1.7: Ширина виснаження

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34463

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Тепер ми можемо повернутися до щільності заряду як функції графіка положення і легко знайти електричне поле в області виснаження як функцію положення. Якщо інтегрувати закон Гаусса, то отримаємо для електричного поля: \[\mathbf{E} (x) = \frac{1}{\varepsilon} \int \rho(x) \ dx \nonumber \]

Ми могли б записати вираз,\(\rho(x)\) а потім формально інтегрувати його, щоб отримати,\(\mathbf{E} (x)\) але ми також можемо просто зробити це графічно, що набагато простіше, і дає нам набагато більш інтуїтивне відчуття того, що відбувається. Давайте почнемо робити наш інтеграл в\(x \rightarrow \infty\). Всякий раз, коли ми виконуємо інтеграл\(\PageIndex{1}\), такий як рівняння, ми повинні пам'ятати, щоб додати константу до нашої відповіді. Оскільки ми не можемо мати електричне поле, яке поширюється до нескінченності (або плюс або мінус), однак, ми можемо сміливо припустити\(\mathbf{E} (- \infty)\) і залишається на цьому значенні, поки не дійдемо до краю області виснаження в (по суті)\(x=0\). Оскільки щільність заряду дорівнює нулю аж до краю області виснаження, Гаусс говорить нам, що електричне поле тут теж не може змінюватися. Коли ми\(x=0\) добираємося до, ми стикаємося з великою негативною дельта-функцією негативного заряду на краю області виснаження. Якщо ви можете згадати назад до вашого обчислення, коли ви інтегруєте дельта-функцію, ви отримаєте крок. Оскільки заряд в дельта-функції p-side негативний, при інтеграції ми отримуємо негативний крок. Оскільки ми не знаємо (поки), наскільки великим буде крок, давайте просто назвемо його\(- \left| E_{\max} \right|\).

Електричне поле в області p-типу діода з малюнка 1.5.4 показано як крокова функція зліва від x=0, значення якої є від'ємним від абсолютного значення E_max. — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Знаходження електричного поля в області p-типу

У n-стороні області виснаження,\[\begin{array}{l} \rho(x) &= (q) N_{d} \\ &= \varepsilon \dfrac{\delta \mathbf{E}}{\delta x} \end{array} \nonumber \]

і тому ми сюжетом\(\mathbf{E}(x)\) з (позитивним) нахилом\(\frac{q N_{d}}{\varepsilon}\) починаючи з\(E(x) = - E_{\max}\) в\(x=0\). Ця лінія триває з цим позитивним нахилом, поки не досягне значення\(0\) at\(x_{n}\). Ми знаємо, що\(E(x)\) має дорівнювати\(0\)\(x = x_{n}\) тому, що немає додаткової зарядки за межами регіону виснаження і\(E\) повинні знаходитися\(0\) за межами цього регіону.

Електричне поле в області n-типу діода з малюнка 1.5.4 показано у вигляді лінії позитивного нахилу, рівного добутку q і n_d, розділеної на електричну постійну, починаючи з найнижчої точки крокової функції трохи зліва від x=0 і закінчуючи точкою x_n на осі x. — Малюнок\(\PageIndex{2}\): Оздоблення інтеграла

Зараз ми закінчили робити інтеграл. Ми б знали все про цю проблему, якби ми просто знали, що таке\(x_{n}\). Зверніть увагу, що оскільки ми знаємо нахил трикутника зараз, ми можемо знайти\(-E_{\max}\) в плані нахилу і\(x_{n}\). Ми можемо вивести вираз для\(x_{n}\), якщо згадати, що інтеграл електричного поля на відстані є падіння потенціалу на цій відстані. Що таке падіння потенціалу, що йде з p-боку на n-сторону діода?

Нагадуємо, на малюнку знову\(\PageIndex{3}\) показана схема смуги з'єднання. Потенціал падіння повинен бути якраз\(V_{\mathrm{bi}}\), «вбудованим» потенціалом переходу. Очевидно, не\(V_{\mathrm{bi}}\) може бути більше\(1.1 \mathrm{~V}\), ніж потенціал забороненої зони. З іншого боку, дивлячись на рисунок і пам'ятаючи\(\PageIndex{3}\), що заборона смуги в кремнію є\(1.1 \mathrm{~eV}\), це не буде певним значенням, як 0,2 або 0,4 вольта. Давайте полегшимо собі життя, і скажемо\(V_{\mathrm{bi}} = 1 \mathrm{~Volt}\). Це не буде занадто далеко, і, як ви побачите незабаром, відповідь не дуже чутлива до точного значення в\(V_{\mathrm{bi}}\) будь-якому випадку.

Діаграма діапазону для p-n переходу, з зонним зазором 1,1 еВ між зонами провідності та валентності в p-стороні переходу і різницею qv_bi між максимальним і мінімальним значеннями зони провідності. — Малюнок\(\PageIndex{3}\): Діаграма смуг для p-n переходу

Інтеграл\(\mathbf{E}_{x}\) тепер просто площа трикутника на малюнку\(\PageIndex{2}\). Отримати площу нескладно:\[\begin{array}{l} \text{area} &= \frac{1}{2} \text{ base} \times \text{height} \\ &= \frac{1}{2} \ x_{n} \frac{q N_{d} x_{n}}{\varepsilon} \\ &= \frac{q N_{d} x_{n}^2}{2 \varepsilon} \\ &= V_{\mathrm{bi}} \end{array} \nonumber \]

Ми можемо просто повернути рівняння\(\PageIndex{3}\) навколо і вирішити для\(x_{n}\). \[x_{n} = \sqrt{ \frac{2 \varepsilon V_{\mathrm{bi}}}{q N_{d}} } \nonumber \]

Як ми вже говорили, для кремнію,\(\varepsilon_{\mathrm{Si}} = 1.1 \times 10^{-12}\). Давайте дозволимо\(N_{d} = 10^{16} \mathrm{~cm}^{-3}\) донорам. Як ми вже знаємо з раніше,\(q = 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~Coulombs}\). Це робить\(x_{n} = 3.7 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}\) або\(0.37 \ \mu \mathrm{m}\) довго. Не дуже широкий регіон виснаження! Наскільки великий\(\left| E_{\max} \right|\)? Підключення\[E_{\max} = \frac{q N_{d} x_{n}}{\varepsilon} \nonumber \]

ми знаходимо, що\(\left| E_{\max} \right| = 53,000 \ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{cm}}\)! Чому таке велике електричне поле? Ну, ми повинні зрушити потенціал приблизно на вольт, і у нас немає великої відстані, щоб зробити це в (менше мікрона), і тому, за замовчуванням, має бути досить велике поле в області виснаження. Пам'ятайте, потенціал - це електричне поле разів відстань.

Досить p-n переходу електростатики. Сенс цієї вправи був двоякий; так що ви знаєте щось про деталі того, що насправді відбувається в p-n переході, щоб показати вам, що за допомогою лише деяких дуже простих електростатики і трохи мислення, це не так важко зрозуміти ці речі!