9.2: Індуктивність та індуктори

Для початку нам потрібно вивчити взаємозв'язок між електричним струмом і магнітними полями в провіднику. Коли струм проходить через провідник, такий як провід, навколо провідника створюється магнітне поле, пропорційне силі струму. Це показано на малюнку Template:index.

Рисунок Template:index: Магнітне поле навколо провідника.

Магнітне поле можна розглядати як набори концентричних кілець навколо провідника, хоча для наочності на малюнку намальовані тільки поодинокі петлі. Кількість магнітних ліній в даній області відоме як магнітний потік і дається символом\(\Phi\) (грецька буква фі). Одиницею магнітного потоку є Вебер, Wb, названий на честь Вільгельма Вебера, німецького фізика 19 століття.

\[\text{Magnetic flux } \equiv \text{ the number of magnetic lines enclosed in a given area.} \label{9.1} \]

Зверніть увагу, що магнітне поле проходить по довжині провідника. Напрямок ліній поля слід правилу правої руки: якщо обхопити провід правою рукою так, щоб великий палець був спрямований у напрямку звичайного потоку струму, то пальці обертаються в напрямку магнітного поля. Це правило показано на рисунку Template:index.

Рисунок Template:index: Правило правої руки. Джерело зображення (змінено)

Якщо ми формуємо провідник в петлю, польові лінії заготаються в центр петлі. Це показано на малюнку Template:index. На цій схемі видно, що лінії ефектно збираються в центрі, заходячи в сторінку.

Рисунок Template:index: Магнітне поле навколо петлі.

Ефект посилення можна збільшити, додавши більше петель в тандемі. Це відоме як соленоїд і показано на малюнку Template:index. Це найосновніша форма індуктора.

Рисунок Template:index: Соленоїд.

Концентраційний ефект магнітного поля показано на малюнку Template:index. На цьому малюнку котушка показана збоку, як перетин окремих петель. Точки всередині провідників вказують на те, що струм тече до вас, зі сторінки; в той час як хрестики вказують на те, що струм тече на сторінку. Лінії потоку виходять направо, петля навколо, і знову введіть зліва. Через обмеженого простору вся петля для кожної лінії не промальовується, і важливо пам'ятати, що лінії магнітного потоку не закінчуються, а завжди створюють петлю. Крім того, хоча це показано у вигляді площини тут, це поле є тривимірним, з лініями, що зациклюються назад на сторінку, а також перед нею.

Рисунок Template:index: Магнітне поле в соленоїді. Джерело зображення

Ось так можна створити електромагніти ¹. Північний полюс є вихідним кінцем (праворуч) Figure Template:index, а південний полюс є вхідним кінцем (ліворуч).

Якщо струм зміниться, відбудеться співмірна зміна магнітного поля. Далі ця зміна поля буде викликати струм в провіднику, який створює магнітне поле, яке протистоїть початковій зміні поля. Це відомо як закон Ленца. По черзі можна констатувати, що індукований струм, викликаний мінливим магнітним полем, буде протидіяти зміні вихідного струму, який створив цю зміну вихідного магнітного поля.

На цьому етапі ми можемо запропонувати правильне визначення вебера:

\[1 \text{ weber } \equiv \text{ the magnetic flux that, acting on a single loop of a conductor, produces a potential of 1 volt if the flux is reduced to zero at an even rate over 1 second.} \label{9.2} \]

У магнітних ланцюгах нас також цікавить щільність магнітного потоку, яка є магнітним потоком на одиницю площі. Символ щільності потоку є\(B\) і має одиниці тесла (Т), названі на честь Ніколи Тесла, сербсько-хорватсько-американського інженера і винахідника. Один Тесла визначається як один вебер на квадратний метр.

\[1 \text{ tesla } \equiv 1 \text{ weber} / \text{meter}^2 \label{9.3} \]

Щоб забезпечити орієнтир, щільність магнітного потоку Землі поблизу екватора становить приблизно 31\(\mu\) Т, тоді як значення зазору звукової котушки в гучномовці становить близько 1 до 2 Т, при цьому медичні МРТ сканери ще трохи вище.

Нарешті, ми підійшли до визначення індуктивності та її одиниці, Генрі:

\[\text{Inductance is a measure of the tendency of a conductor to oppose a change in the current flowing through it.} \label{9.4} \]

\[1 \text{ henry } \equiv 1 \text{ weber} / 1 \text{ amp} \label{9.5} \]

Не дивно, що енергія, що зберігається в магнітному полі індуктора, пропорційна індуктивності. Він також пропорційний квадрату струму через індуктор.

\[W = \frac{1}{2} L I^2 \label{9.6} \]

Де

\(W\)це енергія в джоулі,

\(L\)це індуктивність у Генріс,

\(I\)це струм в амперах.

Рисунок Template:index: Прості розміри індуктора з повітряним сердечником.

Індуктор в найпростішому вигляді складається з ряду дротяних петель. Вони можуть бути намотані навколо залізного сердечника, хоча також може бути використаний кольоровий сердечник. Для простого одношарового індуктора, такого як той, який намальований на малюнку Template:index, індуктивність описується наступною формулою:

\[L=\mu \frac{A N^2}{l} \label{9.7} \]

Де

\(L\)це індуктивність у Генріс,

\(\mu\)це проникність основного матеріалу,

\(A\)площа поперечного перерізу котушки,

\(N\)це кількість витків або витків,

\(l\)це довжина котушки.

Індуктори також можуть бути намотані за допомогою декількох шарів або навколо тороїдального сердечника, і ці конструкції використовують альтернативні формули.

Стилі індуктора та упаковка

Рівняння\ ref {9.7} вказує на те, що для досягнення високої індуктивності ми хотіли б, щоб сердечник з високою проникністю, проникність є мірою того, наскільки легко встановити магнітний потік у зазначеному матеріалі. Такі речовини, як залізо або ферит, мають набагато більшу проникність, ніж повітря, і використовуються зазвичай для сердечників. Вони дійсно мають недолік в тому, що вони наситяться швидше, ніж повітряне ядро, і це може привести до спотворення.

Рисунок Template:index: Електробас-гітара звукосниматель.

Інший підхід полягає в тому, щоб упакувати якомога більше поворотів в межах заданої довжини. Один із способів зробити це - мінімізувати товщину ізоляції навколо проводу ². Цього можна досягти, використовуючи замість типового пластикового утеплювача тонке емалеве покриття. Другий спосіб полягає у використанні дуже тонкого дроту. Це призводить до двох проблем, а саме небажаного збільшення еквівалентного послідовного опору (розмовно відомого як опір котушки або\(R_{coil}\)) та обмеженої пропускної здатності струму. Всі ці ефекти повинні бути збалансовані, щоб досягти найкращої продуктивності для даної програми.

Комерційні індуктори варіюються за значенням від частки наногенри для невеликих поверхневих «чіпів» індукторів до декількох Генрі. Деякі пристрої демонструють великі внутрішні індуктивності, навіть якщо вони спеціально не використовуються як індуктори. Одним з поширених прикладів є трансформатор. Іншим прикладом є електрогітара або бас-пікап, наприклад, показаний на малюнку Template:index зі знятою обкладинкою. Такі одиниці можуть бути побудовані з декількох тисяч витків дуже тонкого дроту (зазвичай AWG 41 до 44) і досягти індуктивності, що перевищує один Генрі.

Різноманітність індукторів показана на малюнку Template:index}, всі з яких мають тип наскрізного отвору (індуктори поверхневого монтажу не виглядають значно відрізняються від їх поверхневого кріплення резистора та конденсаторних двоюрідних братів).

Рисунок Template:index: Колекція індукторів.

Два блоки зліва є формованими індукторами і використовують стандартний колірний код, подібний до тих, що використовуються для резисторів і конденсаторів. Блок у верхній частині (жовтий) - це індуктор високого струму, який відрізняється низьким рівнем\(R_{coil}\). Три індуктори в центрі використовують очевидні феритові сердечники, два намотані на прямі сердечники і третій намотані на тороїдальний сердечник. Агрегат праворуч використовує матеріал з високою проникністю в самому верху і загорнутий в пластикову оболонку для захисту. Змінні індуктори також є можливістю і можуть бути виготовлені за допомогою феритового сердечника, який можна ковзати всередині котушок, ефективно змінюючи проникність сердечника (частина фериту, частина повітря).

Рисунок Template:index: Схематичні символи індуктора (зверху знизу): стандартний, змінний, залізо/феритовий сердечник.

Схематичні символи індукторів наведені на малюнку Template:index. Стандартний символ знаходиться вгорі. Символ змінного індуктора знаходиться посередині і являє собою двовивідний пристрій, чимось нагадує символ для реостата. У нижній частині знаходиться символ індуктора з залізним, феритовим або подібним сердечником з високою проникністю. Взагалі, як і резистори, поодинокі індуктори не поляризовані і не можуть бути вставлені в ланцюг назад. Існують, однак, спеціальні програми, де кілька котушок можуть бути намотані на загальний сердечник, і для них полярність їх взаємозв'язку може мати значення.

Лист даних індуктора

Частина інформаційного листа індуктора показана на малюнку Template:index. На цій сторінці наведено доступні розміри цієї конкретної моделі, кожна з яких має відповідні величини. Ми бачимо, що ця модель доступна у значеннях індуктивності від 1\(\mu\) Н до 100 мГн. Допуск менших значень становить\(\pm\) 10%, тоді як значення при і вище 33\(\mu\) Н знаходяться на рівні\(\pm\) 5%. \(Q\)є фактором якості і особливо важливий у ланцюгах змінного струму (вище, будучи кращим), поряд з пов'язаною з ним частотою,\(f_Q\). Продовжуючи поперек знаходимо\(I_R\). Це максимальний номінальний струм. Для менших значень ми виявляємо, що вони можуть витримувати понад 2 ампер, тоді як більші одиниці витримують лише десятки міліампер.

Рисунок Template:index: Лист даних індуктора. Люб'язно надано TDK

Нарешті, ми приходимо до\(R_{max}\). Це також відомо як\(R_{coil}\). Він являє собою еквівалентний послідовний опір індуктора. Загалом, менше, тим краще. Для цієї моделі він коливається від частки Ома до декількох сотень Ом. Ця тенденція характерна для індукторів; при інших рівних умовах, чим більше індуктивність, тим більше значення пов'язаного послідовного опору. У багатьох схемах значення\(R_{coil}\) не можна ігнорувати.

Індуктори послідовно і паралельно

Припустимо, ми беремо два однакових індуктора і розміщуємо їх послідовно. Це ефектно подвоює як довжину, так і кількість петель. З Equation\ ref {9.7} ми бачимо, що подвоєння кількості петель і довжини вдвічі збільшить індуктивність. Це пов'язано з тим, що\(N^2\) піднімається на чотири рази, який потім вдвічі зменшується збільшеною довжиною. Отже, індуктори послідовно додають значення так само, як резистори послідовно. За розширенням індуктори паралельно поводяться як резистори паралельно. Еквівалент паралельних індукторів можна знайти, використовуючи або правило суми продукту, або приймаючи зворотну суму їх зворотних.

Приклад Template:index

Знайти еквівалентну індуктивність мережі, показану на малюнку Template:index.

Рисунок Template:index: Схема для прикладу Template:index.

Індуктори 6 мГн і 12 мГн знаходяться паралельно. Еквівалентне значення пари дорівнює:

\[L_{parallel} = \frac{L_2 L_3}{L_2+L_3} \nonumber \]

\[L_{parallel} = \frac{6 mH12 mH}{6 mH+12 mH} \nonumber \]

\[L_{parallel} = 4mH \nonumber \]

Ця комбінація послідовно з індуктором 5 мГн. Тому загальна еквівалентна індуктивність становить 4 мГ+5 мГн, або 9 мГн.

Взаємозв'язок струм-напруга

Основною залежністю струм-напруга індуктора є дзеркальне відображення конденсатора:

\[\mathcal{v} = L \frac{di}{dt} \label{9.8} \]

Це говорить про те, що напруга на індукторі є функцією того, наскільки швидко змінюється струм. Якщо струм не змінюється (тобто в сталому стані), то напруга на індукторі дорівнює нулю. При цьому індуктор поводиться як короткий, а точніше, як його\(R_{coil}\) значення. На відміну від цього, під час швидкої зміни початкового струму напруга індуктора може бути великим, і таким чином індуктор поводиться як розімкнутий.

Якщо ми переставимо Equation\ ref {9.8} і вирішимо для швидкості зміни струму, то виявимо, що:

\[\frac{di}{dt} = \frac{\mathcal{v}}{L} \label{9.9} \]

Таким чином, якщо індуктор живиться від джерела постійної напруги, то струм буде підвищуватися з постійною швидкістю, рівною\(\mathcal{v}/L\). Наприклад, розглядаючи схему на малюнку Template:index, ми бачимо джерело напруги, що живить один індуктор. Якби ми будували струм індуктора з часом, ми б побачили щось на зразок графіка Рисунок Template:index.

Рисунок Template:index: Індуктор з джерелом напруги.

Рисунок Template:index: Струм індуктора в залежності від часу.

З плином часу струм через індуктор збільшується, протікаючи зверху вниз. З теоретично досконалим індуктором і джерелом, це буде тривати до тих пір, поки ланцюг був під напругою. Насправді ця лінія або почне відхилятися горизонтально, коли джерело досягне своїх меж, або індуктор вийде з ладу після досягнення максимального струму або потужності. Нахил цієї лінії диктується розмірами прикладеного джерела напруги і індуктивністю.

Приклад Template:index

Визначити швидкість зміни струму через індуктор в ланцюзі Рис. Template:index. Також визначте струм індуктора 10 мікросекунд після включення живлення.

Рисунок Template:index: Схема для прикладу Template:index.

З Рівняння\ ref {9.9} швидкість зміни струму дорівнює:

\[\frac{di}{dt} = \frac{\mathcal{v}}{L} \nonumber \]

\[\frac{di}{dt} = \frac{10V}{50 mH} \nonumber \]

\[\frac{di}{dt} = 200 A \text{ per second} \nonumber \]

Іншими словами, на кожну секунду струм підвищується ще на 200 ампер. Таким чином, всього через 10 мікросекунд він підніметься до 200 А/с раз 10\(\mu\) с, або 2 мА.

Рівняння\ ref {9.8} є ключовим для розуміння поведінки індукторів. Як зазначалося раніше, якщо індуктор приводиться в рух нерухомим джерелом напруги і ігноруючи\(R_{coil}\), то струм через нього підвищується з постійною швидкістю\(\mathcal{v}/L\). Ця зміна струму через індуктор не безмежне. Миттєва зміна вимагає\(di/dt\) нескінченності, і, таким чином, напруга, що керує індуктором, також повинна бути нескінченною, що є явною неможливістю. Тому можна констатувати особливо важливу характеристику конденсаторів:

\[\text{The current through an inductor cannot change instantaneously.} \label{9.10} \]

Це спостереження буде центральним для аналізу роботи індукторів в ланцюгах постійного струму.

Посилання

¹ Воістину одне з найкрутіших винаходів усіх часів: магніт з вимикачем включення/вимикання.

² Намотаний дріт повинен бути ізольований інакше кожна петля буде коротка до петель поруч з ним, і ми залишиться з трубкою замість ряду петель.