора можна знайти за допомогою правила дільника напруги.
\[v_R = e \frac{R}{Z_{Total}} \nonumber \]
\[v_R = 4.359\angle −96.6^{\circ} V \frac{2000\angle 0^{\circ} \Omega}{6992\angle 73.4^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[v_R =1.247\angle −170^{\circ} Vp \nonumber \]
Тепер ми будуємо всі чотири напруги, як показано на малюнку\(\PageIndex{12}\) (зверніть увагу на нерівне горизонтальне та вертикальне масштабування для зручності візуального аналізу).
КВЛ говорить нам, що сума підйомів напруги повинна дорівнювати сумі падінь напруги. Ми використовували\(E_1\) як еталон і розглядали це як підйом. Це зробило опорний напрямок за годинниковою стрілкою для циркулюючого струму. Як наслідок,\(v_R\) і\(v_{bd}\) відбуваються перепади напруги. \(E_2\)також розглядається як падіння, враховуючи його еталонну полярність маркування. Іншими словами,\(E_1\) повинна дорівнювати сумі\(v_R\),\(v_{bd}\) і\(E_2\). Давайте подивимося, чи це відображається графічно на фазорній діаграмі.
Дивлячись на уявні частини спочатку,\(E_1\) це суворо реально, тому інші три вектори повинні сумувати нуль для своїх уявних частин. Уявна частина\(E_2\) становить близько +4.3, тоді як дві інші входять приблизно −4.1 та −0.2, тому вони балансують. Для дійсних частин\(E_2\) дорівнює +2,5,\(v_{bd}\) становить близько +0,7 і\(v_R\) становить близько −1,2. Вони складаються до +2, реальної складової\(E_1\). Все балансує. Для більш вимогливих результатів ви можете перетворити кожен з результатів полярної форми в прямокутну форму і додати реали до реалів, а уявні - до уявних, і отримати той самий результат. Насправді, використовуючи попередні записані значення, три краплі сумують до\(1.997\angle 0.0013^{\circ}\) вольт проти точно\(2\angle 0^{\circ}\) вольт. Це невелике відхилення обумовлено накопиченими похибками округлення і усічення проміжних результатів.
Іноді проблема стосується визначення значень опору або реактивного опору. Шляхи вирішення вимагатимуть використання правил аналізу у зворотному порядку. Наприклад, якщо значення резистора потрібно для установки конкретного струму, то сумарний необхідний імпеданс можна визначити з цього струму і заданого напруги живлення. Значення інших компонентів серії потім можна відняти від загальної суми (використовуючи прямокутну форму), отримуючи необхідний резистор або значення реактивного опору.
Інша можливість - визначення конкретної ємності або індуктивності для задоволення певних вимог. Прикладом цього може бути проста мережа кросовера для гучномовної системи. Як правило, один перетворювач не здатний відтворювати музичні сигнали всіх частот на досить гучних рівнях, зберігаючи при цьому низькі спотворення. Отже, діапазон частот розділений на два або більше діапазонів, кожен з яких охоплюється перетворювачем, оптимізованим для відтворення цих частот. Ці перетворювачі, разом з декількома електричними компонентами, потім упаковуються у відповідний корпус, який зазвичай називають гучномовцем 1. У базовій системі звуковий спектр розділений на дві частини, як показано на малюнку\(\PageIndex{13}\). Низькі частоти обробляються великим перетворювачем, який називається НЧ-динаміком, тоді як високі частоти обробляються невеликим перетворювачем світла, який називається твітером, який може з точністю слідувати швидко мінливому вмісту високої частоти. НЧ-динаміки не здатні відтворювати високі частоти, а надмірно низькочастотний вміст може фізично пошкодити твітер. Таким чином, деякі засоби «керування» високочастотним вмістом до твітера та низькочастотного вмісту до НЧ-динаміка повинні бути використані. Один із способів зробити це - розмістити індуктор або конденсатор послідовно з перетворювачем.
\(\PageIndex{14}\)На малюнку показаний простий спосіб блокування низьких частот від твітера. На цій схемі гучномовець моделюється як резистор. Хоча це не зовсім точно, достатньо, щоб проілюструвати ідею.
Щоб зрозуміти це поняття, просто подумайте про ланцюг як дільник напруги між гучномовцем і реактивним опором конденсатора. Ємнісний реактивний опір обернено пропорційний частоті. Схема сконструйована таким чином, що\(X_C\) набагато більше, ніж імпеданс гучномовця на дуже низьких частотах. Це означає, що дуже мало низькочастотного сигналу досягне гучномовця, оскільки більша частина цієї напруги впаде на конденсатор. На відміну від цього, на високих частотах\(X_C\) набагато менше, ніж імпеданс твітера і, таким чином, практично весь вихідний сигнал досягає гучномовця. Точка переходу між цими двома областями називається частотою кросовера і зазвичай визначається як точка, де\(X_C\) дорівнює величині імпедансу гучномовця. Для НЧ-динаміка конденсатор буде замінений індуктором. На низьких частотах індуктивний реактивний опір був би мінімальним, тим самим дозволяючи всьому низькочастотному вмісту досягти НЧ-динаміка. Протилежне відбувається на високих частотах. Індуктивний реактивний опір буде зростати з частотою і врешті-решт запобігти або «придушити» сигнал на НЧ-динамік (отже, сленговий термін «дросель» для індуктора).
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Посилаючись на схему малюнка\(\PageIndex{14}\), припустимо, що імпеданс гучномовця є\(8\angle 0^{\circ} \Omega\). Визначте значення конденсатора для частоти кросовера 2,5 кГц. На цій частоті величина\(X_C\) повинна бути такою ж, як і у гучномовця. Для вхідного сигналу RMS 10 вольт визначте напругу гучномовця на частотах 100 Гц, 2,5 кГц і 15 кГц.
Насамперед необхідно визначити величину конденсатора таку, щоб на 2,5 кГц\(X_C\) дорівнювала\(8 \Omega\). Для цього просто переставте формулу ємнісного реактивного опору:
\[X_C = − j \frac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]
\[C = {1}{2\pi f | X_C |} \nonumber \]
\[C = \frac{1}{2\pi 2500Hz 8\Omega} \nonumber \]
\[C = 7.96\mu F \nonumber \]
Щоб знайти напругу гучномовця на трьох заданих частотах, спочатку знайдіть реактивний опір на цій частоті, а потім скористайтеся правилом дільника напруги. Ми вже знаємо, що при 2,5 кГц реактивний опір є\(−j8 \Omega\).
\[v_{loudspeaker} = e \frac{Z_{Load}}{Z_{Total}} \nonumber \]
\[v_{loudspeaker}= 10 \angle 0^{\circ} Vrms \frac{8\Omega}{8 − j 8\Omega} \nonumber \]
\[v_{loudspeaker} = 7.07\angle 45 ^{\circ} Vrms \nonumber \]
При 100 Гц частота зменшилася в 25 разів, тому реактивний опір зростає на той же фактор, що дає\(−j200 \Omega\).
\[v_{loudspeaker} = e \frac{Z_{Load}}{Z_{Total}} \nonumber \]
\[v_{loudspeaker} = 10 \angle 0^{\circ} Vrms \frac{8\Omega}{8 − j 200 \Omega} \nonumber \]
\[v_{loudspeaker} = 0.4\angle 87.7^{\circ} Vrms \nonumber \]
При 15 кГц частота збільшилася в 6 разів, тому реактивний опір знижується на той же фактор, що дає\(−j1.333 \Omega\).
\[v_{loudspeaker} = e \frac{Z_{Load}}{Z_{Total}} \nonumber \]
\[v_{loudspeaker} = 10 \angle 0^{\circ} Vrms \frac{8\Omega}{8 − j 1.333\Omega} \nonumber \]
\[v_{loudspeaker} = 9.86\angle 9.5^{\circ} Vrms \nonumber \]
З цього підрахунку повинно бути очевидним, що найнижчі басові частоти відчуватимуть загасання, тоді як найвищі частоти побачать невелике зменшення амплітуди. Це саме те, що ми хочемо.
Поняття зміни вихідної напруги щодо частоти або частотної характеристики буде розглянуто набагато докладніше в наступних розділах.
Посилання
1 Щоб додати деяку плутанину, термін «гучномовець» може стосуватися або окремих перетворювачів (інженер-говорить), або до всієї готової системи (аудіофіль-говорити).