1.2: Значущі цифри та роздільна здатність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33908

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ключовим елементом будь-якого вимірювання або похідного значення є результуюча роздільна здатність. Роздільна здатність відноситься до найкращих змін або варіацій, які можна розрізнити за допомогою вимірювальної системи. Для цифрових вимірювальних систем це, як правило, відображається цифра останнього або найнижчого рівня. Наприклад, ваги для ванної можуть відображати вагу в цілих фунтах. Таким чином, один фунт був би роздільною здатністю вимірювання. Навіть якщо шкала була в іншому випадку абсолютно точною, ми не могли бути впевнені, що вага людини в межах краще, ніж один фунт, використовуючи цю шкалу, оскільки немає ніякого способу вказати частки фунта.

Пов'язана з роздільною здатністю - це кількість значущих цифр значення. Значні цифри можна розглядати як представляють потенційну процентну точність при вимірюванні або обчисленні. Продовжуючи приклад ваги ванної кімнати, розглянемо, що відбувається при вазі 156 фунтів дорослого проти маленької дитини в 23 фунти. Оскільки шкала вирішує лише один фунт, це представляє нам невизначеність у розмірі одного фунта з 156 для дорослого, але набагато більша невизначеність одного фунта з 23 для дитини. Вимірювання фунта 156 має три значущі цифри (тобто одиниці, десятки і сотні), тоді як вимірювання фунта 23 має лише дві значущі цифри (одиниці та десятки).

В цілому провідні і кінцеві нулі не вважаються значущими. Наприклад, значення 173.58 має п'ять значущих цифр, тоді як значення 0.00143 має лише три значущі цифри (частина «143»), як і 0.000000143. Аналогічно, якщо обчислити значення 63/3.0, ми прийдемо до 21, з двома значущими цифрами. Якщо ваш калькулятор показує 21.0 або 21.00, ці додаткові кінцеві нулі не підвищують точність і не вважаються значними. Винятком з цього правила є при вимірюванні значень в лабораторії. Якщо вольтметр з високою роздільною здатністю вказує значення, скажімо, 120,0 вольт, то ці останні два нулі вважаються значущими тим, що відображають дозвіл вимірювання (тобто лічильник здатний зчитувати до десятих часток вольт).

При виконанні розрахунків результати, як правило, будуть не більш точними, ніж точність початкових вимірювань. Отже, безглуздо ділити два виміряних значення трьома значущими цифрами і повідомляти результат десятьма значущими цифрами, навіть якщо саме це і відображається на калькуляторі. Те ж саме було б справедливо і для множення. Для таких розрахунків ми не можемо очікувати, що результат буде кращим, ніж «найслабша ланка» з точки зору роздільної здатності та результуючих значущих цифр. Для прикладу розглянемо значення 3,5, поділене на 2,3. Обидва ці значення мають дві значущі цифри. За допомогою стандартного калькулятора знаходимо відповідь 1.52173913. Результат має дев'ять значущих цифр, що означають набагато більшу точність і роздільну здатність, ніж ми почали, і, таким чином, вводить в оману. До двох значущих цифр відповідь буде округлена до 1,5. На довгому ланцюжку розрахунків може бути доцільно округлити проміжні результати до подальшої цифри, а потім округлити остаточну відповідь, як зазначено раніше. Це допоможе пом'якшити накопичені помилки.

Що стосується додавання та віднімання, більша величина, як правило, вказує на кількість значущих цифр, доступних, особливо в лабораторії. Це пов'язано з роздільною здатністю виміру (тобто найтоншою його цифрою). Наприклад, припустимо, ми повинні додати дві відстані. Ми ведемо машину від стоянки до її виходу, відстань записуємо рулеткою як 51.17 футів. Потім ми їдемо від виходу до наступного міста, який одометр автомобіля фіксує як 60.0 миль. Чи справедливо сказати, що загальна відстань 60 миль плюс 51.17 футів? Ні, це не так. Чому? Тому що ми не можемо очікувати, що одометр автомобіля буде точним до 0,01 футів, як рулетка. Фактично, одометр зчитує значення з роздільною здатністю однієї десятої милі. Одна десята милі становить 528 футів, або більше десяти разів більше всього вимірювання, заданого стрічкою. Ми просто ігноруємо вимірювання стрічки, оскільки воно менше, ніж роздільна здатність одометра. Належний результат - 60,0 миль. На відміну від цього, якби рулетка вказувала 552.7 футів, або трохи більше 0,1 миль, ми могли б сміливо сказати, що загальна відстань становила 60,1 миль, округлюючи результат до найкращої цифри роздільної здатності більш грубо виміряного значення. Звичайно, цей приклад трохи надуманий, але він покликаний показати обмеження вимірювальних приладів. Це також ускладнюється тим, що ми використовуємо звичну одиницю США (милі, фути), в комплекті з їх непарними коефіцієнтами перетворення. На щастя, практично вся поточна робота в науці і техніці використовує набагато простішу метричну систему, яку ми розглянемо найближчим часом.

Інтерактивний конструктор резюме

Activity

Приклад Template:index

Визначте кількість значущих цифр в наступних значеннях.

А. 12,6

Б. 0,0034

C. 43.001

Д. 5400

Відповіді:

О. всі три цифри є значущими.

Б. два. Враховуються лише 3 та 4, оскільки провідні нулі не є значними.

C. П'ять. Вбудовані нулі значні.

Дві. Кінцеві нулі, як правило, не вважаються значними.

Приклад Template:index

Виконайте наступні обчислення, залишивши відповідь з відповідною кількістю значущих цифр.

А.\(55 \cdot 10.1\)

Б. 2312,5/16,2

C. 1756,2 + 345,1

Д. 750.2 − 0,004

Відповіді:

А. 555,5, який округляється до 560 (55 має лише дві значущі цифри).

Б. 142.7469136... який округляється до 143 (16.2 має три значущі цифри).

C. 2101.3 (обидва значення мають дозвіл на десяте місце).

Д. 750.2 (не поширюйте відповідь за більш грубе дозвіл десятого місця).

Резюме

Провідні нулі не є значними
Кінцеві нулі, як правило, не є значними, але можуть бути, коли вимірювальне обладнання з більшою роздільною здатністю забезпечує кінцеві нулі при вимірюванні
Всі ненульові цифри є значущими, а всі нульові цифри між ненульовими цифрами значні
При множенні і діленні значення з найменшою кількістю значущих цифр вказує на кількість значущих цифр в результаті
При додаванні і відніманні значення з найменшою роздільною здатністю (тобто найбільш грубим) встановить межу дозволу в результаті