9.5: Перехідний відгук ланцюгів RL

Перехідна реакція ланцюгів RL - це майже дзеркальне відображення того, що для RC-ланцюгів. Щоб оцінити це, розглянемо схему Figure Template:index.

Рисунок Template:index: RL схема для аналізу перехідних реакцій.

Знову ж таки, ключем до цього аналізу є пам'ятати, що струм індуктивності не може змінюватися миттєво. При першому подачі потужності циркулюючий струм повинен залишатися на нулі. Тому падіння напруги не виробляється на резисторі, і KVL напруга на індукторі повинна дорівнювати джерелу,\(E\). Це встановлює початкову швидкість зміни струму за допомогою рівняння 9.2.9\((di/dt = E/L)\) і представлена пунктирною червоною лінією на графіку Figure Template:index. У міру того, як струм починає збільшуватися, падіння напруги на резисторі починає збільшуватися. Це знижує напругу, доступне для індуктора, тим самим сповільнюючи швидкість зміни струму. Це зображено суцільною червоною кривою на графіку. Тим часом суцільна синя крива являє собою зменшується напруга індуктивності. Таким чином, в ланцюзі RL крива напруги індуктора перегукується з кривою струму RC-ланцюга (або кривої напруги резистора), а крива струму RL перегукується з кривою напруги конденсатора RC-ланцюга.

Криві, представлені на малюнку Template:index, ідентичні тим, що представлені в розділі 8, коли ми обговорювали конденсатори. Вони відтворюються тут для вашої зручності.

Рисунок Template:index: Нормалізовані криві заряду та розряду.

Як зазначалося раніше, швидкість зміни струму в порівнянні з часом дорівнює\(\mathcal{v}/L\), а значить і в даному випадку,\(E/L\). Якби початкова швидкість зміни не зменшувалася, максимальний (сталий) струм\(E/R\), був би досягнутий за\(L/R\) секунди ¹. Тому постійна часу для ланцюга RL становить:

\[\tau = \frac{L}{R} \label{9.13} \]

Ще раз п'ять констант досягнуть сталого стану.

Після попередньої роботи над конденсаторами відповідні рівняння для схеми RL можуть бути показані як ²:

\[V_L (t) = E \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \label{9.14} \]

\[V_R (t) = E \left(1 − \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \right) \label{9.15} \]

\[I (t) = \frac{E}{R} \left(1 − \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \right) \label{9.16} \]

Де

\(V_L(t)\)це напруга індуктора в часі\(t\),

\(V_R(t)\)напруга резистора в часі\(t\),

\(I(t)\)є течією на час\(t\),

\(E\)- це напруга джерела,

\(R\)це серійний опір,

\(t\)це час інтересу,

\(\tau\)це постійна час,

\(\varepsilon\)(Також написано\(e\)) є основою натуральних логарифмів, приблизно 2.718.

Час для прикладу.

Приклад Template:index

Враховуючи схему рисунка Template:index, припустимо, що перемикач замкнутий на час\(t = 0\). Визначте постійну часу зарядки, кількість часу після закриття вимикача до того, як ланцюг досягне сталого стану, а також напруга індуктивності та струм при\(t = 0\),\(t = 2\) мікросекундах і\(t = 1\) мілісекундах. Припустимо, що індуктор спочатку розряджений.

Рисунок Template:index: Схема, наприклад Template:index.

По-перше, постійна часу:

\[\tau = \frac{L}{R} \nonumber \]

\[\tau = \frac{400 \mu H}{150 \Omega} \nonumber \]

\[\tau \approx 2.667 \mu s \nonumber \]

Сталий стан буде досягнуто за п'ять постійних часу, або приблизно 13,33 мікросекунди. Таким чином ми знаємо, що\(V_L(0) = 9\) вольти і\(V_L(1 ms) = 0\) вольти. Оскільки індуктор спочатку відкритий,\(I_L(0) = 0\) ампер. При\(I_L\) (1 мс) ланцюг знаходиться в сталому стані, а індуктор діє як короткий. Тому все джерело 9 вольт падає через\(\Omega\) резистор 150, для 60 мА.

Щоб знайти\(V_L\) (2\ mu s), ми просто вирішимо рівняння\ ref {9.14}.

\[V_L (t) = E \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \nonumber \]

\[V_L (2 \mu s) = 9V \epsilon^{− \frac{2 \mu s}{2.667 \mu s}} \nonumber \]

\[V_L (2 \mu s) \approx 4.251 V \nonumber \]

Це значення також можна визначити графічно на рисунку Template:index. Час 2 мікросекунди становить 75% постійної часу. Знайдіть це значення на горизонтальній осі, а потім відстежуйте прямо до суцільної синьої кривої, яка представляє напругу індуктора зарядки. Точка перетину знаходиться прямо в районі 47% від максимального значення на вертикальній осі. Максимальне значення тут становить напруга джерела в 9 вольт. Тому індуктор досягне приблизно 47% від 9 вольт, або трохи більше 4.2 вольт.

Струм можна знайти аналогічним чином за допомогою Equation\ ref {9.16}.

\[I_L (t) = \frac{E}{R} \left(1 − \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \right) \nonumber \]

\[I_L (2 \mu s) = \frac{9V}{150 \Omega} \left( 1 − \epsilon^{− \frac{2 \mu s}{2.667 \mu s}} \right) \nonumber \]

\[I_L (2 \mu s) = 60mA \left( 1 − \epsilon^{−0.75} \right) \nonumber \]

\[I_L (2 \mu s) = 31.66mA \nonumber \]

Комп'ютерне моделювання

Щоб перевірити наш аналіз, схема Figure Template:index вводиться в симулятор, як показано на малюнку Template:index. Для того, щоб відобразити поняття ланцюга, що змінюється в часі з вимикачем, джерело напруги 9 вольт постійного струму було замінено прямокутним джерелом імпульсної напруги. Це джерело починається від 0 вольт, а потім відразу ж піднімається до 9 вольт. Він залишається на цьому рівні протягом 20 мікросекунд, перш ніж опуститися назад до 0 вольт.

Рисунок Template:index: Схема малюнка Template:index у симуляторі.

Результати перехідного аналізу наведені на рисунку Template:index. Показана форма хвилі відстежує напругу індуктора на вузлі 2 по відношенню до землі.

Рисунок Template:index: Результати моделювання схеми малюнка Template:index.

Ми бачимо, що напруга починається з 9 вольт, як очікувалося. Потім він падає до нуля і знаходиться в сталому стані менш ніж за 15 мікросекунд, так само, як і передбачалося. Через 20 мікросекунд джерело імпульсу повертається до нульових вольт. У цей момент струм через індуктор все одно повинен бути постійним струмом 60 міліампер. Цей струм все ще буде протікати за годинниковою стрілкою, таким чином він призведе до падіння 9 вольт через\(\Omega\) резистор 150 з полярністю + до − зліва направо. Це ефективно розміщує вузол 2 негативу по відношенню до землі. Результатом є те, що полярність напруги індуктора перевертається, причому індуктор тепер виступає в якості короткочасного джерела. Ми бачимо це на перехідному аналізі як негативний спайк 9 вольт. Постійна часу розряду ідентична постійній заряду, і, таким чином, ми бачимо, що напруга індуктора падає назад до нуля за ту ж кількість часу.

Приклад Template:index

З огляду на схему Figure Template:index, знайти\(V_L\) в\(t = 1\) мікросекунді після того, як ланцюг знаходиться під напругою. Припустимо, що індуктор спочатку розряджений.

Рисунок Template:index: Схема для прикладу Template:index.

По-перше, постійна часу:

\[\tau = \frac{L}{R} \nonumber \]

\[\tau = \frac{6 mH}{15 k\Omega} \nonumber \]

\[\tau = 400 ns \nonumber \]

Стабільний стан буде досягнуто за п'ять постійних часу, або 2 мікросекунди, в цей момент напруга індуктора буде дорівнює нулю, оскільки вона буде вести себе як короткий. На відміну від цього, оскільки індуктор спочатку відкритий\((I_L(0) = 0)\), весь струм від джерела буде надходити в\(\Omega\) резистор 15 k, виробляючи 30 вольт по цій паралельній мережі. Тому можна констатувати, що\(V_L(0) = 30\) вольт і\(V_L\) (2\ mu s) = 0 вольт, визначаючи крайності. Для того, щоб знайти\(V_L\) (1\ mu s), ми можемо використовувати Equation\ ref {9.14}.

\[V_L (t) = E \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \nonumber \]

\[V_L (1 \mu s) = 30 V \epsilon^{− \frac{1 \mu s}{0.4 \mu s}} \nonumber \]

\[V_L (1 \mu s) \approx 2.463 V \nonumber \]

Існує кілька різних способів перехресної перевірки цього значення. Для початку ми можемо визначити струм індуктивності, використовуючи невелику модифікацію Equation\ ref {9.16} (значення джерела струму використовується замість того,\(E/R\) як рівняння ефективно вимагає максимального або стійкого струму).

\[I_L (t) = I \left( 1 − \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \right) \nonumber \]

\[I_L (1 \mu s) = 2mA \left( 1 − \epsilon^{− \frac{1 \mu s}{0.4 \mu s}} \right) \nonumber \]

\[I_L (1 \mu s) = 1.836mA \nonumber \]

Напруга індуктора 2.463 вольта також повинна з'явитися на паралельному\(\Omega\) резисторі 15 k. При цьому виробляється 2.463 В/ 15 к\(\Omega\), або 0.164 мА струму резистора. За KCL залишок струму джерела 2 мА повинен стікати вниз через індуктор. Це дає чистий струм індуктивності 2 мА − 0.164 мА, або 1.836 мА, перевіряючи наш попередній результат.

Приклад Template:index також підсилює концепцію постійної часу обернено пропорційна опору, а не прямо пропорційна, як у випадку RC. У ланцюзі Figure Template:index повинно бути очевидно, що чим більше значення опору, тим більше результуюча вихідна напруга стану. З рівняння 9.2.9 видно, що якщо напруга на індукторі збільшено, то початкова швидкість зміни струму по відношенню до часу буде збільшуватися, а це означає більш коротку постійну часу.

Для більш складних схем теорема Тевенена може бути використана для визначення ефективної напруги джерела та зарядного опору. Як ми бачили з RC-ланцюгами, також можливо, що опір розряду може значно відрізнятися від зарядного опору. У такому випадку криві заряду та розряду можуть бути дуже асиметричними як за часом, так і за амплітудою. Як правило, чим більший опір розряду порівняно з опором заряду, тим більшим за напругою і тим коротшим за часом буде сплеск розряду (подумайте, що площа під кривою залишається постійною).

Приклад Template:index

Припустимо, що початковий струм через індуктор дорівнює нулю на малюнку Template:index. Визначте постійну часу. Також визначте напругу індуктора і напругу на\(\Omega\) резисторі 6 к через 200 наносекунд після закриття вимикача.

Рисунок Template:index: Схема, наприклад Template:index.

Ця схема заснована на схемі, представленій на малюнку 9.3.2, як використовується в прикладі 9.3.1. У цьому аналізі було виявлено, що стабільна напруга для\(\Omega\) резисторів 6 k\(\Omega\) та 2 k становила 15 вольт, пара паралельна. Далі початкова напруга на\(\Omega\) резисторі 2 к і індукторі склало 16,67 вольт, а для\(\Omega\) резистора 6 к - 0 вольт.

Для схеми Тевенена напруга розімкнутого ланцюга на індукторі буде потенціалом на\(\Omega\) резисторі 2 k, який отримується від дільника напруги між ним і\(\Omega\) резистором 1 k, або 16.67 вольт. Еквівалентний опір отримують шляхом замикання джерела напруги, який паралельно залишає\(\Omega\)\(\Omega\) резистори 1 k і 2 k, який потім послідовно з\(\Omega\) резистором 6 k, даючи приблизно 6.667 k\(\Omega\). Еквівалент показано на рисунку Template:index.

Рисунок Template:index: Еквівалент Тевенена ланцюга Рисунок Template:index керуючого індуктором.

Відразу ж ми бачимо, що напруга початкового стану на індукторі підтверджується в еквівалентній схемі. Тепер ми можемо визначити постійну часу.

\[\tau = \frac{L}{R} \nonumber \]

\[\tau = \frac{1mH}{6.667 k \Omega} \nonumber \]

\[\tau = 150 ns \nonumber \]

Сталий стан буде досягнуто за 750 наносекунд. Щоб знайти напругу індуктивності, ми можемо використовувати Equation\ ref {9.14}.

\[V_L (t) = E \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \nonumber \]

\[V_L (200 ns) = 16.67V \epsilon^{− \frac{200 ns}{150 ns}} \nonumber \]

\[V_L (200 ns) \approx 4.39 V \nonumber \]

Повертаючись до вихідної схеми, для того щоб визначити напругу на\(\Omega\) резисторі 6 k, ми можемо знайти струм через нього і використовувати закон Ома. Струм буде таким же, як струм індуктора, як два послідовно. Таким чином, Equation\ ref {9.16} зробить трюк.

\[I_L (t) = \frac{E}{R} \left( 1 − \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \right) \nonumber \]

\[I_L (200 ns) = \frac{16.67V}{6.667 k \Omega} \left( 1 − \epsilon^{− \frac{200 ns}{150 ns}} \right) \nonumber \]

\[I_L (200 ns) = 2.5mA \left( 1 − \epsilon^{−1.333} \right) \nonumber \]

\[I_L (200 ns) \approx 1.841mA \nonumber \]

І, нарешті,

\[V_{6k} (200 ns) = I R \nonumber \]

\[V_{6k} (200 ns) = 1.841 mA 6 k \Omega \nonumber \]

\[V_{6k} (200 ns) \approx 11.05 V \nonumber \]

Далі напруга на\(\Omega\) резисторі 2 к має бути сумою, або приблизно 15,44 вольта.

Комп'ютерне моделювання

Результати Example Template:index перевіряються в симуляторі. Ще раз схема побудована за допомогою генератора імпульсів, як показано на малюнку Template:index.

Рисунок Template:index: Схема малюнка Template:index у симуляторі.

Перехідний аналіз закінчується до 1 мікросекунди, яка скромно перебуває в стаціонарному стані. Напруги вузлів 2 і 3 побудовані, як показано на малюнку Template:index. Початкова напруга на\(\Omega\) резисторі 2 k (вузол 2), як передбачалося, приблизно 16.7 вольт, і падає до 15 вольт у сталому стані, приблизно через 750 наносекунд. Напруга на\(\Omega\) резисторі 6 k (вузол 2) починається з нульових вольт, а також намотується на 15 вольт в стаціонарі, так само, як і передбачалося. Далі зверніть увагу, що прогнозовані напруги на\(\Omega\) резисторах 2 k\(\Omega\) і 6 k на 200 наносекунд перевіряються.

Рисунок Template:index: Моделювання перехідного аналізу схеми малюнка Template:index.

Напруга на індукторі становить вузол 2 мінус вузол 3. Цей диференціал побудовано окремо на рисунку Template:index. Очікувані початкові, стаціонарні та 200 наносекундних напруг, як передбачалося.

Рисунок Template:index: Моделювання напруги індуктора в залежності від часу для ланцюга Рисунок Template:index.

Одне дуже важливе спостереження полягає в тому, що якщо ланцюг RL різко змінений або розімкнутий, можуть виникнути дуже великі скачки напруги. Це пов'язано з тим, що струм індуктивності не може змінюватися миттєво. Якщо ланцюг розімкнутий, то обрив представляє дуже великий опір. Закон Ома вказує на те, що струм індуктора раз цей дуже великий опір може виробляти дуже велику напругу на новому відкритому. Насправді потенціалу може бути достатньо, щоб викликати іскру або дугу. Зверніть увагу, що оскільки струм не може змінюватися миттєво (як величина, так і напрямок), індуктор тепер поводиться як джерело напруги дуже високої величини і зі зворотною полярністю. Це явище використовується для створення іскри запалювання в двигунів внутрішнього згоряння. Коротше кажучи, котушка запалювання заряджається, створюючи деякий потік струму. Потім ланцюг переривається, залишаючи тільки котушку послідовно зі свічкою запалювання, свічка запалювання трохи більше, ніж точно розмір зазору між двома електродами. Це призводить до того, що велика напруга розвивається через зазор свічки запалювання, як правило, в районі 20 000 вольт, що достатньо для створення невеликої дуги (тобто іскри), яка потім запалює повітряно-паливну суміш в поршні.

Приклад створення сплеску напруги розряду, який значно більший за напругу джерела, можна проілюструвати схемою Рисунок Template:index. Будемо вважати, що індуктор спочатку розряджається при подачі живлення, і що перемикач знаходиться в положенні 1. У цьому випадку схема складається тільки з джерела 12 вольт,\(\Omega\) резистора 2.2 k і індуктора. Схема досягає сталого стану приблизно за 227 наносекунд. У цей момент індуктор поводиться як короткий, залишаючи повне джерело 12 вольт падати через\(\Omega\) резистор 2.2 k. Це виробляє струм за годинниковою стрілкою приблизно 5,455 мА.

Рисунок Template:index: Схема, що ілюструє великий сплеск напруги розряду.

Якщо ми тепер перемістимо перемикач в положення 2, цей струм повинен підтримуватися, оскільки струм через індуктор не може змінюватися миттєво. Новий опір розряду тепер є послідовною комбінацією двох резисторів, або 49,2 к\(\Omega\). Закон Ома і КВЛ диктують, що результуюча напруга індуктивності повинна бути 49,2 k\(\Omega\) разів 5.455 мА, або трохи більше −268 вольт. Цей потенціал негативний, оскільки струм за годинниковою стрілкою протікає через\(\Omega\) резистор 47 k, створюючи падіння + до − від землі вгору. Підвищений опір також скорочує постійну часу, і тепер сталий стан буде досягнуто лише за 10,1 наносекунди. Таким чином, ми бачимо значно більший сплеск величини (понад двадцять разів більше напруги джерела) з набагато меншою тривалістю часу (менше однієї двадцятої частини часу заряду).

Залежно від виду перемикача, який використовується, речі можуть бути навіть більш екстремальними, ніж те, що було щойно описано. Вимикачі бувають двох основних різновидів: зробити-передперерву і брейк-до-зробити. Перший здійснює контакт з другим положенням до того, як порушить контакт з першим положенням, тоді як другий робить протилежне. Щойно описана поведінка передбачає, що використовується перемикач make-before-break. На відміну від цього, якщо використовується перемикач break-before-make, ми побачимо різко інший результат.

Давайте заберемо назад в стаціонарному стані з 5.455 мА, що протікає через індуктор. Тепер перекидаємо перемикач в положення 2. Цей новий вимикач розриває контакт з проводом, що веде назад до джерела напруги, перш ніж він контактує з\(\Omega\) резистором 47 k. За короткий момент часу вимикач ні з чим не контактує і отриманий опір в шлейфі визначається повітряним зазором між контактами вимикача. Навіть якби це було лише 10 М\(\Omega\), отриманий потенціал становив би понад 50 000 вольт. Це майже напевно створить іскру, і ми ненавмисно відтворили сценарій свічки запалювання. Сподіваємося, поблизу немає горючих газів.

Посилання

¹ Тобто,\(E/L\) підсилювачі в секунду разів\(L/R\) секунд дають\(E/R\) підсилювачі.

² Див. також Додаток C.