Перше, що нам потрібно пам'ятати, це закон Гаусса. Закон Гаусса, як і більшість фундаментальних законів електромагнетизму, походить не з першого принципу, а скоріше від емпіричного спостереження і спроб зіставити експерименти з якимось самоузгодженим математичним каркасом. Закон Гаусса говорить, що:\[\begin{array}{l} \oint\limits_{s,} D \ dS &= \ Q_{\text{encl}} \\ &= \ \oint \limits_{v,} \rho (v) \ dV \end{array} \nonumber \]

де\(D\) - вектор електричного зміщення, який пов'язаний з вектором електричного поля\(E\), співвідношенням\(D = \varepsilon E\). \(\varepsilon\)називається діелектричної проникністю. У кремнію він має значення\(1.1 \times 10^{-12} \ \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{cm}}\). (Зверніть увагу, що\(D\) повинні мати одиниці,\(\frac{\mathrm{Coulombs}}{\mathrm{cm}^{2}}\) щоб все працювало нормально.) \(Q_{\mathrm{encl}}\)це загальна кількість заряду, укладеного в обсязі\(V\), яке виходить, роблячи об'ємний інтеграл щільності заряду\(\rho (v)\).

Різні позитивні заряди, з щільністю rho, укладені в межах поверхні S, рухаються з поверхні з вектором зміщення D. Простір всередині S має об'єм V.
Ілюстрація\(\PageIndex{1}\): Мальовниче зображення закону Гаусса.

Рівняння\(\PageIndex{1}\) просто говорить, що якщо скласти поверхневий інтеграл вектора зміщення\(D\) над замкнутою поверхнею\(S\), то ви отримаєте суму загального заряду, укладеного цією поверхнею. Як би там не було корисна, інтегральна форма Закону Гаусса (що\(\PageIndex{1}\) таке Рівняння) не дуже допоможе нам у розумінні деталей області виснаження. Нам доведеться перетворити це рівняння в його диференціальну форму. Ми робимо це, спочатку зменшуючи гучність,\(V\) поки ми не зможемо розглядати щільність заряду\(\rho (v)\) як постійну\(\rho\), і замінити об'ємний інтеграл простим продуктом. Оскільки ми робимо\(V\) маленькі, назвемо це,\(\Delta (V)\) щоб нагадати нам, що мова йде лише про невелику кількість. \[\oint\limits_{\Delta (v),} \rho (v) \ dV \rightarrow \rho \Delta (v) \nonumber \]

І таким чином, Закон Гауса стає:\[\begin{array}{l} \oint\limits_{s,} D \ dS &= \varepsilon \oint\limits_{s,} E \ dS \\ &= \rho \Delta (V) \end{array} \nonumber \] або\[\frac{1}{\Delta V} \left(\oint\limits_{s,} E \ dS\right) = \frac{\rho}{\varepsilon} \nonumber \]

Тепер, за визначенням межа лівої сторони Рівняння,\(\PageIndex{4}\) як\(\Delta (V) \rightarrow 0\) відомо як розбіжність вектора\(\mathbf{E}\), або\(\mathrm{div} \mathbf{E}\). Таким чином, ми маємо\[\lim_{\Delta (V) \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta (V)} \left(\oint\limits_{s,} E \ dS\right) = \mathrm{div} (\mathbf{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon} \nonumber \] Примітка, що це говорить про розбіжність. Розбіжність вектора\(\mathbf{E}\) - межа поверхневого інтеграла\(\mathbf{E}\) над об'ємом\(V\), нормована самим об'ємом, оскільки обсяг зменшується до нуля. Мені подобається думати як про своєрідний «точковий поверхневий інтеграл» вектора\(\mathbf{E}\).

Коробка ширини Delta x, висоти Delta y та глибини Delta x має вектор E, що проходить через нього у напрямку позитивної осі x. Значення Е змінюється з x.
Малюнок\(\PageIndex{2}\): Малий обсяг для розбіжності

Якщо змінюється\(\mathbf{E}\) лише в одному вимірі, з чим ми працюємо зараз, вираз для розбіжності особливо простий. З простої картинки легко відпрацювати, що це таке. Дивлячись на малюнок,\(\PageIndex{2}\) ми бачимо, що якщо тільки\(\mathbf{E}\) спрямований вздовж одного напрямку (скажімо,\(x\)) і є лише функцією\(x\), то поверхневий інтеграл\(\mathbf{E}\) над об'ємом особливо\(\Delta (V) = \Delta (x) \Delta (y) \Delta (x)\) легко обчислити. \[\oint\limits_{s,} E \ dS = \mathbf{E} (x+\Delta (x)) \Delta (y) \Delta (z) - \mathbf{E}(x) \Delta (y) \Delta (z) \nonumber \]

Ми пам'ятаємо, що поверхневий інтеграл визначається як позитивний для вектора, що вказує назовні, і негативний для того, який вказує на об'єм, укладений поверхнею. Тепер використовуємо визначення розбіжності\[\begin{array}{l} \mathrm{div} (\mathbf{E}) &= \lim_{\Delta (V) \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta (V)} \left(\oint\limits_{s,} E \ dS\right) \\ &= \lim_{\Delta (V) \rightarrow 0} \frac{\left(\mathbf{E} (x+\Delta (x)) - \mathbf{E}(x)\right) \Delta (y) \Delta (z)}{\Delta (x) \Delta (y) \Delta (z)} \\ &= \lim_{\Delta (V) \rightarrow 0} \frac{\mathrm{E} (x+\Delta(x)) - \mathrm{E}(x)}{\Delta (x)} \\ &= \frac{\delta \mathbf{E}(x)}{\delta x} \end{array} \nonumber \]

Отже, ми маємо для диференціальної форми закону Гауса:\[\frac{\delta \mathbf{E}(x)}{\delta x} = \frac{\rho (x)}{\varepsilon} \nonumber \] Таким чином, в нашому випадку швидкість зміни\(E\) з\(x\)\(\dfrac{d}{dx} (E)\), або нахилу якраз дорівнює щільності заряду\(\rho (x)\), розділеної на\(\varepsilon\).\(E(x)\)