2.3: Імпеданс серії
- Page ID
- 33707
Мабуть, перше практичне питання, з яким ми стикаємося, - це визначення ефективного імпедансу циклу серії RLC. Для початку резистори послідовно просто додають. Реакція також додається, але ми повинні бути обережними з знаком. Індуктивний реактивний опір і ємнісний реактивний опір частково скасують один одного. Таким чином, імпеданс в прямокутному вигляді - це сума резистивних компонентів для реальної частини, плюс сума реактивних опорів для уявної (\(j\)) частини. Нам часто буде зручно висловлювати це значення в полярній формі.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Який імпеданс мережі показаний\(\PageIndex{1}\) на малюнку при частоті 15 кГц?
Для початку нам потрібно знайти значення ємнісного реактивного опору.
\[X_C = − j \frac{1}{2\pi f C} \nonumber \]
\[X_C = − j \frac{1}{2\pi 15kHz 910 pF} \nonumber \]
\[X_C = − j 11.66 k \Omega \nonumber \]
Оскільки є тільки один резистор і один конденсатор, результат в прямокутному вигляді є\(47 k −j11.66 k\Omega\). У полярній формі це:
\[\text{Magnitude } = \sqrt{\text{Real}^2+\text{Imaginary}^2} \nonumber \]
\[\text{Magnitude } = \sqrt{47k^2+(−11.66 k)^2} \nonumber \]
\[\text{Magnitude } = 48.42 k \nonumber \]
\[\theta = \tan^{−1} \left( \frac{\text{Imaginary}}{\text{Real}} \right) \nonumber \]
\[\theta = \ tan^{−1} \left( \frac{−11.66 k}{47 k} \right) \nonumber \]
\[\theta = −13.9^{\circ}\nonumber \]
Тобто в полярному вигляді\(Z = 48.42E3\angle −13.9^{\circ} \Omega\).
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Визначте ефективний імпеданс схеми, показаної на малюнку,\(\PageIndex{2}\) якщо частота джерела дорівнює 2 кГц. Повторіть це для вихідних частот 200 Гц і 20 кГц. Нарешті, висловлюйте результати як у прямокутній, так і в полярній формі.
Насамперед необхідно знайти значення реактивного опору на частоті 2 кГц.
\[X_L = j 2\pi f L \nonumber \]
\[X_L = j 2\pi 2000Hz 15mH \nonumber \]
\[X_L = j 188.5 \Omega \nonumber \]
\[X_C = − j \frac{1}{2\pi f C} \nonumber \]
\[X_C = − j \frac{1}{2\pi 2000 Hz 270 nF} \nonumber \]
\[X_C = − j 294.7 \Omega \nonumber \]
Поєднуйте реали з\(j\) реалами і терміни з\(j\) термінами.
\[Z = R+ j X_L − j X_C \nonumber \]
\[Z = 500+ j 188.5 − j 294.7 \Omega \nonumber \]
\[Z \approx 500− j 106.2\Omega = 511.2\angle −12^{\circ} \Omega \nonumber \]
При 200 Гц\(X_C\) буде в десять разів більше і\(X_L\) буде в десять разів менше.
\[X_C = −j2947 \Omega \nonumber \]
\[X_L = j18.85 \Omega \nonumber \]
\[Z = 500 + j18.85 −j2947 \Omega \nonumber \]
\[Z \approx 500 −j2928 \Omega = 2970\angle −80.3^{\circ} \Omega \nonumber \]
При 20 кГц\(X_C\) буде в десять разів менше і\(X_L\) буде в десять разів більше.
\[X_C = −j29.47 \Omega \nonumber \]
\[X_L = j1885 \Omega \nonumber \]
\[Z = 500 + j1885 −j29.47 \Omega \nonumber \]
\[Z \approx 500 + j1856 \Omega = 1922\angle 74.9^{\circ} \Omega \nonumber \]
Щоб допомогти візуалізувати цей складний імпеданс, корисно побудувати фазорову схему, як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\). Ми зробимо це для початкового випадку 2 кГц. Резистивна складова - горизонтальний вектор довжиною 500 (жовтий). \(X_L\)прямо вгору (синій) на\(188.5\angle 90^{\circ}\), і\(X_C\) прямо вниз (червоний) на\(294.7\angle −90^{\circ}\). Копіюючи\(X_L\) вектор, а потім зміщуючи його вниз і поруч\(X_C\), можна побачити різницю між двома реактивними компонентами (фіолетовий компонент безпосередньо над\(X_L\) копією). Ця\(\PageIndex{2}\) схема малюнка, наприклад\(\PageIndex{2}\). Реактивна сума потім копіюється і зміщується вправо, щоб приєднатися до резистивного компонента, щоб показати кінцевий результат. Це\(511.2\angle −12^{\circ} \Omega\) (зелений), як і очікувалося.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Визначити імпеданс мережі показано на малюнку\(\PageIndex{4}\). Якщо вхідна частота дорівнює 1 кГц, визначте значення конденсатора і індуктора.
Значення реактивного опору вже наведені, тому ми просто додаємо їх для визначення імпедансу в прямокутній формі. Поєднуйте реали з\(j\) реалами і\(j\) терміни з термінами, а потім конвертуйте в полярну форму.
\[Z = R+j X_L − j X_C \nonumber \]
\[Z = 750+j 600 − j 200 \Omega \nonumber \]
\[Z = 750+j 400 \Omega = 850\angle 28.1^{\circ} \Omega \nonumber \]
Щоб знайти ємність та індуктивність, ми просто переставляємо формули реактивного опору і вирішуємо. По-перше, індуктор:
\[X_L = j 2\pi f L \nonumber \]
\[L = \frac{| X_L |}{2\pi f} \nonumber \]
\[L = \frac{ 600\Omega}{2\pi 1kHz} \nonumber \]
\[L \approx 95.5 mH \nonumber \]
А тепер про конденсатор:
\[X_C = − j \frac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]
\[C = \frac{1}{2\pi f | X_C | } \nonumber \]
\[C = \frac{1}{2\pi 1 kHz 200 \Omega} \nonumber \]
\[C = 796 nF \nonumber \]
Графік підсумовування вектора імпедансу показаний на малюнку\(\PageIndex{5}\). Зверніть увагу, як три компоненти поєднуються графічно, щоб досягти\(Z\).
