8.3: Рівняння обліку ентропії

Рекомендованою відправною точкою для будь-якої задачі, яка вимагає застосування Другого закону термодинаміки, визначення виробництва ентропії або зміни ентропії системи, є форма швидкості рівняння обліку ентропії, отриманого раніше: При\[\frac{d S_{sys}}{d t} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \dot{S}_{gen} \nonumber \] застосуванні цього рівняння до описують поведінку системи, існує кілька моделюючих припущень, які зазвичай використовуються. Вони докладно описані в наступних параграфах. Як завжди, ви повинні зосередитися на розумінні фізики, що лежить в основі припущення, і як вони використовуються. Не варто просто запам'ятовувати спрощені рівняння.

Типові припущення моделювання

Стаціонарна система: Якщо система працює під стаціонарними змінами, всі інтенсивні властивості та взаємодії не залежать від часу. Таким чином, ентропія системи постійна,\(S_{sys}=\) постійна. При застосуванні до рівняння обліку ентропії ви маєте наступне\[\begin{aligned} \underbrace{\cancel{ \frac{d S_{sys}}{dt} }^{=0}}_{\text{Steady-state}} &= \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \dot{S}_{gen} \\ 0 \ &=\sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \dot{S}_{gen} \end{aligned} \nonumber \] У словах чиста швидкість теплопередачі ентропії в систему плюс чиста масова швидкість транспортування ентропії в систему плюс чиста генерація (виробництво) швидкість ентропії повинна дорівнювати нулю.

Закрита система: Закрита система не має масового потоку через свою межу. З цим обмеженням рівняння обліку ентропії спрощується наступним чином:\[\begin{aligned} &\frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \underbrace{ \cancel{\sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i}-\sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e}}^{=0} }_{\text {Closed system} \rightarrow \text{no mass flow}} + \dot{S}_{gen} \\ &\frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}}+\dot{S}_{gen} \end{aligned} \nonumber \]

Закінчений час, замкнута система: Для замкнутої системи протягом скінченного часового інтервалу, ви спочатку застосовуєте припущення замкнутої системи, а потім інтегруєте рівняння протягом заданого інтервалу часу:\[\begin{aligned} \frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} &+ \cancel{\sum_{in} \dot{m}_{i} s_{j}-\sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e}}^{=0} + \dot{S}_{gen} \\ {\frac{d S_{sys}}{dt}} &= \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \dot{S}_{g e n} \\ \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\frac{d S_{sys}}{dt}\right) dt &= \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}}\right) dt + \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{S}_{gen} \ dt \\ S_{sys, \ 2}-S_{sys, \ 1} &= \sum_{j=1}^{N} \left[\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} d t\right] + S_{gen} \end{aligned} \nonumber \] Словом, це говорить про зміну ентропії системи дорівнює чиста тепловіддача ентропії в систему плюс кількість ентропії, виробленої всередині системи.

Внутрішньо оборотний процес: Коли процес внутрішньо оборотний, немає виробництва ентропії і\(\dot{S}_{gen} \equiv 0\). За цих умов рівняння обліку ентропії зводиться до наступного:\[\begin{aligned} &\frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \underbrace{\cancel{\dot{S}_{gen}}^{=0}}_{\begin{array}{c} \text {Internally reversible} \\ \text{process} \end{array}} \\ & \frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} \end{aligned} \nonumber \] Це піднімає цікавий момент. Якщо ви не можете припустити, що процес є внутрішньо оборотним, все, що ви знаєте, це те, що швидкість виробництва ентропії більше або дорівнює нулю\(\dot{S}_{gen} \geq 0\). Це означає, що коли ви шукаєте рівняння, які допоможуть вирішити проблему, рівняння обліку ентропії приносить із собою вбудоване невідоме. Наприклад, якщо перед застосуванням рівняння обліку ентропії у вас є три рівняння і чотири невідомі, після застосування рівняння обліку ентропії у вас буде чотири рівняння і п'ять невідомих, якщо ви не зможете припустити внутрішньо оборотний процес. Насправді ситуація не така похмура, як це здається. Хоча ви можете не знати його точного значення, ви знаєте, що рівень виробництва ентропії не може бути негативним. Крім того, як ми коротко покажемо, будь-яка реальна система повинна мати значення, яке є позитивним і буде наближатися до нуля, коли ми наближаємося до найкращого або оптимального поведінки для заданих умов.

Припущення про тепловіддачу і роботі перенесення ентропії:

Теплопередача ентропії - У цьому курсі ми зазвичай робимо одне з трьох припущень про тепловіддачу ентропії для системи:

1. Відсутня тепловіддача і, таким чином, відсутня тепловіддача ентропії.
2. Швидкість теплопередачі\(\dot{Q}_{j}\) та/або температура поверхні\(T_{b, \ j}\) може бути невідомою, і тому швидкість передачі ентропії з тепловіддачею також невідома. У цьому випадку рівняння обліку ентропії може забезпечити додаткове рівняння, яке пов'язує ці дві змінні.
3. Швидкість теплопередачі\(\dot{Q}\) та температура\(T_{b, \ j}\) поверхні вказані, і, таким чином, відома швидкість передачі ентропії з тепловіддачею.

Будь ласка, пам'ятайте, що перенесення ентропії з тепловіддачею може бути визначено лише відносно кордону. При переміщенні кордону ви можете змінити швидкість передачі тепла або температуру поверхні, при якій вона відбувається. Без чіткого вказівки кордону вашої системи неможливо застосувати жодне з цих припущень.

Застосовуючи рівняння збереження енергії, ви зазвичай розраховували чисту швидкість теплопередачі для системи шляхом підсумовування швидкості теплопередачі за межі системи. Оскільки швидкість передачі ентропії з тепловіддачею залежить як від швидкості теплопередачі, так і від граничної температури, де відбувається тепловіддача, необхідно бути обережним, щоб при визначенні тепловіддачі ентропії тільки підсумувати швидкості теплопередачі, що відбуваються при одній і тій же температурі. Наприклад,\[\sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} = \frac{1}{T_{b}} \sum_{j=1}^{N} \dot{Q}_{j} = \frac{\dot{Q}_{\text {net, in}}}{T_{b}} \quad\quad \text { only if } T_{b,\ j} = T_{b} \text { for all surfaces. } \nonumber \] ще однією поширеною проблемою є присвоєння граничної температури, коли система обмінюється енергією за допомогою теплопередачі з рідинно-конвекційним тепловіддачею. Щоб допомогти нам відповісти на це питання, нам потрібно вивчити зміну температури всередині системи та рідини поблизу кордону системи. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показано розподіл температури, нормальний до кордону в системі і навколишньої рідини. Якщо конвекційна тепловіддача відбувається від системи до навколишньої рідини, то розподіл температури з'являється так, як показано на малюнку. Температура знижується всередині системи у міру наближення до кордону. На кордоні (межі між системою та навколишньою рідиною) температура\(T_{\text {surface}}\). безпосередньо прилягає до системи - це шар повітря, який зазвичай називають прикордонним шаром. Прикордонний шар являє собою шар повітря, через який змінюється температура від\(T_{\text {surface}}\) до\(T_{\infty}\), температура рідини подалі від стінки.

Конвекційна тепловіддача через прикордонний шар:\(\dot{Q}_{\text {convection}}=h A_{\text {surface}}\left(T_{\text {surface}}-T_{\infty}\right) \)

Швидкість вироблення ентропії в межах прикордонного шару:\(\underbrace{\cancel{\dfrac{d S_{sys}}{dt}}^{=0}}_{\text{Steady-state}} = \dfrac{\dot{Q}_{\text {conv, in}}}{T_{\text {surface}}} - \dfrac{\dot{Q}_{\text {conv, out}}}{T_{\infty}} + \left.\dot{S}_{\text {gen}} \quad \rightarrow \quad \dot{S}_{\text {gen }}\right|_{\begin{array}{c} \text {boundary} \\ \text{layer} \end{array}} = \dot{Q}_{\text {conv, in}}\left[\dfrac{1}{T_{\infty}}-\dfrac{1}{T_{\text {surface}}}\right] \)

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Виробництво ентропії на кордоні системи з конвекційною тепловіддачею

Якщо наша система не включає прикордонний шар, то правильна температура, яку слід використовувати при розрахунку тепловіддачі ентропії для системи є\(T_{b}=T_{\text {surface}}\). Якщо система дійсно включає прикордонний шар, то правильною температурою, яку слід використовувати при розрахунку тепловіддачі ентропії, є\(T_{b}=T_{\infty}\). Однак слід зазначити, що оскільки остання система містить додатковий матеріал (прикордонний шар), вона може мати різну швидкість виробництва ентропії та різну швидкість перенесення ентропії. Як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\), процес стаціонарного теплообміну через межу призводить до швидкості вироблення ентропії.

Причина цього обговорення є важливим, полягає в тому, що часто застосовуючи рівняння обліку ентропії, ви не будете знати температуру поверхні, і ви будете знати (або можете розумно припустити) температуру навколишнього середовища, скажімо кімнатну температуру. У цих випадках цілком прийнятно включити прикордонний шар всередині вашої системи, щоб ви знали граничну температуру для розрахунку тепловіддачі ентропії. Однак, будь ласка, пам'ятайте, що виробництво ентропії, яке ви обчислюєте для системи, яка включає прикордонний шар, буде іншим і більшим, ніж те, що ви б обчислили для меншої системи, яка не включала прикордонний шар.

Робота з перенесенням ентропії - я включив це сюди, щоб підкріпити момент, що немає транспорту ентропії з роботою. Скажу ще один раз: транспорту ентропії з роботою немає.

Це призводить нас до іншого способу розрізнення робочої передачі енергії і тепловіддачі енергії. Тепловіддача енергії завжди несе з собою кількість ентропії; в той час як робота передачі енергії ніколи не робить.

Припущення про речовину:

Як ми виявили зі збереженням енергії, нам потрібно буде оцінити теплофізичні властивості —\(u\)\(h\), \(s\), \(T\), \(P\), \(\rho\), і\(\upsilon\). Для цього потрібні емпіричні знання про поведінку матеріалу всередині системи. В останньому розділі ми представили дві різні моделі речовин, і незабаром ми розширимо їх, включивши розрахунок змін ентропії.

Розв'язування задач за допомогою рівняння обліку ентропії

На практиці ми зазвичай застосовуємо рівняння обліку ентропії до трьох різних типів задач:

• проблеми, де нас прямо просять визначити швидкість виробництва ентропії,
• проблеми, де нас просять визначити, чи можливий даний процес, тобто швидкість виробництва ентропії знаходиться в допустимих межах\(\dot{S}_{gen} \geq 0\), і
• проблеми, де нас просять визначити «найкращу» продуктивність, яка теоретично можлива.

Для першого типу задачі, де нас просять чітко визначити швидкість виробництва ентропії, ми, як правило, застосовуватимемо як збереження енергії, так і рівняння обліку ентропії. Крім того, ми повинні вміти визначати значення для кожного члена в рівнянні обліку ентропії, за винятком швидкості виробництва ентропії.

Для другого типу проблеми, де нас просять визначити, чи можливий певний процес чи пристрій, ми знову повинні мати можливість визначити швидкість виробництва ентропії. Питання про те, чи можливий даний процес чи пристрій, майже завжди вимагають, щоб ми знайшли швидкість генерації ентропії для процесу. Не кожен процес, який задовольняє збереженню енергії, також задовольняє рівняння обліку ентропії. Невиконання жодного з цих фізичних законів означає, що даний процес неможливий.

Для третього типу проблеми нас просять визначити «найкращу» можливу продуктивність для пристрою або процесу. Знову ж таки, ключем до відповіді на ці питання є рівняння обліку ентропії. Щоб відповісти на ці питання, потрібно поєднати збереження енергії та рівняння обліку ентропії, щоб бажану продуктивність можна було вивчити як функцію швидкості генерації ентропії. (Нагадаємо, що швидкість генерації ентропії є єдиною величиною або в збереженні енергії, або в рівнянні обліку ентропії, яке має будь-яке фізичне обмеження, розміщене на його значенні.) Щоб знайти «найкращу» продуктивність, необхідно вивчити бажану продуктивність пристрою в діапазоні можливих значень генерації ентропії та подивитися, що є «найкращою» продуктивністю для заданих умов експлуатації, наприклад, максимальної потужності або мінімальної потужності для системи. Хоча вам рекомендується досліджувати конкретні випадки, щоб перевірити цей висновок, досвід показав, що «найкраща» продуктивність, яка теоретично можлива, завжди виникає, коли пристрій або процес є внутрішньо оборотними.

Наступні приклади служать двом функціям. По-перше, вони демонструють механіку застосування обліку ентропії з різними моделюючими припущеннями. По-друге, вони покликані допомогти вам дізнатися більше про важливість ентропії майна та її виробництва. Будь ласка, уважно прочитайте проблеми і, де просять, відповідайте на різні питання в міру своїх можливостей.

Приклад — Корпус гарячого резистора!

9-вольтовий акумулятор живить\(200 \text{-} \Omega\) резистор. Резистор працює в стаціонованих умовах. Конвекційна тепловіддача відбувається між навколишнім повітрям при\(25^{\circ} \mathrm{C}\) і резистором. Площа поверхні резистора дорівнює\(2.5 \mathrm{~cm}^{2}\), а коефіцієнт теплопередачі конвекції дорівнює\(10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot { }^{\circ} \mathrm{C}\right)\).

Визначте (а) величину та напрямок швидкості передачі тепла, (б) швидкість генерації ентропії лише для резистора та (c) швидкість генерації ентропії для збільшеної системи, яка включає резистор та прикордонний шар повітря, що оточує резистор.

Рішення

Відомо: резистор знаходиться під напругою від акумулятора і працює в стаціонарних умовах.

Знайти: (а) Швидкість теплопередачі, в\(\mathrm{W}\).

(b) Швидкість генерації ентропії лише для резистора, в\(\mathrm{W}/\mathrm{K}\).

(c) Швидкість генерації ентропії для збільшеної системи, яка включає конвекційний прикордонний шар

Дано:

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Струм проходить через резистор, який оточений прикордонним шаром з повітрям.

Температура навколишнього повітря:\(T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}\)

Коефіцієнт тепловіддачі конвекції:\(h=10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot { }^{\circ} \mathrm{C}\right)\)

Площа поверхні:\(A=2.5 \mathrm{~cm}^{2}=2.5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}\)

Напруга постійного струму на резисторі:\(\Delta V = 9 \mathrm{~volts}\)

Опір резистора:\(R=200 \ \Omega\)

Стаціонарна система

Аналіз:

Стратегічні\(\rightarrow\) питання щодо швидкостей тепловіддачі зазвичай вимагають застосування збереження енергії.

Питання про виробництво ентропії завжди вимагають застосування рівняння обліку ентропії.

Система\(\rightarrow\) починається саме з резистора.

Властивість рахувати\(\rightarrow\) Енергію, а потім ентропію.

Часовий інтервал\(\rightarrow\) Оскільки він описав систему як стаціонарну, можна припустити нескінченно малий часовий інтервал.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Закрита система, що складається тільки з резистора.

(а) Для вирішення швидкості теплопередачі ми будемо розглядати резистор тільки як замкнуту систему і запишемо рівняння збереження енергії для цієї системи:

\[ \begin{aligned} & \underbrace{ \cancel{\frac{dE_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} + \underbrace{\cancel{ \sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(h_{i} + \frac{V_{i}^{2}}{2} + gz\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(h_{e} + \frac{V_{e}^{2}}{2} + gz\right) }^{=0}}_{\text{Closed system}} \\ & 0=\dot{Q}_{\text {in}} + \dot{W}_{\text {electric, in}} \quad \rightarrow \quad \dot{Q}_{\text {in}} = -\dot{W}_{\text {electric, in}} \end{aligned} \nonumber \]Як і слід було очікувати, ми виявимо, що швидкість тепловіддачі дорівнює негативній потужності в. Крім того, можна сказати, що електрична потужність дорівнює швидкості передачі тепла.

Припускаючи, що резистор підпорядковується Закону Ома, ми можемо обчислити електричну потужність і швидкість тепловіддачі наступним\[\dot{Q}_{\text {in}} = -\underbrace{\dot{W}_{\text {electric, in}}}_{=i \cdot \Delta V} = -i \cdot \Delta V = -\left(\frac{\Delta V}{R}\right) \cdot \Delta V = -\frac{(\Delta V)^{2}}{R} = -\frac{(9 \mathrm{~V})^{2}}{(200 \ \Omega)} = -0.405 \mathrm{~W} \nonumber \] чином: Таким чином, швидкість тепловіддачі з резистора дорівнює\(0.405 \mathrm{~W}\).

(b) Щоб знайти швидкість генерації ентропії, ми будемо використовувати ту саму систему, що і вище, і застосуємо рівняння обліку ентропії:

\[ \underbrace{ \cancel{\frac{d S_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \underbrace{ \cancel{\sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} s_{e}}^{=0} }_{\text{Closed system}} + \dot{S}_{\text{gen}} \quad \rightarrow \quad 0 = \frac{\dot{Q}_{\text{in}}}{T_{\text{surface}}} + \dot{S}_{\text{gen}} \quad \rightarrow \quad \underbrace{ -\frac{\dot{Q}_{\text{in}}}{T_{\text{surface}}} }_{\begin{array}{c} \text{Heat transfer of entropy} \\ out \text{ of the system} \end{array}} = \dot{S}_{\text{gen}} \nonumber \]

Це говорить про те, що швидкість передачі ентропії з системи з тепловіддачею дорівнює швидкості генерації ентропії всередині системи. Зверніть увагу, що хоча наше первісне припущення про напрямок швидкості теплопередачі було неправильним, ми все ще використовуємо ті ж припущення для застосування ентропійного балансу. (Зміна знаків і напрямків в середині проблеми є частим джерелом помилок при вирішенні проблем.)

Для вирішення швидкості генерації ентропії нам потрібно знайти температуру поверхні резистора\(T_{b}\), тому що межа системи збігається з поверхнею резистора. Для цього ми можемо скористатися конвекційним співвідношенням теплопередачі наступним чином:\[\begin{aligned} &\dot{Q}_{\text {in}} = h \cdot A \cdot \left(T_{\infty}-T_{\text {surface}}\right) \quad \rightarrow \quad T_{\text {surface}}-T_{\infty} = \frac{-\dot{Q}_{\text {in}}}{h \cdot A} = \frac{-(-0.405 \mathrm{~W})}{\left(10 \dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right)\left(2.5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}\right)} = 162^{\circ} \mathrm{C} \\[4pt] &T_{\text {surface}} = \left(T_{\text {surface}}-T_{\infty}\right)+T_{\infty} \quad \rightarrow \quad T_{\text {surface}} = 162^{\circ} \mathrm{C} + 25^{\circ} \mathrm{C} = 187^{\circ} \mathrm{C} \end{aligned} \nonumber \] З практичної точки зору ця температура поверхні неприпустимо висока. Однак це демонструє значну проблему мініатюризації електронних компонентів - підтримання прийнятних робочих температур.

Тепер, коли ми знаємо температуру поверхні, ми можемо обчислити швидкість генерації ентропії для резистора:\[\left. \dot{S}_{\text{gen}}\right|_{\text {Resistor}} = \frac{-\dot{Q}_{\text {in}}}{T_{\text {surface}}} = \frac{-(-0.405 \mathrm{~W})}{(187+273) \mathrm{K}} = \frac{0.405 \mathrm{~W}}{460 \mathrm{~K}} = 0.880 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} \nonumber \] Це швидкість виробництва ентропії всередині резистора і є прямим результатом незворотного перетворення електричної енергії в теплову енергію. Для резисторів це іноді називають Джоулевим нагріванням. Зверніть увагу, що значення температури поверхні було перетворено в температурну шкалу Кельвіна, термодинамічну температурну шкалу, перш ніж вона використовувалася для розрахунку швидкості передачі ентропії з тепловіддачею. Якби ми використовували температуру в градусах Цельсія, ми б отримали інше і неправильне значення швидкості передачі ентропії!

(c) Для вирішення швидкості генерації ентропії збільшеної системи, яка включає прикордонний шар, нам потрібно переглянути нашу систему. (Див. Малюнок нижче.) Якщо застосувати збереження енергії до цієї системи, то знайдемо той самий результат, який ми знайшли тільки для резистора:\(-\dot{Q}_{\text{in}} = \dot{W}_{\text {electric, in}}\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Закрита система, що складається з резистора і навколишнього його прикордонного шару.

Рівняння обліку ентропії також буде виглядати однаково за одним істотним винятком - граничною температурою, при якій відбувається тепловіддача. Для збільшеної системи швидкість генерації ентропії для цієї збільшеної системи така:\[\left.\dot{S}_{\text{gen}}\right|_{\begin{array}{l} \text {Resistor}+ \\ \text{Boundary Layer} \end{array}} = \frac{-\dot{Q}_{\text {in}}}{T_{\infty}} = \frac{-(-0.405 \mathrm{~W})}{(25+273) \mathrm{K}} = \frac{0.405 \mathrm{~W}}{298 \mathrm{~K}} = 1.359 \times 10^{-3} \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} \nonumber \] де гранична температура була прийнята за температуру навколишнього повітря. Зверніть увагу, що, як можна було очікувати, швидкість виробництва ентропії для збільшеної системи більше, ніж швидкість виробництва ентропії тільки для резистора.

Коментар:

Хоча ми відповіли на всі запитання, це така багата проблема, і ми вже вклали час на початок роботи, тому давайте подивимося, що ще ми можемо навчитися.

Чи можемо ми точно пояснити, звідки надходить додаткове виробництво ентропії? ТАК!

Розглянемо конвекційний прикордонний шар як систему сама по собі. Зверніть увагу, що дроти, що несуть електричну потужність до резистора, проходять через цю систему без чистої передачі електричної енергії; однак, є дві передачі тепла. На внутрішній поверхні прикордонного шару система обмінюється енергією за допомогою теплопередачі\(\dot{Q}_{\text {in, surface}}\) з резистором на\(T_{\text {surface}}\), і на зовнішній поверхні прикордонного шару, система обмінюється енергією теплопередачі\(\dot{Q}_{\text {out, } \infty}\) з оточенням при \(T_{\infty}\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Система, що складається тільки з конвекційного прикордонного шару.

Тепер, якщо ми запишемо збереження енергії та рівняння обліку ентропії для цієї замкнутої системи, ми маємо

\[ \begin{aligned} & \underbrace{ \cancel{\frac{d E_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dot{Q}_{\text{in, surface}} - \dot{Q}_{\text{out, } \infty} \quad &\rightarrow \quad \dot{Q}_{\text{out, } \infty} = \dot{Q}_{\text{in, surface}} \\ & \underbrace{ \cancel{\frac{d S_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \frac{\dot{Q}_{\text{in, surface}}}{T_{\text{surface}}} - \frac{\dot{Q}_{\text{out, } \infty}}{T_{\infty}} + \dot{S}_{\text{gen}} &\rightarrow \quad \frac{\dot{Q}_{\text{out, } \infty}}{T_{\infty}} = \frac{\dot{Q}_{\text{in, surface}}}{T_{\text{surface}}} + \dot{S}_{\text{gen}} \end{aligned} \nonumber \]

Відзначимо, що від ентропійного балансу тепловіддача ентропії з системи не може бути меншою, ніж тепловіддача ентропії в систему і вона збільшується за рахунок вироблення ентропії в системі.

Поєднання цих результатів дає нам швидкість вироблення ентропії для прикордонного шару:

\[\begin{aligned} \left.\dot{S}_{\text {gen}}\right|_{\begin{array}{l} \text {Boundary} \\ \text{Layer} \end{array}} &= \frac{\dot{Q}_{\text {out, } \infty}}{T_{\infty}}-\frac{\dot{Q}_{\text {in, surface}}}{T_{\text {surface}}} \\ &=\dot{Q}_{\text {in, surface}}\left[\frac{1}{T_{\infty}}-\frac{1}{T_{\text {surface}}}\right] = (0.405 \mathrm{~W}) \left[\frac{1}{298 \mathrm{~K}}-\frac{1}{460 \mathrm{~K}}\right] = 0.479 \times 10^{-3} \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} \end{aligned} \nonumber \]

Зверніть увагу, що це виробництво ентропії є результатом сталого теплообміну через шар повітря з різницею скінченних температур. (Нагадаємо, що передача тепла через кінцеву різницю була в списку дисипативних ефектів.) Також зверніть увагу, що три показники виробництва ентропії мають чітко визначену\[\underbrace{ \left.\dot{S}_{\text {gen}}\right|_{\begin{array}{l} \text {Resistor}+ \\ \text {Boundary Layer} \end{array}} }_{= 1.359 \times 10^{-3} \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} } = \underbrace{\left.\dot{S}_{\text {gen}}\right|_{\text {Resistor}}}_{=0.880 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}} + \underbrace{\left.\dot{S}_{\text {gen}}\right|_{\text {Boundary Layer}}}_{=0.479 \times 10^{-3} \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}} \nonumber \] залежність: оскільки збільшена система є лише сумою двох підсистем. Зауважте, що ентропія не може генеруватися на межі системи, оскільки межа - це нескінченно тонка поверхня без маси.

Чи можна було б змінити напрямок теплопередачі енергії для резистора і отримати електричну енергію з цього гарячого резистора? НІ!

Так чому б і ні? Почнемо з перегляду нашої оригінальної системи, яка складалася тільки з резистора і зворотного напрямку швидкості теплопередачі і електричної потужності.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Система з малюнка\(\PageIndex{3}\) з напрямком електричної потужності в зворотному напрямку.

Знову ж таки, ми можемо застосувати облік збереження енергії та ентропії, щоб дати наступні результати:

\[ \left. \begin{array}{ll} & \underbrace{ \cancel{\dfrac{d E_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dot{Q}_{\text{in}} - \dot{W}_{\text{electric, out}} \quad &\rightarrow \quad \dot{W}_{\text{electric, out}} = \dot{Q}_{\text{in}} \\ & \underbrace{ \cancel{\dfrac{d S_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dfrac{\dot{Q}_{\text{in}}}{T_{\text{surface}}} + \dot{S}_{\text{gen}} & \rightarrow \quad \dot{Q}_{\text{in}} = -\left( T_{\text{surface}} \cdot \dot{S}_{\text{gen}} \right) \end{array} \right| \quad \rightarrow \quad \dot{W}_{\text{electric, out}} = - \underbrace{\left(T_{\text{surface}} \cdot \dot{S}_{\text{gen}}\right)}_{\begin{array}{c} T_{\text{surface}} > 0 \\ \dot{S}_{\text{gen}} \geq 0 \end{array}} \leq 0 \nonumber \]

При цьому максимальної електричної потужності з цього резистора немає потужності. [Тож я думаю, вам потрібно дати цій дитині на науковому ярмарку з розділу 8.1.1 приз за найкращу містифікацію.]

Звичайно, за допомогою сучасних технологій ми можемо побудувати стійкий пристрій, який отримує енергію за допомогою теплопередачі при одній температурі\(\mathbf{T}_{\mathbf{b}}\) і повністю перетворює цю енергію в робочу передачу енергії з системи. НІ!

Нічого собі, це здається досить сильним обмеженням. Ти впевнений? Перегляньте розробку вище. Хоча наша системна схема позначена як резистор з електричним виходом, ми могли б легко переписати її для будь-якої стабільної системи та для чистого відключення живлення. Єдине інше обмеження полягає в тому, що у нас чиста тепловіддача в систему і що вся тепловіддача відбувається при єдиній граничній температурі. За цих умов ми отримуємо той же результат.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Базова структура силового циклу.

Пам'ятайте заяву Кельвіна-Планка в розділі 8.1.1, в якій говорилося, що неможливо мати\(100 \%\) ефективний цикл живлення. Якби у нас був стаціонарний пристрій, схожий на замкнутий цикл, сталий енергетичний цикл, який отримував тепловіддачу енергії\(\dot{Q}_{H, \text { in}}\) при одній температурі\(T_{\mathrm{H}}\) і перетворював всю її в мережу роботу з системи\(\dot{W}_{\text {net, out}}\), її теплова ефективність була б\(\eta=\dot{W}_{\text {net, out}} / \dot{Q}_{H, \text { in}}=100 \%\). Але ми просто показали, що це неможливо! Тож я думаю, Кельвін і Планк мали рацію. Якщо ви думаєте, що ключ полягає в тому, чи є певна тепловіддача з системи, ви маєте рацію. (Ми розслідуємо це пізніше, або ви можете продовжити це самостійно зараз, намагаючись визначити мінімальну швидкість теплопередачі з системи, коли дві граничні температури та швидкість передачі тепла в систему фіксовані.)

Так що ж ми тут дізналися?

По-перше, здається, що робота і тепловіддача, хоча обидва є механізмами передачі енергії, не є взаємозамінними. Зрозуміло, що ми можемо побудувати стійкий пристрій, який повністю перетворює роботу в тепловіддачу при одній температурі, але зробити зворотне неможливо.

По-друге, ми бачили, як деякі досить прості застосування рівняння обліку ентропії продемонстрували, що цілий клас пристроїв неможливий. Якщо нам нададуть достатню інформацію для оцінки виробництва ентропії, то ми можемо визначити, чи можливий певний процес, внутрішньо оборотний чи неможливий. Якщо ми не маємо достатньої інформації для обчислення виробництва ентропії, ми все одно можемо використовувати рівняння обліку ентропії та обмеження на виробництво ентропії для визначення діапазону фізично можливих рішень. Як ми коротко покажемо, рівняння обліку ентропії також допоможе нам визначити теоретично «найкращу» можливу продуктивність пристрою.

Приклад — Ентропія і «ідеальний» мотор

Електродвигун, що працює в сталому стані, тягне струм 10 ампер з напругою 220 вольт. Коефіцієнт потужності один. Вихідний вал обертається\(1800 \mathrm{RPM} =188.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\) з крутним моментом\(10 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}\) прикладеного до зовнішнього навантаження. Віддача тепла від двигуна відбувається шляхом конвекції в навколишнє середовище. Коефіцієнт теплопередачі конвекції\(h_{\text{conv}}\),, є\(20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{K}\right)\) і площа поверхні двигуна становить\(A=0.300 \mathrm{~m}^{2}\).

Визначте

(а) швидкість виробництва ентропії для двигуна, в\(\mathrm{W} / \mathrm{K}\), і

(б) максимально теоретично можлива вихідна потужність вала для цього пристрою, тобто яка найкраща можлива продуктивність?

Рішення

Відомо: Мотор працює в стаціонованих умовах.

Знайти: (а) Швидкість тепловіддачі від двигуна, в\(\mathrm{W}\).

(б) Швидкість виробництва ентропії для двигуна, в\(\mathrm{W} / \mathrm{K}\).

(c) Максимально теоретично можлива вихідна потужність вала для цього пристрою, в\(\mathrm{W}\).

Дано:

Інформація про вал

\(\tau=10 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}\)

\(\omega=188.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\)

Електрична інформація

\(\Delta \mathrm{V}_{\text {effective}}=220 \mathrm{~volts}\)

\(\mathrm{i}_{\text {effective}}=10 \mathrm{~amps}\)

Коефіцієнт потужності = 1

Робота в сталому стані

\(\mathrm{h}_{\text {conv }}=20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\)

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Система, що складається тільки з двигуна.

Аналіз:

Стратегія\(\rightarrow\) розрахунку тепловіддачі може зажадати використання збереження енергії та/або конвекційного рівняння теплопередачі. Розрахунок коефіцієнта виробництва ентропії завжди вимагає балансу ентропії

Система\(\rightarrow\) Візьміть тільки двигун як закриту, що не деформується систему.

Властивість рахувати\(\rightarrow\) Ентропія та енергія

Поведінка\(\rightarrow\) стійкого стану часового інтервалу відповідно до постановки задачі.

(а) Для початку аналізу ми посилаємося на замкнуту систему, що містить двигун, показаний на малюнку вище пунктирною лінією. Записуючи енергетичний баланс для цієї замкнутої системи, щоб знайти швидкість тепловіддачі, ми маємо наступне:\[\underbrace{ \cancel{\frac{d E_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \dot{W}_{\text {shaft, out}} - \dot{Q}_{\text {out}} \quad \rightarrow \quad \dot{Q}_{\text {out}}=\dot{W}_{\text {electric, in}} - \dot{W}_{\text {shaft, out}} \nonumber \]

Щоб піти далі, потрібно використовувати визначальні рівняння для електричної та шахтної потужності\[\begin{gathered} \dot{W}_{\text {electric, in}} = i_{\text {effective}} \cdot \Delta V_{\text {effective}} \cdot \left(\begin{array}{c} \text {Power} \\ \text {Factor} \end{array}\right) = (10 \mathrm{~A}) \cdot (220 \mathrm{~V}) \cdot(1) = 2200 \mathrm{~W} \\ \dot{\mathrm{W}}_{\text {shaft, out}} = \tau \cdot \omega = (10 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}) \cdot \left(188.5 \ \dfrac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right) = 1885 \mathrm{~W} \end{gathered} \nonumber \]: Заміна цього назад в енергетичний баланс дає швидкість передачі тепла наступним\[\dot{Q}_{\text {out}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \dot{W}_{\text {shaft, out}} = (2200-1885) \mathrm{W}=315 \mathrm{~W} \nonumber \] чином: Таким чином, швидкість передачі тепла поза системою є\(315 \mathrm{~W}\), або \(14.32 \%\)вхідної електричної потужності. (Якби ми почали вирішувати швидкість передачі тепла, спочатку написавши співвідношення конвекційної теплопередачі, ми б швидко зрозуміли, що температура двигуна невідома. Вимагаючи іншого рівняння, ми б тоді звернулися до збереження енергії.)

(б) Тепер, щоб знайти швидкість виробництва ентропії, ми використовуємо ту саму замкнуту систему, але пишемо рівняння обліку ентропії:\[\underbrace{ \cancel{\frac{d S_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = -\frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{T_{\text {motor}}} + \dot{S}_{\text{gen}} \quad \rightarrow \quad \dot{S}_{\text {gen}} = \frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{T_{\text {motor}}} \nonumber \]

Щоб продовжити, нам потрібно знайти температуру поверхні двигуна. Ми зробимо це за допомогою конвекційного співвідношення теплопередачі наступним чином:\[\begin{gathered} \dot{Q}_{\text {out}} = h_{\text {conv}} \cdot A \cdot\left(T_{\text {motor}}-T_{\text {air}}\right) \quad \rightarrow \quad T_{\text {motor}} = \frac{Q_{\text {out}}}{\left(h_{\text {conv}} \cdot A \right)} + T_{\text {air}} \\ T_{\text {motor}}=\frac{(315 \mathrm{~W})}{\left(20 \ \dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right) \cdot \left(0.300 \mathrm{~m}^{2}\right)} + 20^{\circ} \mathrm{C} = 52.5^{\circ} \mathrm{C} + 20^{\circ} \mathrm{C} = 72.5^{\circ} \mathrm{C} \end{gathered} \nonumber \] Тепер, щоб обчислити швидкість виробництва ентропії, ми маємо наступне:\[\dot{S}_{\text{gen}} = \frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{T_{\text {motor}}} = \frac{315 \mathrm{~W}}{(72.5+273) \ \mathrm{K}} = \ \frac{315 \mathrm{~W}}{345.5 \mathrm{~K}} = 0.912 \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} \nonumber \]

(c) Остаточне питання просить нас розглянути максимальну вихідну потужність вала, яка теоретично можлива при заданих умовах експлуатації - сталий стан, адіабатична робота. Виходячи з особистого досвіду, можна зробити висновок, що максимальна потужність вала буде відбуватися, коли швидкість теплопередачі йде до нуля. Але що робить це максимально можливим? Чому ви не могли передавати енергію в систему тепловіддачею\(\dot{Q}_{\text {out}} < 0\), тобто, і збільшити потужність валу з двигуна?

Щоб знайти відповідь на це питання, ми скористаємося як збереженням енергії, так і рівняннями обліку ентропії, розробленими раніше:\[\dot{W}_{\text {shaft, out}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \dot{Q}_{\text {out}} \quad \text { and } \quad \frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{T_{\text {motor}}} = \dot{S}_{\text{gen}} \nonumber \] Ми будемо вважати, що фіксованою є лише вхідна потужність. Потім виявляється, що вихідна потужність вала залежить тільки від швидкості теплопередачі, а вона, в свою чергу, залежить від швидкості виробництва ентропії. Єдиний з цих термінів, про який ми можемо сказати що-небудь, - це швидкість виробництва ентропії. Тож наша мета повинна полягати в тому, щоб пов'язати потужність валу зі швидкістю виробництва ентропії.

Для цього об'єднаємо ці два рівняння, виключивши швидкість тепловіддачі з наступного:\[\dot{W}_{\text {shaft, out}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \underbrace{\dot{Q}_{\text {out}}}_{=T_{\text {motor}} \cdot \dot{S}_{\text {gen}}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \underbrace{\left(T_{\text {motor}} \cdot \dot{S}_{\text {gen}}\right)}_{\begin{array}{c} T_{\text {motor}}>0 \\ \dot{S}_{\text{gen}} \geq 0 \end{array}} \quad \rightarrow \quad \dot{W}_{\text {shaft, out }} \leq \dot{W}_{\text {electric, in}} \nonumber \] Таким чином, вихідна потужність вала завжди буде менше або дорівнює вхідної електричної потужності. (Це доводить, що тим з вас, хто хотів розвести вогонь і зробити,\(\dot{Q}_{\text {out}}<0\) щоб збільшити вихідну потужність вала, не пощастило.)

Коментар:

Чому не ідеальний двигун, який\(\dot{W}_{\text {shaft, out}} = \dot{W}_{\text {electric, in}}\), порушує заборону Кельвіна-Планка проти 100% ефективного циклу живлення?

Заборона Кельвіна-Планка поширюється лише на стаціонарне перетворення теплопередачі енергії повністю в робочу передачу енергії. Для мотора відсутня тепловіддача енергії в систему.

Я все ще збентежений. Що саме таке виробництво ентропії?

Рівняння\(\PageIndex{2}\) дає нам деяке додаткове уявлення про значення виробництва ентропії. Для цього двигуна, що працює в заданих умовах, теоретично можлива максимальна потужність вала поза системою дорівнює електричній потужності в систему. Використовуючи це, ми можемо переписати Eq. \(\PageIndex{2}\)наступним чином:

\[ \left. \begin{array}{c} \left. \dot{W}_{\text{shaft, out}} \right|_{\text{actual}} = \dot{W}_{\text{electric, in}} - \left(T_{\text{motor}} \cdot \dot{S}_{\text{gen}}\right) \\ \dot{W}_{\text{shaft, out}} \left|_{\begin{array}{l} \text{max} \\ \text{possible} \end{array}} \right. \equiv \ \dot{W}_{\text{electric, in}} \end{array} \right| \quad \rightarrow \quad \left. \dot{W}_{\text{shaft, out}} \right|_{\text{actual}} = \dot{W}_{\text{shaft, out}} \left|_{\begin{array}{l} \text{max} \\ \text{possible} \end{array}} \right. - \left(T_{\text{motor}} \cdot \dot{S}_{\text{gen}}\right) \nonumber \]

Тепер вирішуючи для швидкості виробництва ентропії в двигуні, ми маємо таке відношення:\[\left.\dot{S}_{\text{gen}}\right|_{\text {motor}} = \frac{\left[ \dot{W}_{\text{shaft, out}} \left|_{\begin{array}{l} \text{max} \\ \text{possible} \end{array}} \right. - \left. \dot{W}_{\text{shaft, out}} \right|_{\text{actual}} \right]}{T_{\text {motor}}} \geq 0 \nonumber \] Тепер, що це говорить нам про виробництво ентропії?

• По-перше, швидкість виробництва ентропії - це міра того, наскільки процес відхиляється від ідеальної поведінки.
• По-друге, ідеальна поведінка відповідає нульовій швидкості виробництва ентропії, і це може статися лише для внутрішньо оборотного процесу.
• По-третє, якщо розглядати як різницю між максимально можливою вихідною потужністю та фактичною вихідною потужністю, виробництво ентропії також є мірою незворотної втрати потенціалу для роботи.

Щоб зрозуміти цю останню точку, подумайте про потік енергії через мотор. Спочатку енергія надходить в двигун як електромонтажні роботи і виходить з системи як робота вала, так і тепловіддача. Досвід показав, що робоча передача енергії явно цінніше рівної тепловіддачі енергії. Чому? Тому що ми можемо робити все, що завгодно з роботою передачі енергії, включаючи керування ідеальним генератором постійного струму, який перетворює потужність валу назад в електричну енергію та подачу електричної енергії на електричний резистор, який перетворює електричні роботи назад у теплопередачу енергії. Однак, як буде показано в наступному прикладі, неможливо повністю перетворити всю тепловіддачу від двигуна (або будь-якої іншої системи) в робочу передачу енергії.

Вправа - Робота цінніша за тепловіддачу? Я не вірю!

Для дослідження відносної «величини» робіт переносів енергії і тепловіддачі енергії розглянемо дві стаціонарні замкнуті системи, показані на діаграмах:

• «Робочий перетворювач», який отримує роботу передачі енергії, а потім «перетворює» це в передачу роботи і тепловіддачу енергії з системи. Тепловіддача відбувається шляхом конвекційної передачі тепла між робочим перетворювачем при\(T_{\text {surface}}\) і навколишнім середовищем при температурі\(T_{\mathrm{o}}\).
• «Теплоперетворювач», який отримує і відторгує енергію шляхом теплопередачі при граничних температурах\(T_{\text {surface}}\) і\(T_{\mathrm{o}}\), відповідно, і має чистий робочий вихід.

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Структура робочого перетворювача і перетворювача тепла.

Дайте відповідь на наступні питання:

(а) Починаючи з збереження рівнянь обліку енергії та ентропії, показаних нижче, розробити вираз для потужності з робочого перетворювача як функцію температури поверхні, швидкості генерації ентропії та вхідної потужності, тобто\(\dot{W}_{\text {WC, out}} = f\left(T_{\text {surface}}, \ \dot{S}_{gen, \text{ WC}}, \ \dot{W}_{\text {in}}\right)\)

\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{W}_{\text{in}} - \dot{W}_{\text{WC, out}} - \dot{Q}_{\text {surface}} \quad\quad\quad \frac{d S_{sys}}{dt} = -\frac{\dot{Q}_{\text {surface}}}{T_{\text {surface}}} + \dot{S}_{gen, \text{ WC}} \nonumber \]

Відповідь

\( \dot{W}_{\mathrm{WC}, \text { out }}=\dot{W}_{i n}-\left(T_{\text {surface }} \cdot \dot{S}_{g e n, \mathrm{WC}}\right) \)

(b) Яка частка потужності, що подається на робочий перетворювач, теоретично може бути повернута в навколишнє середовище як відключення живлення від робочого перетворювача, тобто яке максимальне значення співвідношення\(\dot{W}_{\text{WC, out}} / \dot{W}_{\text {in}}\)?

(c) Починаючи з збереження рівнянь обліку енергії та ентропії, розробити вираз для потужності двигуна як функцію двох граничних температур, швидкості генерації ентропії, швидкості передачі тепла в двигун, тобто\(\dot{W}_{\text{HC, out}} = f\left(\dot{Q}_{\text {surface}}, \ T_{\text{o}}, \ T_{\text {surface}}, \ \dot{S}_{gen, \text{ HC}}\right)\)

\[\frac{d E_{sys}}{dt}=\dot{Q}_{\text{surface}} - \dot{Q}_{\text{o}} - \dot{W}_{\text{HC, out}} \quad\quad\quad \frac{d S_{sys}}{dt} = \frac{\dot{Q}_{\text{surface}}}{T_{\text{surface}}} - \frac{\dot{Q}_{\text{o}}}{T_{\text{o}}} + \dot{S}_{gen, \text{ HC}} \nonumber \]

Відповідь

\ (\ точка {W} _ {\ текст {HC, вихід}} =\ точка {Q} _ {\ текст {поверхня}}\ лівий [1-\ frac {T_ {\ текст {o}}} {\ текст {поверхня}}}\ вліво (T_ {\ текст {o}}}\ cdot\ dot {S} _ {покоління,\ текст {HC}}\ праворуч)\ nonumber\]

(d) Яка частка вхідного тепловіддачі в тепловий перетворювач теоретично може бути повернута в навколишнє середовище як потужність від теплового перетворювача, тобто яке максимальне значення коефіцієнта, що\(\dot{W}_{\text {HC, out}} / Q_{\text {surface}}\) передбачає\(T_{\text {surface}}\) і\(T_{\mathrm{o}}\) фіксуються?

З частин (b) і (d) вище ми дізнаємося дві речі:

• враховуючи роботу передачі енергії і ідеальний (внутрішньо оборотний) робочий перетворювач, ми можемо повністю перетворити всю роботу передачі енергії в систему в рівний обсяг роботи поза системою. При найгірших можливих умовах вся енергія, що надходить в роботу перетворювача, залишала б систему як тепловіддачу, а
• враховуючи тепловіддачу енергії і ідеальний (внутрішньо оборотний) перетворювач тепла, ми можемо в кращому випадку лише перетворити частку теплопередачі енергії в систему в робочу передачу енергії з системи.

Тепер розглянемо, що відбувається, коли енергія протікає через неідеальний робочий перетворювач. На малюнку нижче наведено графічну інтерпретацію потоку енергії через робочий перетворювач, поєднаний з перетворювачем тепла.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Витрата енергії через систему, що складається з робочого перетворювача і теплоперетворювача, вхід якого - теплова потужність робочого перетворювача.

При ідеальній роботі перетворювача\(\dot{S}_{gen, \text{ WC}}=0\) і всієї роботи перенесення енергії в систему залишає систему як рівну роботу передачі енергії. При неідеальній роботі перетворювача,\(\dot{S}_{gen, \text{ WC}}>0\) а частина енергії виходить з системи за рахунок тепловіддачі. Щоб перетворити цю тепловіддачу назад в роботу, ми подаємо його в теплоперетворювач. Навіть при найкращих умовах лише частка тепловіддачі енергії, що надходить в тепловий перетворювач, може бути перетворена в робочу передачу енергії з системи.

Робота, яку можна було б відновити, об'єднавши вихід роботи з обох перетворювачів, є

\[ \begin{aligned} \dot{W}_{\text{combined}} &= \dot{W}_{\text{WC, out}} + \dot{W}_{\text{HC, out}} = \underbrace{\dot{W}_{\text{HC, out}}}_{\begin{array}{c} \text{Actual power out} \\ \text{of the work converter} \end{array}} + \underbrace{ \dot{Q}_{\text{surface}} \left[1 - \left(\frac{T_{\text{o}}}{T_{\text{surface}}}\right)\right] - T_{\text{o}} \dot{S}_{gen, \text{ HC}} }_{\begin{array}{c} \text{Actual power out} \\ \text{of the heat converter} \end{array}} \\ &= \underbrace{ \left[\dot{W}_{\text{WC, out}} + \dot{Q}_{\text{surface}}\right] }_{=W_{\text{in}}} - \underbrace{ \dot{Q}_{\text{surface}} }_{= T_{\text{surface}} \dot{S}_{gen, \text{ WC}}} \cdot \left(\frac{T_{\text{o}}}{T_{\text{surface}}}\right) - T_{\text{o}} \dot{S}_{gen, \text{ HC}} = \dot{W}_{\text{in}} - \left(T_{\text{surface}} \dot{S}_{gen, \text{ HC}}\right) \left(\frac{T_{\text{o}}}{T_{\text{surface}}}\right) - T_{\text{o}} \dot{S}_{gen, \text{ HC}} \\ &= \dot{W}_{\text{in}} - T_{\text{o}} \left(\dot{S}_{gen, \text{ WC}} + \dot{S}_{gen, \text{ HC}}\right) \leq \dot{W}_{\text{in}} \end{aligned} \nonumber \]

Тепер, який вплив виробництва ентропії на робочий перетворювач? Будь-яке виробництво ентропії в роботі перетворювача призводить до тепловіддачі з роботи перетворювача. Якби ми могли перетворити всю тепловіддачу назад в роботу, проблем не було б. На жаль, це не так. Навіть якщо припустити ідеальний теплоперетворювач для відновлення максимального обсягу роботи від теплопередачі, ми відновлюємо лише частину роботи передачі енергії, що подається на роботу перетворювача:\[\dot{W}_{\text {combined}}\left|_{\begin{array}{l} \text {Ideal} \\ \text {Heat Converter} \end{array}} \right. = \dot{W}_{\text {in}}-T_{\text{o}} \left(\dot{S}_{gen, \text{ WC}} + \underbrace{ \cancel{\dot{S}_{gen, \text { HC}}}^{=0} }_{\text {Ideal Heat Converter}}\right) = \dot{W}_{\text{in}} - T_{\text{o}} \dot{S}_{gen, \text{ WC}} < \dot{W}_{\text{in}} \nonumber \]

Таким чином, будь-яке виробництво ентропії всередині конвертера роботи зменшить наш потенціал для виконання роботи. Це підсилює те, що він платить нам принаймні термодинамічно, щоб мінімізувати виробництво ентропії, оскільки в будь-який час виробляється ентропія, ми втрачаємо здатність виконувати певну роботу. Економічно це може бути не найкращим підходом; однак, оскільки вартість енергії збільшується, існує більший економічний стимул для зменшення виробництва ентропії. Термоекономіка - це дисципліна, яка намагається привласнити справжню цінність різним формам енергії. Поєднавши збереження енергії та принцип обліку ентропії, інженери розробили нову велику властивість під назвою ексергія або доступність, яка описує робочий потенціал будь-якої кількості або передачі енергії. Таким чином, можна цінити енергетичні та енергетичні трансферти виходячи з її робочого потенціалу.

Вправа - сталий теплообмін через стіну

Енергія стабільно тече через циліндричну «пробку» діаметром\(D=0.5 \mathrm{~m}\) і довжиною\(L=0.25 \mathrm{~m}\). Швидкість тепловіддачі і температура поверхні при Surface 1 є\(500 \mathrm{~kW}\) і\(300 \mathrm{~K}\), відповідно. Температура поверхні при Surface 2 становить\(400 \mathrm{~K}\). Припустимо стійку поведінку.

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Енергія проходить через вісь циліндричної сталевої пробки.

(а) Визначте швидкість теплопередачі на поверхні 2, в\(\mathrm{W}\).

Відповідь

\(500 \mathrm{~kW}\)

(б) Використовуючи баланс ентропії, визначити швидкість виробництва ентропії всередині сталевої пробки, в\(\mathrm{W} / \mathrm{K}\).

Відповідь

\(0.4167 \mathrm{~kW} / \mathrm{K}\)

(c) Що станеться зі швидкістю виробництва ентропії, оскільки різниця температур на сталевій пробці стає дуже маленькою? Яка швидкість вироблення ентропії, коли різниця температур йде до нуля? [Підказка:\(T_{2}\) Замінити виразом\(T_{2}=T_{1}-\Delta T\). Потім вивчіть виробництво ентропії, як\(\Delta T\) стає малим.]

(d) Якби граничні температури залишалися незмінними, чи можна було б тепловіддача текти у зворотному напрямку? Так чи ні? Чому?

Приклад — Поведінка замкнутої системи без передачі енергії

(a) Намалюйте замкнуту систему, яка не має передачі енергії з навколишнім середовищем.

(b) Спростити форму швидкості збереження маси, збереження енергії та балансу ентропії для цієї системи і запишіть отримане рівняння в порожній стовпець таблиці:

Маса	\[\frac{\mathrm{dm}_{\text {sys}}}{\mathrm{dt}} = \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i}-\sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \nonumber \]
Енергетика	\[\frac{\mathrm{dE}_{\text {sys}}}{dt} = \dot{Q}_{\text {net, in}}+\dot{W}_{\text {net, in}} + \sum_{\mathrm{in}} \dot{m}_{i}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right)_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right)_{e} \nonumber \]
Ентропія	\[\frac{dS_{\mathrm{sys}}}{dt} = \sum_{j} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{\text{b, j}}} + \sum_{\mathrm{in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \dot{S}_{gen} \nonumber \]

(c) Тепер, використовуючи цю інформацію,\(E_{\mathrm{sys}}\) побудуйте енергію системи\(m_{\mathrm{sys}}\), масу системи та ентропію системи\(S_{\mathrm{sys}}\) як функцію часу на графіках нижче. (Маленька точка\(t=0\) на кожному графіку представляє початкове значення\(m_{\mathrm{sys}},\) \(E_{\mathrm{sys}}\), і\(S_{\mathrm{sys}}\).)

Малюнок\(\PageIndex{12}\): Осі для побудови маси системи, енергії та ентропії.

Що відбувається дуже довго, тобто з часом йде до нескінченності? (Наприклад, якщо ви припустили, що система нарешті досягла сталого, рівноважного значення, що повинно статися\(S_{\text {sys}}\)? Яке обмеження робить це місце на формі вашої кривої для\(S\) vs.\(t\)?)