5.13: Балістичні квантові колодязні транзистори
- Page ID
- 31724
Щоб проаналізувати балістичну квантову лунку FET, почнемо з головного рівняння для струму.
\[ I = \frac{q(N_{S}-N_{D})}{\tau} = \frac{q(N_{S}-N_{D})v_{x}}{L} \nonumber \]
Ми визначили провідність у напрямку x і час транзиту задається\(\tau = L_{x}/v_{x}\).
Почнемо з розгляду продукту\(g.v_{x}\), який ми будемо інтегрувати, щоб отримати\((N_{S} - N_{D})v_{x}\). У k -просторі та кругових координатах це
\[ g(k)v_{x}(k)kdkd\theta=2\frac{1}{(2\pi)^{2}/LW}\frac{\hbar k_{x}}{m}kdkd\theta \nonumber \]
Спрощення далі дає:
\[ g(k)v_{x}(k)kdkd\theta=\frac{LW}{(2\pi)^{2}}\frac{\hbar}{m}k^{2}dk \text{ sin}\theta d\theta \nonumber \]
Перетворення змінної інтеграції назад в енергію, використовуючи дисперсійне відношення\(E = \hbar^{2}k^{2}/2m + E_{C}+U\), і припускаючи провідність лише в одному режимі квантової ями, дає
\[ g(k)v_{x}(k)kdkd\theta=\frac{LW}{2\pi^{2}\hbar^{2}} \sqrt{2m(E-E_{C}-U)}u(E-E_{C}-U)dE \text{ sin}\theta d\theta \nonumber \]
Підстановка назад у рівняння (5.13.1) та інтеграція над півкулею +k\((0<\theta <\pi)\) дає
\[ I= \frac{qW}{\pi^{2}\hbar^{2}}\int^{\infty}_{-\infty} \sqrt{2m(E-E_{C}-U)}u(E-E_{C}-U)(f(E,\mu_{S})-f(E,\mu_{D}))dE \nonumber \]
Нижче порогової щільність станів дорівнює нулю. Таким чином,
\[ U=-q \eta^{0}V_{GS} \nonumber \]
де ми нехтуємо ефектом\(V_{DS}\), і
\( \eta^{0} =\frac{C_{G}}{C_{S}+C_{D}+C_{G}} \)
Порогова напруга\(V_{T}\), визначається як напруга затвор-джерело, необхідна для включення транзистора, тобто підведення нижньої частини смуги провідності\(E_{C}\), до робочої функції джерела. З Рівняння (5.13.6) і вимагає\(E_{C}+U=\mu_{S}\) at поріг, отримуємо
\[ V_{T} = (E_{C}-\mu_{S})/\eta^{0}q \nonumber \]
Над порогом щільність станів і, отже, квантова ємність постійна. Таким чином, квантова яма FET є рідкісним випадком, коли ми можемо моделювати зарядні явища аналітично. Вище порога у нас
\[ U = -\eta q(V_{GS}-V_{T})-\eta^{0}qV_{T} \nonumber \]
де знову ми нехтуємо ефектом\(V_{DS}\), і
\[ \eta=\frac{C_{G}}{C_{S}+C_{D}+C_{G}+C_{Q}} \nonumber \]
З 2-d DOS в рівнянні (2.12.4),\(C_{Q}\) для одномодової квантової ями дорівнює
\[ C_{Q} = \frac{1}{2}q^{2}\frac{mWL}{\pi \hbar^{2}} . \nonumber \]
де ми розглянули лише половину звичайної щільності станів (станів +k). Це точно в області насичення, оскільки стік не може заповнити жодних станів у каналі. Квантова ємність збільшується в лінійній області, оскільки стік заповнює деякі —k стани, що призводить до похибок обчислення струму в лінійному режимі.
Відзначивши, що\(V_{T} = E_{C}/\eta^{0}q\) ми можемо переписати рівняння (5.13.9) вище порогового значення як
Тепер ми можемо спростити рівняння (5.13.5), щоб дати нам
\[ I=\frac{q W}{\pi^{2} \hbar^{2}} \int_{\mu_{s}-\eta q\left(V_{G s}-V_{T}\right)}^{\infty} \sqrt{2 m\left(E+\eta q\left(V_{G S}-V_{T}\right)\right)}\left(f\left(E, \mu_{S}\right)-f\left(E, \mu_{D}\right)\right) d E \nonumber \]
При T = 0K ми можемо вирішити рівняння (5.13.13) в лінійному режимі (\(V_{DS}<\eta(V_{GS}-V_{T})\)):
\[ I = \frac{qW}{\pi^{2}\hbar^{2}} \int^{\mu_{S}}_{\mu_{S}-qV_{DS}} \sqrt{2m(E-E_{C} + \eta qV_{GS}))}dE \nonumber \]
\( \frac{qW}{\pi^{2}\hbar^{2}} \sqrt{\frac{8m}{9}} (\eta q)^{3/2} \left[ (V_{GS}-V_{T})^{3/2}-(V_{GS}-V_{T}-V_{DS}/\eta)^{3/2} \right] \)
і в режимі насичення\((V_{DS} > \eta (V_{GS}-V_{T}))\):
\ [\ почати {вирівняний}
Я &=\ розриву {q W} {\ pi^ {2}\ hbar^ {2}}\ int_ {\ mu_ {s} -\ та q\ ліворуч (V_ {G S} -V_ {T}\ праворуч)} ^ {\ mu_ {S}}\ sqrt {2 м\ ліворуч (E+\ eta q\ ліворуч (V_ G S} -V_ {T}\ праворуч)\ праворуч)} д Е\\
&=\ frac {q W} {\ pi^ {2}\ hbar^ {2}}\ sqrt {\ frac {8 м} {9}}} (\ eta q) ^ {3/2}\ ліворуч (V_ {G S} -V_ {T}\ праворуч) ^ {3/ 2}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]
Зверніть увагу, що струм насичення йде в\(\sim (V_{GS}-V_{T})^{3/2}\) порівнянні з балістичним нанодротовим транзистором, який йде як\(\sim (V_{GS}-V_{T})\). Як ми побачимо, звичайний транзистор має залежність від струму насичення\(\sim (V_{GS}-V_{T})^{2}\).
Звичайні МОП-транзистори
Нарешті, звернемо увагу на основу цифрової електроніки, небалістичний оксид металу напівпровідниковий польовий транзистор (MOSFET).
Матеріалом каналу є об'ємний напівпровідник - як правило, кремній. Тут ми розглянемо так званий n-канальний MOSFET, що означає, що канальний струм переноситься електронами в нижній частині смуги провідності напівпровідника.
Тепер розглянемо різні режими роботи звичайного МОП-транзистора.
OFF: Підпорогове\(V_{GS} < V_{T}\)
Подібно до балістичного квантового дроту FET, ми можемо моделювати струм каналу як ін'єкцію через бар'єр, близький до електрода-джерела.
Ще раз визначимо порогову напругу як різницю потенціалів між джерелом енергії Фермі і мінімальним діапазоном провідності. \(^{†}\)
Як і в балістичному прикладі\(V_{GS} < V_{T}\), коли, тільки хвіст розподілу Фермі для електронів в джерелі перекривається порожніми станами в зоні провідності. Струм слідує за рівнянням (5.8.6).
\[ I = I_{0}\text{exp}\left[ \frac{qV_{GS}}{kT}\frac{C_{G}}{C_{ES}} \right] \nonumber \]
Підпорогові характеристики визначають напругу затвора, необхідну для включення та виключення транзисторів. З еквалайзера (5.8.8) підпороговий нахил в ідеалі становить 60 мВ/десятиліття, що означає, що зміна потенціалу затвора 60mV відповідає десятирічній зміні струму каналу.
Лінійний режим:\(V_{GS} > V_{T},\ V_{DS} < V_{GS}-V_{T}\)
Як ми побачимо, це відоме як лінійний режим, оскільки струм масштабується лінійно з потенціалом джерела стоку. Розглянемо тонкий зріз каналу шириною W, і довжиною\(\delta x\). Для цього аналізу довжина цього зрізу не може бути набагато коротшою, ніж середній вільний шлях електрона між подіями розсіювання. У кремнієвому транзисторі ми показали, що\(\delta x > 50 \text{nm}\) (див. Аналіз, пов'язаний з малюнком 4.14.3). У балістичному режимі слід аналізувати кремнієві транзистори з довжиною каналів меншою за цю.
Оскільки щільність станів вище смуги провідності дуже велика в об'ємному напівпровіднику, звичайний МОП-транзистор увійде в сильну межу заряду/металу для\((V_{GS} – V) > V_{T}\), тобто кількості зарядів\(\delta N\), у зрізі
\[ q \delta N = \frac{C_{G}}{A}W\delta x(V_{GS}-V-V_{T}) \nonumber \]
де A = W.L - площа поверхні каналу.
Тепер струм всередині зрізу задається
\[ I = \frac{q \delta N}{\tau} \nonumber \]
де\(\tau\) - час життя носіїв всередині зрізу каналу.
Оскільки розсіювання є важливим, ми використовуємо класичну модель транспортування заряду, щоб пов'язати час життя носія заряду зі швидкістю, v та довжиною зріза\(\delta x\).
\[ I = q \delta N\frac{v}{\delta x} \nonumber \]
Далі ми пов'язуємо швидкість носія заряду з рухливістю.
\[ I = q \delta N\frac{\mu F}{\delta x} \nonumber \]
Тепер ми повинні зазначити, що розсіювання призводить до того, що потенціал в каналі змінюється залежно від положення. Визначимо потенціал каналу V (x) як функцію положення в каналі. Таким чином, виражаючи джерело - стік електричного поля в плані потенціалу каналу ми маємо
\[ I = q \frac{\mu}{\delta x}\delta N\frac{\delta V}{\delta x} \nonumber \]
Далі підставляємо рівняння (5.13.14) на рівняння (5.13.15), отримуючи
\[ I = \mu \frac{C_{G}}{L}(V_{GS}-V-V_{T})\frac{\delta V}{\delta x} \nonumber \]
Ми вирішуємо це за межі\(\delta x \ll L\), що, інтегруючи обидві сторони щодо х. Так як струм рівномірний по всьому каналу, отримуємо:
\[ I.L = \int^{L}_{0} \mu \frac{C_{G}}{L}(V_{GS}-V-V_{T})\frac{dV}{dx} dx \nonumber \]
де L - довжина каналу. Зручно змінювати змінну інтеграції з правого боку на напругу. У лінійному режимі максимальний потенціал каналу дорівнює\(V_{DS}\), отже:
\[ I = \mu \frac{C_{G}}{L^{2}}\int^{V_{DS}}_{0} (V_{GS}-V-V_{T})dV \nonumber \]
Лінійний режим вимагає, щоб весь канал залишався в сильній границі заряду/металу. Це відбувається, якщо затвор для зливу потенціал\(V_{GD}\), також перевищує\(V_{T}\)
\[ V_{GD}>V_{T} \nonumber \]
або ми можемо переписати це як
\[ V_{DS}<V_{GS}-V_{T} \nonumber \]
За цим обмеженням рівняння (5.13.21) дає
\[ I = \mu \frac{C_{G}}{L^{2}} \left( (V_{GS}-V_{T})V_{DS}-\frac{1}{2}V_{DS}^{2} \right) \nonumber \]
Стандартно виражати це з точки зору ємності затвора на одиницю площі каналу,\(C_{OX}\):
\[ I = \mu \frac{W}{L}C_{OX} \left( (V_{GS}-V_{T})V_{DS}-\frac{1}{2}V_{DS}^{2} \right) \nonumber \]
Насиченість:\(V_{GS} > V_{T},\ V_{DS} > V_{GS}-V_{T}\)
Якщо потенціал затвора до стоку перевищує поріг, то область каналу, близька до стоку, переходить в режим нульового заряду, що характеризується високим електричним полем і низькою щільністю рухомих зарядів. Кажуть, що канал віджимається, а струм насичується, оскільки він більше не залежить від\(V_{DS}\). Сильна зарядка/металева область закінчується, коли потенціал локального каналу\(V = V_{GS} - V_{T}\)
\[ I = \int^{V_{GS}-V_{T}}_{0}\mu \frac{W}{L}C_{OX}(V_{GS}-V-V_{T})dV \nonumber \]
який дає
\[ I = \mu \frac{W}{L}\frac{C_{OX}}{2}(V_{GS}-V_{T})^{2} \nonumber \]
IV характеристики небалістичного МОП-транзистора показані на малюнку 5.13.6.
\(^{†}\)Власне, це завищення порогового напруги, оскільки щільність станів в смузі провідності настільки велика, що транзистор буде часто включатися, коли рівень Фермі потрапляє в межах декількох кТ. Він також ігнорує ефект заряду, що потрапив в пастку на межі розділу між каналом і ізолятором.