1.1: Проста провідність

Наші початкові дослідження більш-менш будуть оглядом тем в електриці, які ви, можливо, бачили раніше у фізиці. Однак, якщо досвід є будь-яким керівництвом, немає великої шкоди в тому, щоб повернутися до цього матеріалу; здається, що для багатьох студентів, вся концепція того, як електрика насправді працює просто трохи туманно. Враховуючи, що ви сподіваєтеся, що один з цих днів буде називатися інженером-електриком, це може бути навіть добре знати!

Більшість «законів» того, як поводиться електрика, насправді є лише математичними уявленнями ряду емпіричних спостережень, заснованих на деяких припущеннях і здогадах, які були зроблені в спробі привести «закони» в цілісне ціле. Ранні слідчі (Фарадей, Гаусс, Кулон, Генрі тощо,... всі ці хлопці) визначили певні речі про цю дивну «невидиму» річ, яка називається електрикою. Насправді сам електрон був відкритий лише трохи більше 100 років тому. Ще до того, як спостерігався сам електрон, люди знали, що існує два види електричного заряду, які називалися позитивними і негативними. Подібно до зарядів проявляють силу відштовхування між ними, а протилежні заряди притягують один одного. Ця сила пропорційна добутку абсолютного значення позитивного і негативного заряду, і змінюється обернено з квадратом відстані між ними. Різні носії заряду мають різну масу, одні дуже легкі, а інші значно важче. Електричні заряди можуть відчувати сили, і можуть рухатися. Оскільки відстань часу сили дорівнює роботі, потрібно було описати цілу систему енергії (потенційної, а також кінетичної) та втрат енергії. Це призвело до нашої нинішньої системи електростатики та електродинаміки, яку ми зараз не будемо розглядати, а піднімати по дорозі, оскільки потрібні речі.

Тільки для того, щоб переконатися, що всі знаходяться на одній основі, однак, давайте визначимо кілька величин зараз. Тоді ми побачимо, як вони взаємодіють один з одним, коли ми йдемо разом.

Загальний заряд в деякому регіоні визначається символом,\(Q\) і він має одиниці кулонів. Фундаментальна одиниця заряду (електрона або протона) символізується або трохи,\(q\) або по\(e\). Оскільки ми будемо використовувати\(e\) для інших речей, в цьому курсі ми спробуємо дотримуватися\(q\). Заряд електрона\(q\), має значення\(1.6 \times 10^{-19}\) Кулонів.

Оскільки заряд може бути розподілений по всій області з різною концентрацією, ми також поговоримо про щільність заряду\(\rho (\nu)\), яка має одиниці виміру\(\frac{\mathrm{Coulombs}}{\mathrm{cm}^3}\). (У цій книзі ми будемо використовувати модифіковану МКС систему одиниць. Відповідно до більшості працівників у полі твердотільних пристроїв, обсяг, як правило, виражається як кубічні сантиметри, а не кубічні метри - кубічний метр кремнію занадто багато!) У більшості випадків щільність заряду не є рівномірною, а є функцією того, де ми знаходимося в просторі. Таким чином, коли ми\(\rho (\nu)\) розподілили по деякому об'єму\(V\), рівняння\[Q = \int \rho (\nu) \ d \nu \nonumber \] описує загальний заряд в цьому обсязі.

Ми знаємо, що коли ми застосовуємо електричне поле до заряду, на нього діє сила, і що якщо заряд зможе рухатися, він це зробить. Рух заряду породжує електричний струм, який ми називаємо\(I\). Струм - це міра того, скільки заряду проходить задана точка за одиницю часу\( \left( \frac{\mathrm{Coulombs}}{\mathrm{second}} \right)\).

Буде корисно, якщо у нас є якась модель того, як електрика тече в провіднику. Є кілька підходів, які можна взяти, деякі більш інтуїтивні, ніж інші. Той, на який ми розглянемо, хоча і не правильний у найсуворішому сенсі, все ще дає дуже хорошу картину того, як працює електрична провідність, і цілком нормально використовувати в різних ситуаціях. У теорії провідності Друда початкова гіпотеза складається з твердого тіла, яке містить рухливі заряди, які вільно переміщаються під впливом прикладеного електричного поля. Існують також фіксовані заряди полярності, протилежні мобільним зарядам, так що скрізь всередині твердого тіла щільність чистого заряду дорівнює нулю. (Ця гіпотеза заснована на моделі атома, з позитивно зарядженим ядром і негативно зарядженими електронами, що оточують його. У твердому тілі атоми закріплені в положенні в решітці, але передбачається, що частина електронів може звільнитися від свого «хазяїна» атома і переміщатися в інші місця всередині твердого тіла.) У нашій моделі давайте виберемо полярність мобільних зарядів позитивною; це зазвичай не так, але ми можемо уникнути багатьох «мінусових» таким чином, і мати більше шансів закінчити правильну відповідь врешті-решт.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Модель провідника.

Як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\), модель провідника складається з ряду рухомих позитивних зарядів (представлених кульками зі знаком «+» в них) і рівного числа фіксованих негативних зарядів (представлених оголеним знаком «-»). У наступних цифрах ми будемо залишати поза увагою фіксований заряд, так як він ніяк не може сприяти процесу провідності, але майте на увазі, що він є, і що загальний чистий заряд дорівнює нулю всередині матеріалу. Кожен з мобільних носіїв заряду має масу\(m\), і кількість заряду,\(q\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Застосування потенціалу до провідника.

Для того, щоб мати деяку провідність, ми повинні застосувати потенціал або напругу на зразок (рис.\(\PageIndex{2}\)). Ми робимо це за допомогою акумулятора, який створює різницю потенціалів\(V\), між одним кінцем зразка та іншим. Зробимо найпростіше припущення, що можемо, і скажемо, що напруга\(V\), породжує рівномірне електричне поле всередині зразка. Величина електричного поля задається просто тим,\[E = \frac{V}{L} \nonumber \] де\(L\) знаходиться довжина зразка, і\(V\) є напругою, яке розміщується на ньому. (По правді кажучи, ми повинні показувати, а\(E\) також наступні сили і т.д. як вектори в наших рівняннях, але оскільки їх напрямок буде очевидним і однозначним, давайте тримати речі простими, і просто запишемо їх як скаляри.) Електричний потенціал, або напруга, - це всього лише міра зміни потенційної енергії на одиницю заряду, що йде з одного місця в інше. Оскільки енергія, або робота - це просто сила разів відстань, якщо ми розділимо енергію на одиницю заряду на відстань, на якій існує цей потенціал, ми закінчимо силою на одиницю заряду або електричним полем\(E\). Якщо ви не впевнені в тому, що тільки що прочитали, випишіть це як рівняння, і подивіться, що це так.

Електричне поле буде чинити силу на рухомі заряди (і нерухомі теж на те пішло, але оскільки вони нікуди не можуть піти, з ними нічого не відбувається). Сила задається просто як добуток напруженості електричного поля на заряд:\[F = qE \nonumber \]

Сила діє на заряди і змушує їх прискорюватися відповідно до рівнянь руху Ньютона:\[\begin{array}{l} F &= \ m \dfrac{dv}{dt} \\ &= \ qE \end{array} \nonumber \] або\[\frac{d}{dt} v(t) = \frac{qE}{m} \nonumber \]

Таким чином, швидкість частинки без початкової швидкості буде лінійно збільшуватися з часом так:\[v(t) = \frac{qE}{m} t \nonumber \] Швидкість прискорення пропорційна напруженості електричного поля, і обернено пропорційна масі частинки. Однак частка не може продовжувати прискорюватися назавжди. Оскільки він розташований всередині твердого тіла, рано чи пізно він зіткнеться або з іншим носієм, або, можливо, з одним із нерухомих атомів всередині твердого тіла. Будемо вважати, що зіткнення абсолютно нееластичне, і що після зіткнення частка зупиняється, тільки щоб знову прискоритися електричним полем. Якби ми склали графік швидкості частинки як функції часу, це може виглядати приблизно на зразок малюнка\(\PageIndex{3}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Швидкість як функція часу для носія заряду

Хоча частинка досягає різних швидкостей, залежно від того, скільки часу існує між зіткненнями, буде деяка середня швидкість\(\bar{v}\), яка буде залежати від деталей процесу зіткнення. Визначимо час розсіювання,\(\tau_{s}\) яке дасть нам середню швидкість, коли ми помножимо її на прискорення частинки. Тобто,\[\bar{v} = \frac{q E \tau_{s}}{m} \nonumber \] або\[\tau_{s} = \frac{m \bar{v}}{qE} \nonumber \]

Тепер давайте розглянемо лише невеликий відрізок провідника (рис.\(\PageIndex{4}\)). Він буде мати перетин вибірки\(A\), але буде тільки\(\bar{v} \Delta t\) довгим, де\(\Delta (t)\) якраз якийсь довільний часовий інтервал.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Перетин провідника

Після закінчення часу\(\Delta (t)\) всі заряди всередині коробки покинуть його, так як всі вони рухаються з однаковою середньою швидкістю\(\bar{v}\). Якщо щільність носіїв заряду в провіднику\(n\) припадає на одиницю об'єму, то кількість носіїв\(N\) всередині нашого маленького ящика якраз в\(n\) рази перевищує обсяг коробки,\(\bar{v} \Delta (t) A\). \[N = n \bar{v} \Delta (t) A \nonumber \]

Таким чином, загальний заряд\(Q\), який залишає коробку в часі\(\Delta (t)\), є справедливим\(qN\). Потік струму - це всього лише кількість заряду\(I\), яка витікає з коробки за одиницю часу:\[\begin{array}{l} I &= \ \dfrac{q n v \Delta(t) A}{\Delta (t)} \\ &= \ qn \bar{v} A \\ &= \ \dfrac{q_{2} n \tau_{s} EA}{m} \\ &= \ \dfrac{Q}{\Delta (t)} \end{array} \nonumber \]

Тепер у нас є два варіанти. Ми можемо подивитися на наш результат з точки зору кількості полів, і в цьому випадку нас буде цікавити щільність струму\(J\), яка є просто струмом\(I\), розділена на площу поперечного перерізу:\[\begin{array}{l} J &= \ \dfrac{I}{A} \\ &= \ \dfrac{q^{2} n \tau_{s}}{m} E \\ &= \ \sigma E \end{array} \nonumber \]

де\(\sigma\) називається провідність матеріалу. Якщо дивитися на провідник з макроскопічної точки зору, то нас цікавить взаємозв'язок між напругою і струмом. Напруга - це лише електричне поле, що помножує довжину зразка, а струм - це лише щільність струму, що перевищує його площу поперечного перерізу. Таким чином, ми маємо\[\begin{array}{l} I &= \ AJ \\ &= \ A \sigma E \\ &= \ A \sigma \dfrac{V}{L} \end{array} \nonumber \] чи\[\begin{array}{l} V &= \ \dfrac{L}{\sigma A} I \\ &= \ RI \end{array} \nonumber \]

де\(R\) - опір зразка. Ми відкрили закон Ома!

Зверніть увагу, що Рівняння\(\PageIndex{13}\) говорить нам, що опір зразка пропорційно його довжині (чим більше зразок, тим вище опір) і обернено пропорційно його площі поперечного перерізу (чим жирніше зразок, тим нижче опір). Опір зразка також обернено пропорційно\(\sigma\) провідності зразка. Іноді замість провідності для резистивного матеріалу вказується питомий опір.\(\rho\) Питомий опір є просто зворотним провідності:\[\sigma = \frac{1}{\rho} \nonumber \] Таким чином,\[R = \frac{\rho L}{A} \nonumber \]

І, у прагненні до повноти, є ще одна величина, з якою ви могли б зіткнутися, і це мобільність носія,\(\mu\). Рухливість - це всього лише коефіцієнт пропорційності між середньою швидкістю частинки і електричним полем. Тобто:\[\bar{v} = \mu E \nonumber \]

Ви повинні перевірити, чи правильні наступні два співвідношення:\[\begin{align} \sigma &= n q \mu \\ { } \nonumber \\ \mu &= \frac{q \tau_{s}}{m} \end{align} \nonumber \] якщо ми візьмемо звичайний провідник (нам доведеться пізніше визначити, що ми маємо на увазі під цим) і нагріємо його, атоми всередині матеріалу починають швидше вібрувати через підвищену температуру, і носії страждають значно більше зіткнення. Середній час зіткнення\(\tau_{s}\) зменшується, а значить і провідність знижується, а опір зразка йде вгору.