1.11: Дифузія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34491

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Звернемо нашу увагу на те, що відбувається з електронами та дірками, коли вони були введені через зміщений перехід вперед. Ми зосередимося тільки на електрони, які вводяться в p-сторону переходу, але майте на увазі, що подібні речі відбуваються і з дірками, які входять в n-сторону.

Як ми бачили деякий час назад, коли електрони вводяться через перехід, вони віддаляються від області з'єднання дифузійним процесом, тоді як в той же час деякі з них зникають, оскільки вони є меншістю носіїв (електрони в основному p-типу матеріалу), і тому навколо є багато отворів для них рекомбінувати с. Це все схематично показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Електрони вводяться через p-n перехід, змушуючи їх рухатися з боку переходу з нижчою потенційною енергією в сторону з більш високою потенційною енергією. На стороні з вищою енергією багато електронів дифундують від переходу. Деякі електрони піддаються рекомбінації з дірками поперек переходу. — Рисунок\(\PageIndex{1}\): Процеси, що беруть участь у транспорті електронів через p-n перехід

Кількісно оцінений процес дифузії

Це насправді досить легко кількісно оцінити, і придумати вираз для розподілу електронів в межах p-області. Однак спочатку ми повинні трохи поглянути на процес дифузії. Уявіть, що у нас є ряд бункерів, кожен з різною кількістю електронів в них. У певний час ми могли собі уявити, що всі електрони витікають зі своїх засіків у сусідні. Оскільки немає підстав очікувати, що електрони віддадуть перевагу одній стороні над іншою, ми будемо вважати, що рівно половина йде з кожної сторони. Це все показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Ми будемо тримати речі простими і подивимося лише на три засіки. Уявіть, що у мене є 4, 6 і 8 електронів відповідно в кожному з бункерів. Після необхідного «часу спорожнення» ми матимемо чистий потік рівно по одному електрону через кожну межу, як показано на малюнку.

Горизонтальний ряд з трьох ящиків. Ліве поле містить 4 електрона, середнє поле містить 6 електронів, а праве - 8 електронів. У міру дифузії електронів після необхідного «часу спорожнення» 2 електрона покинуть ліву коробку вліво, 2 електрона будуть переміщатися з лівого ящика в середню коробку, а 3 електрона будуть переміщатися з середньої коробки в ліву. 3 електрона будуть переміщатися з середньої коробки в праву коробку, а 4 електрона буде рухатися з правого ящика в середню. 4 електрона залишать крайній правий ящик, рухаючись вправо.

Тепер давайте збільшимо кількість електронів до 8, 12 і 16 відповідно (електрони можуть перекривати деякі зараз на малюнку.) Ми знаходимо, що чистий потік через кожну межу тепер становить 2 електрони за час спорожнення, а не один.

Горизонтальний ряд з 3 ящиків з 8 електронами в лівій коробці, 12 електронів у центральній коробці та 16 електронів у правій коробці. Після часу спорожнення 4 електрона виходять з лівого ящика вліво, 4 електрона переміщаються з лівого ящика в середню коробку, а 6 електронів переміщаються з середньої коробки в ліву коробку. 6 електронів рухаються з середньої коробки в праву коробку, а 8 електронів рухаються з правого ящика в середню. 8 електронів вийдіть з правого ящика, рухаючись вправо. — Малюнок\(\PageIndex{3}\): Дифузія з бункерів з подвоєною кількістю електронів

Зверніть увагу, що градієнт (нахил) концентрації в коробках також подвоївся з одного на коробку до двох на коробку. Це призводить нас до досить очевидного твердження про те, що потік носіїв пропорційний градієнту їх щільності. Про це офіційно сказано в тому, що відомо як перший закон дифузії Фіка:\[\text{Flux} = \left(-D_{e}\right) \frac{\text{d} n(x)}{\text{d} x} \nonumber \]

де\(D_{e}\) просто константа пропорційності, яка називається коефіцієнтом дифузії. Оскільки мова йде про рух електронів, цей дифузійний потік повинен дати початок щільності струму\(J_{e_{\text{diff}}}\). Оскільки електрон має\(q\) пов'язаний з ним заряд,\[J_{e_{\text{diff}}} = q D_{e} \ \frac{\text{d} n}{\text{d} x} \nonumber \]

Тепер ми повинні викликати те, що називається рівняння безперервності. Уявіть, що у нас є обсяг\(V\), який заповнений деяким зарядом\(Q\). Цілком очевидно, що якщо скласти всю щільність струму, яка витікає з об'єму, вона повинна дорівнювати тимчасовій швидкості зменшення заряду в межах цього об'єму. Ця ідея виражена в формулі нижче, яка використовує інтеграл із замкнутою поверхнею разом з усіма іншими інтегралами для наслідування:\[\oint J \ dS = - \frac{\text{d} Q}{\text{d} t} \nonumber \]

Ми можемо писати\(Q\) як\[Q = \oint\limits_{V} \rho (v) \ dV \nonumber \]

де ми робимо об'ємний інтеграл щільності заряду\(\rho\) над об'ємом\(V\). Тепер ми можемо використовувати теорему Гаусса, яка говорить, що ми можемо замінити поверхневий інтеграл величини об'ємним інтегралом його розбіжності:\[\oint\limits_{S} J \ dS = \int \text{div} (J) \ dV \nonumber \]

Отже, поєднуючи Equation\(\PageIndex{3}\), Equation\(\PageIndex{4}\) і Equation\(\PageIndex{5}\), ми маємо (зауважте, що ми все ще маємо справу з поверхневими і об'ємними інтегралами):\[\int \text{div} (J) \ dV = - \int \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} \ dV \nonumber \]

Нарешті, ми дозволимо об'єму\(V\) зменшитися до точки, що означає, що величини всередині інтеграла повинні бути рівними, і ми маємо диференціальну форму рівняння неперервності (в одному вимірі):\[\begin{array}{l} \text{div} (J) &= \frac{\partial J}{\partial x} \\ &= - \frac{\text{d} \rho (x)}{\text{d} t} \end{array} \nonumber \]

А як щодо електронів?

Тепер повернемося до електронів в діоді. Електрони, які були введені через перехід, називаються надлишковими носіями меншини, оскільки вони є електронами в p-області (отже, меншості), але їх концентрація більша, ніж вони були б, якби вони були в зразку матеріалу p-типу в рівновазі. Ми позначимо їх як\(n^{\prime}\), і оскільки вони можуть змінюватися як з часом, так і з позицією, ми напишемо їх як\(n^{\prime} (x, t)\). Зараз є два способи, за допомогою яких\(n^{\prime} (x, t)\) можна змінюватися з часом. Одне було б, якби ми припинили вводити електрони з n-боку переходу. Розумним способом обліку розпаду, який відбувся б, якби ми не постачали електрони, було б написати:\[\frac{\text{d}}{\text{d} t} n^{\prime} (x, t) = - \frac{n^{\prime} (x,t)}{\tau_{r}} \nonumber \]

де\(\tau_{r}\) називається меншість носіїв рекомбінації життя. Досить легко показати, що якщо ми почнемо з надлишкової концентрації носія меншини\(n_{0}^{\prime}\) в\(t=0\), то\(n^{\prime} (x, t)\) йде як\[n^{\prime} (x,t) = n_{0}^{\prime} e^{\frac{-t}{\tau_{r}}} \nonumber \]

Але концентрація електронів також може змінюватися через електронів, що надходять в область або з неї\(x\). Концентрація електронів\(n^{\prime} (x,t)\) справедлива\(\frac{\rho (x, t)}{q}\). Таким чином, за рахунок потоку електронів ми маємо:\[\begin{array}{l} \frac{\text{d}}{\text{d} t} n^{\prime} (x, t) &= \frac{1}{q} \frac{\text{d} \rho (x,t)}{\text{d} t} \\ &= \frac{1}{q} \text{div} \left( J(x,t) \right) \end{array} \nonumber \]

Але, ми можемо отримати вираз для\(J (x,t)\) від Рівняння\(\PageIndex{2}\). Зменшуючи розбіжність в рівнянні\(\PageIndex{2}\) до одного виміру (у нас просто є\(\frac{\partial J}{\partial x}\)), ми нарешті закінчуємо\[\frac{\text{d}}{\text{d} t} n^{\prime} (x,t) = D_{e} \frac{\text{d}^2 n^{\prime} (x,t)}{\text{d} x^{2}} \nonumber \]

Поєднуючи рівняння\(\PageIndex{8}\) та рівняння\(\PageIndex{11}\) (електрони, врешті-решт, будуть страждати як від рекомбінації, так і дифузії), ми закінчуємо:\[\frac{\text{d}}{\text{d} t} n^{\prime} (x,t) = D_{e} \frac{\text{d}^{2} n^{\prime} (x,t)}{\text{d} x^{2}} - \frac{n^{\prime} (x,t)}{\tau_{r}} \nonumber \]

Це дещо спеціалізована форма рівняння, яке називається рівнянням амбіполярної дифузії. Це здається складним, але ми можемо отримати деякі хороші результати від нього, якщо ми зробимо деякі прості припущення граничних умов. Давайте подивимося, що ми можемо з цим зробити.

Використання рівняння амбіполярної дифузії

За все, що нас зацікавить, ми будемо дивитися тільки на сталі рішення. Це означає, що похідна часу на лівій стороні Рівняння\(\PageIndex{12}\) дорівнює нулю, і тому ми маємо (дозволяючи\(n^{\prime} (x,t)\) стати просто,\(n^{\prime}(x)\) оскільки у нас більше немає коливань часу, щоб турбуватися)\[\frac{\text{d}^2}{\text{d} t^{2}} n^{\prime} (x) - \frac{1}{D_{e} \tau_{r}} n^{\prime} (x) = 0 \nonumber \]

Давайте підберемо не необгрунтовані граничні умови, які\(n^{\prime} (0) = n_{0}\) (концентрація надлишкових електронів якраз на початку області дифузії) і\(n^{\prime} (x) \rightarrow 0\) як\(x \rightarrow \infty\) (надлишкові носії йдуть до нуля, коли ми вийдемо далеко від переходу). Потім,\[n(x) = n_{0} e^{- \frac{x}{\sqrt{D_{e} \tau_{r}}}} \nonumber \]

Вираз в радикалі\(\sqrt{D_{e} \tau_{r}}\) називається довжиною дифузії електронів\(L_{e}\), і дає нам деяке уявлення про те, наскільки далеко від переходу будуть існувати надлишкові електрони, перш ніж вони більш-менш всі рекомбінуються. Це буде важливо для нас, коли ми перейдемо до біполярних транзисторів.

Просто так ви можете відчути деякі числа, типовим значенням коефіцієнта дифузії для електронів у кремнію було б,\(D_{e} = 25 \ \frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{sec}}\) а тривалість життя міноритарних носіїв зазвичай становить близько мікросекунди. Таким чином, \[\begin{array}{l} L_{e} &= \sqrt{D_{e} \tau_{r}} \\ &= \sqrt{25 \times 10^{-6}} \\ &= 5 \times 10^{-3} \mathrm{~cm} \end{array} \nonumber \]що зовсім не дуже далеко!