7.4: Моделі речовин
- Page ID
- 34306
Застосовуючи рівняння збереження енергії для моделювання фізичного пристрою, ми повинні часто оцінювати зміни внутрішньої енергії або ентальпії (en - thal '- py). Вони, в свою чергу, пов'язані з безпосередньо вимірюваними властивостями, такими як тиск, температура та питомий об'єм або щільність. Вивчення того, як пов'язані теплофізичні властивості, є однією з основних цілей дослідження термодинаміки.
Для нашого нинішнього дослідження ми розглянемо лише дві моделі речовин. Ці моделі будуть представлені без значних розробок або пояснень. Це буде висвітлено в більш пізньому курсі. Кожна модель речовини надає нам рівняння стану для важливого класу речовин. Основні результати обох моделей узагальнені в розділі 7.4.3, і вам рекомендується пропустити вперед і отримати загальну картину, перш ніж почати більш докладні описи кожної моделі.
7.4.1 Ідеальна газова модель з питомою нагріванням кімнатної температури
Ідеальна модель газу знайома більшості студентів з фізики та хімії; однак ми будемо використовувати її ширше, ніж більшість з вас раніше. Ідеальною газовою моделлю є саме це — сукупність складових рівнянь, які точно моделюють поведінку газів і парів за певних обмежених умов.
Основні припущення
Ідеальна газова модель побудована на трьох припущеннях:
- Тиск, об'єм і температура підкоряються ідеальному рівнянню газу:\[P V=N R_{u} T=m R T \quad \text { where } R=\frac{R_{u}}{M} \nonumber \]
- Питома внутрішня енергія залежить тільки від температури:\[u=u(T) \nonumber \]
- Молярна маса ідеального газу ідентична фактичної молярної масі речовини:\[M_{\text {ideal gas }}=M_{\text {real stuff }} \nonumber \] Крім того, додамо ще одне припущення, яке значно спростить наше введення в використання ідеальних властивостей газу.
- Питомі нагрівання не залежать від температури. (Загалом, питомі нагрівання насправді змінюються з температурою, і ця зміна буде розглянута пізніше, щоб збільшити точність ідеальної моделі газу.) Однак в якості першого наближення і досить точного припущення для невеликих перепадів температури поблизу кімнатної температури ми будемо вважати, що питомі теплоти постійні і рівні значенням при кімнатній температурі.
Ми будемо називати нашу ідеальну газову модель, яка базується на всіх чотирьох припущеннях, як «ідеальну газову модель з питомою теплотою кімнатної температури».
\(P \text{-} \upsilon \text{-} T\)Відносини
Ідеальний газ за визначенням задовольняє рівнянню ідеального газу, Eq. \(\PageIndex{1}\). Зазвичай ми вважаємо найбільш корисним переставити це рівняння, щоб воно включало лише інтенсивні властивості:\[P=\rho R T \quad \text { or } \quad P \upsilon = R T \nonumber \] де\(R\) питома газова константа\(\left(=R_{u} / M\right)\) з одиницями\(\mathrm{kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})\) або\((\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}) /\left(\mathrm{lbm} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{R}\right)\). Це рівняння широко обговорювалося в розділі 3, і вам рекомендується переглянути цей матеріал.
Зміни в\(u\) і\(h\)
Диференціальна зміна питомої внутрішньої енергії\(u\) для ідеального газу розраховується за допомогою співвідношення:\[d u=c_{v} \ d T \quad \text { [Ideal gas] } \nonumber \] де\(c_{v}\) називається «see-sub-vee» або питома теплоємність при постійному обсязі (див. Примітку). Щоб розрахувати кінцеву зміну ідеального газу з постійною питомою теплотою, ми інтегруємо Eq.\(u\) \(\PageIndex{5}\)між станом 1 і станом 2 і отримати рівняння:\[\Delta u=u_{2}-u_{1}=c_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right) \quad \left[\begin{array}{c} \text { Ideal gas, } \\ \text { constant } c_{v} \end{array}\right] \nonumber \] Це рівняння може бути використано для розрахунку\(\Delta u\) для будь-якого процесу. Він не обмежується процесами постійного обсягу.
Диференціальна зміна питомої ентальпії\(h\) для ідеального газу розраховується за допомогою співвідношення:\[d h=c_{p} \ dT \quad \text { [Ideal gas] } \nonumber \] де\(c_{p}\) називається «see-sub-pee» або питома теплота при постійному тиску (див. Примітку). Щоб розрахувати кінцеву зміну ідеального газу з постійною питомою теплотою, ми інтегруємо Eq.\(h\) \(\PageIndex{7}\)між станом 1 і станом 2 і отримати рівняння:\[\Delta h=h_{2}-h_{1}=c_{P}\left(T_{2}-T_{1}\right) \quad\left[\begin{array}{c} \text { Ideal gas, } \\ \text { constant } c_{p} \end{array}\right] \nonumber \] Це рівняння може бути використано для розрахунку\(\Delta h\) для будь-якого процесу. Він не обмежується процесами постійного тиску.
Питомі нагрівання\(c_{P}\) і\(c_{v}\) визначаються математично як такі часткові похідні:\[c_{v} \equiv \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v} \quad \text { and } \quad c_{P} \equiv \left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_{P} \nonumber \] де словосполучення «постійний об'єм» або «постійний тиск» стосується конкретно того, що утримується постійним під час диференціації.
Питомі теплові відносини
Питомі нагрівання ідеального газу пов'язані з питомою константою газу наступним рівнянням:\[c_{P}-c_{v}=R \quad \text { [Ideal gas] } \nonumber \] Іноді все, що ми знаємо (або пам'ятаємо для газу, - це його питоме співвідношення теплоти. Коефіцієнт питомої теплоти визначається як\[k \equiv \frac{c_{P}}{c_{v}} \nonumber \]
Поєднання Eqs. \(\PageIndex{9}\)і у\(\PageIndex{10}\) нас є такі рівняння, які пов'язують питомі теплоти, питома газова константа та співвідношення питомих тепловитрат. \[c_{v}=\frac{1}{k-1} R \quad \text { and } \quad c_{P}=\frac{k}{k-1} R \quad \text { [Ideal gas] } \nonumber \]Ці відносини часто корисні, оскільки співвідношення питомих нагрівань є сильною функцією молекулярної структури газу, тобто чи є він одноатомним тощо, і слабшою функцією його температури.
7.4.2 Модель нестисливої речовини з питомою теплотою кімнатної температури
Модель нестисливої речовини не настільки звична, як ідеальна газова модель. Ця модель заснована на спостереженнях за тим, як поводяться рідини та тверді речовини. Будемо вважати, що це точна модель для більшості рідин і твердих речовин. Він не включає енергетичні зміни внаслідок пружної деформації твердих тіл.
Основні припущення
Модель нестисливої речовини побудована на трьох припущеннях:
- Питомий обсяг нестисливого речовини є постійною:\[v=\text { constant } \nonumber \] значення питомого обсягу будуть оцінюватися при кімнатній температурі.
- Питома внутрішня енергія залежить тільки від температури:\[u=u(T) \nonumber \]
- Молярна маса нестисливої речовини для речовини ідентична фактичній молярній масі речовини:\[M_{\text {incompressible substance}}=M_{\text {real stuff }} \nonumber \] Крім того, ми додамо одне додаткове припущення, яке значно спростить наше введення в модель нестисливої речовини.
- Питомі нагрівання не залежать від температури. (Загалом, питомі нагрівання насправді змінюються з температурою; однак зміни температури для більшості твердих речовин та рідин невеликі, і це точне припущення.) Будемо вважати, що питомі теплоти постійні і рівні значенням при кімнатній температурі.
Ми будемо посилатися на нашу модель нестисливої речовини, яка базується на всіх чотирьох припущеннях, як «модель нестисливої речовини з питомою теплотою кімнатної температури».
\(P \text{-} \upsilon \text{-} T\)Відносини
Для нестисливого речовини немає зв'язку між тиском, питомим об'ємом і температурою речовини. Величина питомої теплоти залежить від речовини.
Щільність твердих речовин і рідин насправді трохи змінюється з температурою. Той, хто переповнив лоток для кубиків льоду або мав справу з замороженою трубою, розуміє цей ефект. Для наших цілей будемо вважати, що значення питомого обсягу (або щільності) можна оцінити в умовах кімнатної температури.
Зміни в\(u\) і\(h\)
Диференціальна зміна питомої внутрішньої енергії\(u\) для нестисливої речовини розраховується за допомогою співвідношення:\[d u=c_{v} \ dT \quad \text { [Incompressible substance] } \nonumber \] де\(c_{v}\) називається «see-sub-vee» або питома теплоємність при постійному обсязі (див. Примітку вище). Щоб розрахувати кінцеву зміну\(u\) для нестисливої речовини з постійними питомими теплотами, ми інтегруємо Eq. \(\PageIndex{15}\)між станом 1 і станом 2 і отримати рівняння:\[\Delta u = u_{2}-u_{1} = c_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right) \quad\left[\begin{array}{c} \text { Incompressible substance, } \\ \text {constant } c_{v} \end{array}\right] \nonumber \] Це рівняння може бути використано для розрахунку\(\Delta u\) для будь-якого процесу. Він не обмежується постійними об'ємними процесами.
Диференціальна зміна питомої ентальпії\(h\) для нестисливої речовини розраховується за допомогою співвідношення:\[dh = d(u+P \upsilon) = du + \upsilon \ dP \quad \text { [Incompressible substance] } \nonumber \] де\(c_{p}\) називається «see-sub-pee» або s питома теплота при постійному тиску. Щоб розрахувати кінцеву зміну\(h\) для нестисливої речовини з постійними питомими теплотами, ми інтегруємо Eq. \(\PageIndex{17}\)між станом 1 і станом 2 і отримати рівняння:\[\begin{array}{l} \Delta h &= u_{2}-u_{1} + \upsilon\left(P_{2}-P_{1}\right) \\ &= c_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right) + \upsilon\left(P_{2}-P_{1}\right) \quad\left[\begin{array}{c} \text { Incompressible substance, } \\ \text { constant } c_{v} \end{array}\right] \end{array} \nonumber \] Це рівняння може бути використано для розрахунку\(\Delta h\) для будь-якого процесу.
Питомі теплові відносини
Використовуючи основні припущення для нестисливого речовини, можна показати, що дві питомі теплоти при постійному тиску і постійному обсязі рівні:\[c_{P}=c_{v}=c \quad \text { [Incompressible substance] } \nonumber \] де\(c\) іноді просто називають питомою теплотою. Як правило, таблиці даних для твердих речовин і рідин містять лише значення для\(c_{p}\) тому, що це найпростіше виміряти.
7.4.3 Короткий опис наших моделей речовин
Основні припущення та ключові рівняння для кожної з наших моделей субстанцій зведені в наступній таблиці. Після того, як ви вибрали модель речовини для застосування в даній задачі, ця таблиця дає всі необхідні рівняння для застосування моделі. Значення кімнатної температури теплофізичних властивостей для декількох газів, рідин і твердих речовин наведені в наступних двох таблицях. Одна таблиця дає значення в СІ, а одна дає значення в USCS.
Моделі речовин повинні співвідносити властивості в енергетичному балансі, як\(h\) і\(u\) з властивостями, які легко виміряти, як тиск, температура та питомий об'єм.
| Дві моделі речовин (конститутивні відносини) | ||
|---|---|---|
| Рівняння стану | ||
| Ідеальна газова модель з питомою нагріванням кімнатної температури |
Модель нестисливої речовини з питомою теплотою кімнатної температури |
|
| Використовується для моделювання поведінки | гази і пари | рідини і тверді речовини |
| Основні припущення моделі |
|
|
| \(P \text{-} T \text{-} \rho\)і\(P \text{-} T \text{-} \upsilon\) відносини | \(P = \rho RT\)і\(P \upsilon = RT\) де\(R=R_{u} / M\) |
\(\upsilon = 1 / \rho = \text{constant}\) Оцінюється при кімнатній температурі |
| Питомі теплові відносини | \(c_{P} = c_{v} = R; \quad k = c_{P} / c_{v}\) | \(c_{p} = c_{v} = c, \text{ a constant}\) |
| \(c_{P}\)і\(c_{V}\) цінності | Оцінюється при кімнатній температурі | Оцінюється при кімнатній температурі |
| \(\Delta u\)— питома внутрішня енергія | \(\Delta u = u_{2}-u_{1} = c_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right)\) | \(\Delta u = u_{2}-u_{1} = c\left(T_{2}-T_{1}\right)\) |
| \(\Delta h\)— специфічна ентальпія | \(\Delta h = h_{2}-h_{1} = c_{P}\left(T_{2}-T_{1}\right)\) | \[ \begin{aligned} \Delta h &= h_{2}-h_{1} \\ &= \left(u_{2}+P_{2} \upsilon\right) - \left(u_{1}+P_{1} \upsilon\right) \\ &= \left(u_{2}-u_{1}\right) + \upsilon \left(P_{2}-P_{1}\right) \\[4pt] \text{thus } \Delta h &= \Delta u + \upsilon \Delta P = c \Delta T + \upsilon \Delta T \end{aligned} \nonumber \] |
|
\(\Delta s\)— специфічна ентропія Примітка: Всі температури є абсолютними значеннями, тобто\(\mathrm{K}\) або\({ }^{\circ} \mathrm{R}\), в ентропійних співвідношеннях |
\[ \begin{aligned} \Delta s &= s_{2}-s_{1} \\ &= c_{P} \ln \left(T_{2}-T_{1}\right) - R \ln \left(P_{2}-P_{1}\right) \\ &= c_{v} \ln \left(T_{2}-T_{1}\right) + R \ln \left(\upsilon_{2}-\upsilon_{1}\right) \end{aligned} \nonumber \] | \[ \begin{aligned} \Delta s &= s_{2}-s_{1} \\ &= c \ln \left(T_{2}-T_{1}\right) \end{aligned} \nonumber \] |
| Гази (при\(25 ^{\circ} \mathrm{C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\)) | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\)) ">Речовина | Молярна маса | \(\dfrac{R}{\left[ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}\right]}\) | \(\dfrac{c_{v}}{\left[ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}\right]}\) | \(\dfrac{c_{P}}{\left[ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}\right]}\) | \(k\) | \(\dfrac{T_{c}}{\mathrm{K}}\) | \(\dfrac{P_{c}}{\mathrm{bar}}\) | |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">ацетилен | \(\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_2\) | \(26.04\) | \(0.3193\) | \(1.37\) | \(1.69\) | \(1.23\) | \(309\) | \(62.4\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас = «LT-ENG-81508">Повітря | — | \(28.97\) | \(0.2870\) | \(0.718\) | \(1.005\) | \(1.40\) | \(133\) | \(37.7\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Аміак | \(\mathrm{NH}_3\) | \(17.04\) | \(0.4879\) | \(1.66\) | \(2.15\) | \(1.30\) | \(406\) | \(112.8\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Діоксид вуглецю | \(\mathrm{CO}_2\) | \(44.01\) | \(0.1889\) | \(0.657\) | \(0.846\) | \(1.29\) | \(304.2\) | \(73.9\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Окис вуглецю | \(\mathrm{CO}\) | \(28.01\) | \(0.2968\) | \(0.744\) | \(1.04\) | \(1.40\) | \(133\) | \(35.0\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Етан | \(\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6\) | \(30.07\) | \(0.2765\) | \(1.48\) | \(1.75\) | \(1.18\) | \(305.4\) | \(48.8\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Етилен | \(\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_4\) | \(28.05\) | \(0.2964\) | \(1.23\) | \(1.53\) | \(1.24\) | \(283\) | \(51.2\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Гелій | \(\mathrm{He}\) | \(4.003\) | \(2.077\) | \(3.12\) | \(5.19\) | \(1.67\) | \(5.2\) | \(2.3\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="lt-eng-81508">Водень | \(\mathrm{H}_2\) | \(2.016\) | \(4.124\) | \(10.2\) | \(14.3\) | \(1.40\) | \(33.2\) | \(13.0\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Метан | \(\mathrm{CH}_4\) | \(16.04\) | \(0.5183\) | \(1.70\) | \(2.22\) | \(1.31\) | \(190.7\) | \(46.4\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Азот | \(\mathrm{N}_2\) | \(28.01\) | \(0.2968\) | \(0.743\) | \(1.04\) | \(1.40\) | \(126.2\) | \(33.9\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Кисень | \(\mathrm{O}_2\) | \(32.00\) | \(0.2598\) | \(0.658\) | \(0.918\) | \(1.40\) | \(154.4\) | \(50.5\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас = «LT-ENG-81508">Пропан | \(\mathrm{C}_3 \mathrm{H}_8\) | \(44.09\) | \(0.1886\) | \(1.48\) | \(1.67\) | \(1.13\) | \(370\) | \(42.5\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас = «LT-ENG-81508">Холодоагент 134a | \(\mathrm{C}_2 \mathrm{F}_4 \mathrm{H}_2\) | \(102.03\) | \(0.08149\) | \(0.76\) | \(0.85\) | \(1.12\) | \(374.3\) | \(40.6\) |
| \ (25 ^ {\ circ}\ mathrm {C}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Вода (пара) | \(\mathrm{H}_2 \mathrm{O}\) | \(18.02\) | \(0.4614\) | \(1.40\) | \(1.86\) | \(1.33\) | \(647.3\) | \(220.9\) |
| Рідини | Тверді речовини* | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Речовина | Темп\(({ }^{\circ} \mathrm{C})\) | \( \dfrac{\rho}{\left[ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right]} \) | \(\dfrac{c_{P}}{\left[ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}\right]}\) | Речовина | \( \dfrac{\rho}{\left[ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right]} \) | \(\dfrac{c_{P}}{\left[ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}\right]}\) |
| Аміак | \(25\) | \(602\) | \(4.80\) | Алюміній | \(2,700\) | \(0.902\) |
| Бензол | \(20\) | \(879\) | \(1.72\) | Латунь, жовтий | \(8,310\) | \(0.400\) |
| Розсіл\(( 20 / % \mathrm{NaCl})\) | \(20\) | \(1,150\) | \(3.11\) | Цегла (звичайна) | \(1,922\) | \(0.79\) |
| Етанол | \(25\) | \(783\) | \(2.46\) | Бетон | \(2,300\) | \(0.653\) |
| Етиловий спирт | \(20\) | \(789\) | \(2.84\) | Мідь | \(8,900\) | \(0.386\) |
| етиленгліколь | \(20\) | \(1,109\) | \(2.84\) | Скло, вікно | \(2,700\) | \(0.800\) |
| Гас | \(20\) | \(820\) | \(2.00\) | Залізо | \(7,840\) | \(0.45\) |
| Меркурій | \(25\) | \(13,560\) | \(0.139\) | Свинець | \(11,310\) | \(0.128\) |
| Масло (світло) | \(25\) | \(910\) | \(1.80\) | Сріблястий | \(10,470\) | \(0.235\) |
| Холодоагент 134a | \(25\) | \(1,206\) | \(1.42\) | Сталь (м'яка) | \(7,830\) | \(0.500\) |
| Вода | \(25\) | \(997\) | \(4.18\) | * Оцінюється при кімнатній температурі. | ||
| Значення, адаптовані з K. Wark, Jr. і D.E. Richards, Термодинаміка, 6-е изд. (Макгроу-Хілл, Нью-Йорк, 1999) і Ю.А. Ченгул і М.А. Болес, Термодинаміка, 4-е видання. (Макгроу-Хілл, Нью-Йорк, 2002). | ||||||
| Гази (при\(77 ^{\circ} \mathrm{F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\)) | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\)) ">Речовина | Молярна маса | \(\dfrac{R}{\left[ \dfrac{\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}}{\mathrm{lbm} \cdot { }^{\circ} \mathrm{R}}\right]}\) | \(\dfrac{c_{v}}{\left[ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm} \cdot { }^{\circ} \mathrm{R}}\right]}\) | \(\dfrac{c_{P}}{\left[ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm} \cdot { }^{\circ} \mathrm{R}}\right]}\) | \(k\) | \(\dfrac{T_{c}}{ \text{}^{\circ} \mathrm{R}}\) | \(\dfrac{P_{c}}{\mathrm{atm}}\) | |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">ацетилен | \(\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_2\) | \(26.04\) | \(59.33\) | \(0.328\) | \(0.404\) | \(1.23\) | \(556\) | \(61.6\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас = «LT-ENG-81508">Повітря | — | \(28.97\) | \(59.33\) | \(0.171\) | \(0.240\) | \(1.40\) | \(239\) | \(37.2\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Аміак | \(\mathrm{NH}_3\) | \(17.04\) | \(90.67\) | \(0.397\) | \(0.514\) | \(1.30\) | \(730\) | \(111.3\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Діоксид вуглецю | \(\mathrm{CO}_2\) | \(44.01\) | \(35.11\) | \(0.156\) | \(0.202\) | \(1.29\) | \(548\) | \(72.9\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="lt-eng-81508">Окис вуглецю | \(\mathrm{CO}\) | \(28.01\) | \(55.16\) | \(0.178\) | \(0.249\) | \(1.40\) | \(239\) | \(34.5\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Етан | \(\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6\) | \(30.07\) | \(51.38\) | \(0.353\) | \(0.419\) | \(1.19\) | \(549\) | \(48.2\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Етилен | \(\mathrm{C}_2 \mathrm{H}_4\) | \(28.05\) | \(55.08\) | \(0.294\) | \(0.365\) | \(1.24\) | \(510\) | \(50.5\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="lt-eng-81508">Гелій | \(\mathrm{He}\) | \(4.003\) | \(386.0\) | \(0.744\) | \(1.24\) | \(1.67\) | \(9.3\) | \(2.26\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="lt-eng-81508">Водень | \(\mathrm{H}_2\) | \(2.016\) | \(766.4\) | \(2.43\) | \(3.42\) | \(1.40\) | \(59.8\) | \(12.8\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Метан | \(\mathrm{CH}_4\) | \(16.04\) | \(96.32\) | \(0.407\) | \(0.531\) | \(1.30\) | \(344\) | \(45.8\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Азот | \(\mathrm{N}_2\) | \(28.01\) | \(55.16\) | \(0.178\) | \(0.248\) | \(1.39\) | \(227\) | \(33.5\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Кисень | \(\mathrm{O}_2\) | \(32.00\) | \(48.28\) | \(0.157\) | \(0.219\) | \(1.40\) | \(278\) | \(49.8\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас = "lt-eng-81508">Пропан | \(\mathrm{C}_3 \mathrm{H}_8\) | \(44.09\) | \(35.04\) | \(0.355\) | \(0.400\) | \(1.13\) | \(666\) | \(42.1\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас = «LT-ENG-81508">Холодоагент 134a | \(\mathrm{C}_2 \mathrm{F}_4 \mathrm{H}_2\) | \(102.03\) | \(15.14\) | \(0.184\) | \(0.203\) | \(1.10\) | \(672.8\) | \(40.1\) |
| \ (77 ^ {\ circ}\ mathrm {F}\) і\(1 \mathrm{~atm}\))» Клас="LT-ENG-81508">Вода (пара) | \(\mathrm{H}_2 \mathrm{O}\) | \(18.02\) | \(87.74\) | \(0.335\) | \(0.445\) | \(1.33\) | \(1165\) | \(218.0\) |
| Рідини | Тверді речовини* | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Речовина | Темп\(({ }^{\circ} \mathrm{F})\) | \( \dfrac{\rho}{\left[ \dfrac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{ft}^3}\right]} \) | \(\dfrac{c_{P}}{\left[ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm} \cdot { }^{\circ} \mathrm{R}}\right]}\) | Речовина | \( \dfrac{\rho}{\left[ \dfrac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{ft}^3}\right]} \) | \(\dfrac{c_{P}}{\left[ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm} \cdot { }^{\circ} \mathrm{R}}\right]}\) |
| Аміак | \(80\) | \(37.5\) | \(1.135\) | Алюміній | \(170\) | \(0.215\) |
| Бензол | \(68\) | \(54.9\) | \(0.411\) | Латунь, жовтий | \(519\) | \(0.0955\) |
| Розсіл\(( 20 / % \mathrm{NaCl})\) | \(68\) | \(71.8\) | \(0.743\) | Цегла (звичайна) | \(120\) | \(0.189\) |
| Етанол | \(77\) | \(48.9\) | \(0.588\) | Бетон | \(144\) | \(0.156\) |
| Етиловий спирт | \(68\) | \(49.3\) | \(0.678\) | Мідь | \(555\) | \(0.0917\) |
| етиленгліколь | \(68\) | \(69.2\) | \(0.678\) | Скло, вікно | \(169\) | \(0.191\) |
| Гас | \(68\) | \(51.2\) | \(0.478\) | Залізо | \ (490) | \(0.107\) |
| Меркурій | \(77\) | \(847\) | \(0.033\) | Свинець | \(705\) | \(0.030\) |
| Масло (світло) | \(77\) | \(56.8\) | \(0.430\) | Сріблястий | \(655\) | \(0.056\) |
| Холодоагент 134a | \(32\) | \(80.9\) | \(0.318\) | Сталь (м'яка) | \(489\) | \(0.119\) |
| Вода | \(68\) | \(62.2\) | \(1.00\) | * Оцінюється при кімнатній температурі. | ||
| Значення, адаптовані з K. Wark, Jr. і D.E. Richards, Термодинаміка, 6-е изд. (Макгроу-Хілл, Нью-Йорк, 1999) і Ю.А. Ченгул і М.А. Болес, Термодинаміка, 4-е видання. (Макгроу-Хілл, Нью-Йорк, 2002). | ||||||
Жорсткий резервуар містить\(0.80 \mathrm{~g}\) спочатку повітря\(295 \mathrm{~K}\)\(1.5 \mathrm{~bars}\) та провід електричного резистора. Електричний резистор всередині бака має масу\(0.05 \mathrm{~g}\) і подається під напругу, пропускаючи струм\(0.6 \mathrm{~A}\) for\(30 \mathrm{~s}\) від\(12.0 \mathrm{V}\) джерела. За цей же часовий\(156 \mathrm{~J}\) проміжок енергії втрачається через стінки бака тепловіддачею. Припустимо, що повітря може бути змодельовано як ідеальний газ з кімнатною температурою питомої нагрівання, а дріт опору м'якої сталі може бути змодельований як нестисливе речовина з питомою нагріванням кімнатної температури.
Визначити (а) кінцеву температуру газу, в кельвінів, і (б) кінцевий тиск газу, в барах.
Рішення
Відомо: електричний резистор використовується для нагрівання повітря, що міститься в жорсткому баку.
Знайти: (а) Кінцева температура газу, в\(\mathrm{K}\).
(б) Кінцевий тиск газу, в барах.
Дано:
.png)
Малюнок\(\PageIndex{1}\): Електричний провід проходить в жорстку ємність з повітрям, що містить резистор.
Аналіз:
Стратегія\(\rightarrow\) Оскільки ми маємо справу з теплопередачею та електромонтажними роботами і нас просять знайти кінцеву температуру, використовувати збереження енергії. (Питання, що стосуються зміни тиску та температури речовини, часто вимагають використання збереження енергії та деякого рівняння стану для опису того, як теплофізичні властивості речовини пов'язані.)
Система\(\rightarrow\) Оскільки нам розповіли про тепловіддачу від газу до бака, давайте поставимося до всього всередині бака, газу і резистора, як до закритої системи. (Див. пунктирну лінію, намальовану на малюнку вище.)
Властивість рахувати\(\rightarrow\) Ми хочемо знати температуру, але енергія - це властивість, для якої ми маємо принцип збереження, і ми знаємо, що енергія та температура пов'язані, тому давайте підраховуємо енергію.
Часовий інтервал\(\rightarrow\) скінченно-часової форми, оскільки вони дають нам 30-секундний часовий інтервал.
Оскільки ми можемо не згадати кінцеву форму часу для замкнутої системи, давайте швидко переробимо її:\[\begin{aligned} &\frac{d E_{\text{sys}}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} + \underbrace{ \cancel{\sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(h_{i}+\frac{V_{i}^{2}}{2}+g z\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(h_{e}+\frac{V_{e}^{2}}{2}+g z\right)}^{=0} }_{\text {Closed system}} \\ & \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\frac{d E_{\text{sys}}}{dt}\right) dt = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\dot{Q}_{\text {net, in}} + \dot{W}_{\text {net, in}}\right) dt \quad \rightarrow \quad \boxed{\Delta E_{\text{sys}} = Q_{\text {net, in}} + W_{\text {net, in}}} \end{aligned} \nonumber \]
Тепер, коли ми маємо правильну форму енергетичного балансу, нам потрібно оцінити різні терміни, як показано нижче:\[\underbrace{ \cancel{\Delta E_{\text{sys}}}^{= \Delta U_{\text{sys}}} }_{\begin{array}{c} \text{No changes in kinetic} \\ \text{and gravitational \\ \text{potential energy} \end{array}} = \underbrace{ \cancel{Q_{\text {net, in}}}^{=-Q_{\text {out}}} }_{\begin{array}{c} \text{Use given information} \\ \text{about heat transfer out} \\ \text{of the system} \end{array}} +\underbrace{ \cancel{W_{\text {net, in}}}^{=W_{\text {electric, in}}} }_{\begin{array}{c} \text{Only one type of work} \\ \text{because the system} \\ \text{is contained in a rigid tank.} \end{array}} \quad\quad \rightarrow \quad\quad \Delta U_{\text {sys}} = -Q_{\text {out}} + W_{\text {electric, in}} \nonumber \]
Для початку розберемо зміну внутрішньої енергії системи. Треба визнати, що зміна внутрішньої енергії для всієї системи можна обчислити як суму зміни внутрішньої енергії для кожної з її підсистем. (Нагадаємо, це ключова особливість великої властивості, як енергія.) \[\Delta U_{\text{sys}} = \Delta U_{\text{gas}} + \Delta U_{\text{resistor}} = m_{\text{gas}} \Delta u_{\text{gas}} + m_{\text{resistor}} \Delta u_{\text{resistor}} \nonumber \]
\[ \begin{aligned} &\text{but } \quad &\Delta u_{\text{gas}} = c_{v, \text { gas}} \left(T_{2}-T_{1}\right)_{\text {gas}} \quad\quad &| \text{ Ideal gas with room temperature specific heats} \\ &\text{and } \quad &\Delta u_{\text{resistor}} = c_{\text{resistor}} \left(T_{2}-T_{1}\right)_{\text{resistor}} \quad &| \text{ Incomp. substance with room temperature specific heats} \end{aligned} \nonumber \]
\[ \text{So,} \quad\quad \Delta U_{\text{sys}} = \left[m c_{v} \left(T_{2}-T_{1}\right)\right]_{\text{gas}} + \left[m c \left(T_{2}-T_{1}\right)\right]_{\text{resistor}} \nonumber \]
По-друге, треба оцінити електричну роботу. Ми можемо відновити необхідне рівняння з визначення електричної потужності:\[\begin{aligned} W_{\text {electric, in}} &= \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{W}_{\text {electric, in}} \ dt = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}(i \Delta V) dt = (i \Delta V) \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} dt = (i \Delta V) \Delta t \\ &= (0.60 \mathrm{~A}) \cdot (12.0 \mathrm{~V}) \cdot (30 \mathrm{~s}) = 216 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{s} = 216 \mathrm{~J} \end{aligned} \nonumber \] Об'єднавши всю цю інформацію, ми маємо наступний результат:\[\Delta U_{\text{sys}} = -Q_{\text {out}} + W_{\text {electric, in}} \quad \rightarrow \quad \left[m c_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]_{\text{gas}} + \left[m c \left(T_{2}-T_{1}\right)\right]_{\text{resistor}} = [-156+216] \mathrm{~J} \nonumber \]
Перш ніж ми зможемо вирішити для температур, ми повинні зробити припущення про температури газу та резистора. Здавалося б розумним, що резистор і газ мають однакові температури, якщо система знаходиться в тепловій рівновазі на початку і кінці. Крім того, ми також повинні знайти значення кімнатної температури для питомих нагрівань, порадившись з відповідними таблицями:\(c_{v}, \text{ gas} = 0.718 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot\mathrm{K})\) і\(c_{\text {resistor}} = 0.500 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})\).
Використовуючи це в енергетичному балансі, ми тепер можемо вирішити кінцеву температуру наступним чином:\[\begin{gathered} {\left[mc_{v} \left(T_{2}-T_{1}\right)\right]_{\text{gas}} + \left[m c\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]_{\text{resistor}} = [-156+216] \mathrm{~J}} \\[4pt] \left(m_{\text {gas }} c_{v, \text { gas}} + m_{\text {resistor }} c_{\text {resistor}}\right)\left(T_{2}-T_{1}\right) = 60 \mathrm{~J} \quad \rightarrow \quad \mathrm{T}_{2}-T_{1} = \frac{60 \mathrm{~J}}{\left(m_{\text {gas }} c_{v, \text { gas}} + m_{\text {resistor }} c_{\text {resistor}}\right)} \\[4pt] T_{2}-T_{1}=\frac{60 \mathrm{~J}}{\left[(0.80 \mathrm{~g}) \cdot \left(0.718 \ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{g} \cdot \mathrm{K}}\right) + (0.05 \mathrm{~g}) \cdot \left(0.500 \ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{g} \cdot \mathrm{K}}\right)\right]} = \frac{60 \mathrm{~J}}{\left[(0.574+0.025) \ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\right]} = 100 \mathrm{~K} \\[4pt] T_{2}=T_{1}+100 \mathrm{~K} = 295 \mathrm{~K} + 100 \mathrm{~K} = 395 \mathrm{~K} \end{gathered} \nonumber \]
Рішення для кінцевого тиску здійснюється шляхом застосування ідеального рівняння газу наступним чином:\[\begin{gathered} \left.\begin{array}{l} P_{1} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} = m_{1} R_{\text {air }} T_{1} \\ P_{2} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2} = m_{2} R_{\text {air }} T_{2} \end{array}\right\} \quad\rightarrow\quad \frac{P_{1} V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{1}}{P_{2} V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{2}} = \frac{m_{1} R_{\text {air }} T_{1}}{m_{2} R_{\text {air }} T_{2}} \quad\rightarrow\quad \left(\frac{P_{1}}{P_{2}}\right) \cancel{\left(\frac{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{1}}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{2}}\right)}^{=1} = \cancel{\left(\frac{m_{1}}{m_{2}}\right)}^{=1} \cdot \cancel{\left(\frac{R_{\text{air}}}{R_{\text {air}}}\right)}^{=1} \cdot \left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right) \\{4pt} P_{2} = P_{1}\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) = (1.5 \text { bars})\left(\frac{395 \mathrm{~K}}{295 \mathrm{~K}}\right) = 2.01 \text { bars} \end{gathered} \nonumber \]
Коментар:
(1) Застосовуючи енергетичний баланс, ми пішли від\(\Delta U\) до\(m \Delta u\). Це необхідно, тому що наші моделі субстанцій дозволяють нам лише обчислити зміну питомої внутрішньої енергії:\(\Delta u\), ні\(\Delta U\). Крім того, саме так температура потрапляє на картину.
(2) При застосуванні ідеального рівняння газу, щоб знайти тиск, зверніть увагу, як ми використовували співвідношення. Це значно спрощує розрахунки і дозволяє легко обробляти різні одиниці. Замість того, щоб вирішувати символічно і визнавати співвідношення, кінцевий тиск міг бути отриманий наступним чином:
Крок 1: Вирішіть для\(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} \quad V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} = \dfrac{m_{1} R_{\text {air }} T_{1}}{P_{1}}\)
Крок 2: Визнайте, що\(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2} = V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{1}\) і що\(m_{2}=m_{1}\)
Крок 3: Вирішіть для\(P_{2} \quad P_{2}=\dfrac{m_{2} R_{\text {air }} T_{2}}{V_{2}} = \dfrac{m_{1} R_{\text {air }} T_{2}}{V_{1}}\)
Коефіцієнти можуть значно прискорити і спростити розрахунки. Крім того, це зменшує помилки, наприклад, уникаючи необхідності\(R_{\mathrm{gas}}\) знаходити одиниці, які працюють з барами плюс додаткове число штампування на вашому калькуляторі.
(3) Якби ми не зробили припущення, що резистор і газ мали рівні температури, було б неможливо вирішити проблему без додаткових припущень або інформації.
(4) Які тепловіддачі та робочі взаємодії відбулися між резистором та його оточенням під час цього процесу? Між газом і його околицями?
Насос використовується для переміщення гасу між двома точками в системі трубопроводів. Насос розташовується між двома точками. Гас надходить в систему трубопроводів на висоті\(5 \mathrm{~ft}\), тиску\(15 \mathrm{~psia}\) і температури\(70^{\circ} \mathrm{F}\) і залишає систему трубопроводів на висоті\(20 \mathrm{~ft}\) і тиску\(60 \mathrm{~psia}\). Під час адіабатичного процесу перекачування гас відчуває\(0.5^{\circ} \mathrm{F}\) підвищення температури. Визначте потужність, необхідну для роботи насоса в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm}\).
Малюнок\(\PageIndex{2}\): Гас перекачується на більш високу висоту.
Рішення
Відомо: Гас стабільно перекачується в трубопровідну систему
Знайти: Потужність, необхідна для роботи насоса в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm}\).
Дано:
Гас Стан 1:\(z_{1}=5 \mathrm{ft}; \ P_{1}=15 \mathrm{~psia} ; \ T_{1}=70^{\circ} \mathrm{F}\)
Гас Стан 2:\(z_{2}=20 \mathrm{ft}; \ P_{2}=60 \mathrm{~psia}\)
Процес 1-2: Адіабатичний, сталий
\(T_{2}-T_{1}=0.5^{\circ} \mathrm{F}\)
Аналіз:
Стратегія\(\rightarrow\) Використання збереження енергії
Система\(\rightarrow\) Недеформуюча відкрита система, яка включає труби, насос та вміст.
Властивість\(\rightarrow\) Енергія (і, можливо, маса)
\(\rightarrow\) Часовий інтервал З сталого стану, нескінченно малий період часу.
Написання енергетичного балансу для відкритої системи дає наступне:\[ \begin{aligned} \underbrace{ \cancel{\frac{d E_{\text{sys}}}{dt}}^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Steady-state} \\ \text{conditions} \end{array}} = \underbrace{ \cancel{\dot{Q}_{\text{net, in}}}^{=0} }_{\text{Adiabatic}} + \dot{W}_{\text{net, in}} + \dot{m}_{1} \left(h_{1} \frac{V_{1} { }^{2}}{2} + gz_{1}\right) - \dot{m}_{2} \left(h_{2} \frac{V_{2} { }^{2}}{2} + gz_{2}\right) \\ 0 &= \dot{W}_{\text{pump, in}} \dot{m}_{1} \left(h_{1} \frac{V_{1} { }^{2}}{2} + gz_{1}\right) - \dot{m}_{2} \left(h_{2} \frac{V_{2} { }^{2}}{2} + gz_{2}\right) \end{aligned} \nonumber \]
Щоб піти далі, треба щось сказати про масові витрати. Якщо застосувати збереження маси до цієї стаціонарної системи з одним входом/одним виходом, то виявимо, що масові витрати рівні. Використовуючи цей результат, рівняння вище стає:\[\frac{\dot{W}_{\text {pump, in}}}{\dot{m}} = \left(h_{2}-h_{1}\right) + \left(\frac{V_{2}{ }^{2}}{2}-\frac{V_{1}{ }^{2}}{2}\right) + g\left(z_{2}-z_{1}\right) \nonumber \] Термін з лівого боку - це кількість, яку ми шукаємо. Це потужність на одиницю масового витрати або робота на одиницю маси. (Як зазначалося раніше, дуже часто вирішувати проблеми відкритої системи на одиниці-масу. Тоді, якщо ми змінимо лише масову витрату, нам не доведеться вирішувати проблему, якщо щось інше не зміниться.)
Зміни питомої ентальпії можна впоратися, припускаючи, що гас можна моделювати як нестисливе речовина з питомою нагріванням кімнатної температури; таким чином,\[h_{2}-h_{1} = u_{2}-u_{1} + \upsilon\left(P_{2}-P_{1}\right) = c\left(T_{2}-T_{1}\right) + \upsilon\left(P_{2}-P_{1}\right) \nonumber \] де\(c=0.478 \mathrm{~Btu} / \left(\mathrm{lbm}{ }^{\circ} \mathrm{R}\right)\) і\(\upsilon = 1 / \rho=1 /\left(51.2 \mathrm{~lbm} / \mathrm{ft}^{3}\right)\)
У нас немає інформації про швидкість руху гасу ні на вході, ні на виході. Не роблячи деяких припущень про швидкості, ми не можемо вирішити для влади. Ми не повинні припускати абсолютних значень швидкості, а лише те, що її зміна - насправді зміна кінетичної енергії - незначна.
Використовуючи ці результати, ми тепер можемо вирішити для влади:\[\begin{aligned} \frac{\dot{W}_{\text {pump, in}}}{\dot{m}} &= \left(h_{2}-h_{1}\right) + \underbrace{ \cancel{\left{\frac{V_{2}{ }^{2}}{2} - \frac{V_{1}{ }^{2}}{2}\right)}^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Assume change is} \\ \text{negligible} \end{array}} + g\left(z_{2}-z_{1}\right) \\ &=c\left(T_{2}-T_{1}\right)+v\left(P_{2}-P_{1}\right)+g\left(z_{2}-z_{1}\right)=c\left(T_{2}-T_{1}\right)+\frac{\left(P_{2}-P_{1}\right)}{\rho}+g\left(z_{2}-z_{1}\right) \end{aligned} \nonumber \]
Тепер вирішуємо для окремих термінів в енергетичному балансі наступним чином:\[c\left(T_{2}-T_{1}\right) = \left(0.478 \ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{R}}\right) \left(0.5^{\circ} \mathrm{F}\right) = 0.239 \ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm}} = \left(0.239 \ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm}}\right) \times \left(778 \ \frac{\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}}{\mathrm{Btu}}\right) = 185.9 \ \frac{\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}}{\mathrm{lbm}} \nonumber \]
де ми визнаємо\({ }^{\circ} \mathrm{R}\) і\({ }^{\circ} \mathrm{F}\) скасовуємо, оскільки вони обидва представляють перепади температур, а не температури:\[\begin{aligned} &\frac{\left(P_{2}-P_{1}\right)}{\rho} = \frac{(60-15) \mathrm{~psia}}{51.2 \ \dfrac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{ft}^{3}}} = 0.8789 \ \frac{\mathrm{psia} \cdot \mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{lbm}} = \left(0.8789 \ \frac{\mathrm{psia} \cdot \mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{lbm}}\right) \times \left(\frac{\mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}}{\mathrm{psia}}\right) \times \left(\frac{144 \mathrm{~in}^{2}}{1 \mathrm{~ft}^{2}}\right) = 126.6 \ \frac{\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}}{\mathrm{lbm}} \\ { } \\ & g\left(z_{2}-z_{1}\right) = \left(32.174 \ \frac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}^{2}}\right) \cdot [(20-5) \mathrm{~ft}] = 482.6 \ \frac{\mathrm{ft}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}} = \left(482.6 \ \frac{\mathrm{ft}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}\right) \times \left(\frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{lbm}}\right) \times \left(\frac{1 \mathrm{~lbf}}{32.174 \ \dfrac{\mathrm{lbm} \cdot \mathrm{ft}}{\mathrm{s}^{2}}}\right) = 15.0 \ \frac{\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}}{\mathrm{lbm}} \end{aligned} \nonumber \]
Поєднання цих результатів дає\[\frac{\dot{W}_{\text {pump, in}}}{\dot{m}} = \underbrace{c\left(T_{2}-T_{1}\right)}_{=57 \%} + \underbrace{\frac{1}{\rho}\left(P_{2}-P_{1}\right)}_{=39 \%} + \underbrace{g\left(z_{2}-z_{1}\right)}_{=4 \%} = (185.9+126.6+15.0) \ \frac{\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}}{\mathrm{lbm}} = 328 \ \frac{\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}}{\mathrm{lbm}} \nonumber \]
Коментарі:
(1) Зверніть увагу, як потужність виходить з ладу. Якщо припустити, що підвищення тиску і підйому є бажаними ефектами для насоса, приблизно\(57 \%\) частина енергії «витрачається» на зміну\(0.5^{\circ} \mathrm{F}\) температури рідини. Якою була б потужність, якби процес був ізотермічним?
(2) Що робити, якщо єдиною зміною проблеми було те, що температура гасу знизилася на\(0.5^{\circ} \mathrm{F}\)? Якою була б потужність?
[Це досить вражає. По-перше, ви підчеплюєте трубу до деякого гасу в кімнатних умовах. Потім він збільшує піднесення і тиск гасу, «охолоджує» гас в адіабатичному процесі, і дає вам деяку потужність. Можливо, ви могли б отримати високий тиск, підвищений гас, щоб протікати через гідравлічну турбіну і отримати ще більше роботи. Як би привабливо це не було, ми незабаром виявимо, що це було б неможливо! Якщо ви з'ясуєте спосіб зробити це, будь ласка, не повідомляйте нікому, але зв'яжіться з інструктором, і ви обидва можете піти на Багами!]
(3) Тепер, якби насос дійсно був компресором, а замість гасу ми стискали повітря, якою була б потужність? (Припустимо, зміни кінетичної енергії незначні.) Чи вписується тиск навіть у ваші розрахунки? [Відповідь:\(108 \mathrm{~ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm}\)]
[Незабаром ми виявимо, що цей процес також неможливий. У найбільш ідеальних умовах температура повітря збільшувалася б приблизно,\(258^{\circ} \mathrm{F}\) якби вона була стиснута адіабатично між заданим станом на вході та кінцевим тиском.]
Резервуар А містить\(1.0 \mathrm{~kg}\)\(\left(\mathrm{N}_{2}\right)\) газоподібний азот спочатку при\(150 \mathrm{~kPa}\) і\(300 \mathrm{~K}\). До цього резервуару через відповідний клапан приєднується другий резервуар B, який містить\(2.0 \mathrm{~kg}\) той же газ при\(300 \mathrm{~kPa}\) і\(400 \mathrm{~K}\). Обидва резервуари жорсткі і ізольовані. Припустимо, що азотний газ можна моделювати як ідеальний газ з питомою нагріванням кімнатної температури.
Малюнок\(\PageIndex{3}\): Налаштування двох підключених резервуарів.
Якщо клапан відкритий і рівновага досягнуто, визначають
(а) кінцева температура суміші, в\(\mathrm{K}\), і
(б) кінцевий тиск суміші, в\(\mathrm{kPa}\).
Рішення
Відомо: Вміст двох резервуарів, кожна з яких містить азот, змішується разом.
Знайти: (а) кінцеву температуру суміші, в\(\mathrm{K}\), і (б) кінцевий тиск суміші в\(\mathrm{kPa}\).
Дано:
| Початковий стан (1) | Остаточний стан (2) | |||
|---|---|---|---|---|
| Танк А | Танк B | Танк А | Танк B | |
| \[\begin{gathered} 1.0 \mathrm{~kg} \\ 150 \mathrm{~kPa} \\ 300 \mathrm{~K} \end{gathered} \nonumber \] | \[\begin{gathered} 2.0 \mathrm{~kg} \\ 300 \mathrm{~kPa} \\ 400 \mathrm{~K} \end{gathered} \nonumber \] | \(T_{2} \text{ and } P_{2}\) | \(T_{2} \text{ and } P_{2}\) | |
Аналіз:
Стратегія\(\rightarrow\) збереження енергії
Системи\(\rightarrow\) розглядають вміст обох резервуарів як єдину замкнуту систему.
Властивість підрахунку\(\rightarrow\) енергії та маси
Часовий інтервал\(\rightarrow\) кінцевого часу від початку заданої інформації та закінчення потрібної інформації.
Записуючи скінченно-часову форму збереження енергії для замкнутої системи ми маємо наступне:\[ \underbrace{ \cancel{\Delta E_{\text{sys}}}^{=\Delta U_{\text{sys}}} }_{\begin{array}{c} \text{Changes in } E_{K} \text{ and} \\ E_{GP} \text{ are negligible} \end{array}} = \underbrace{ \cancel{Q_{\text{net, in}}}^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Tanks specified} \\ \text{as adiabatic} \end{array}} + \underbrace{ \cancel{W_{\text{net, in}}}^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Rigid tanks and no other} \\ \text{work interactions identified} \end{array}} \quad \rightarrow \quad \Delta U_{\text{sys}} = U_{\text{sys, } 2} - U_{\text{sys, } 1} = 0 \nonumber \]
Тепер оцінити внутрішні енергії замкнутої системи дає наступне, припускаючи, що повітря можна моделювати як ідеальний газ з кімнатною температурою питомої нагрівання:
\[\begin{aligned} 0 &= U_{\text{sys,} 2}-U_{\text{sys,} 1} \\[4pt] &=\left(m_{\text{sys}} u\right)_{2} - \left(m_{A} u_{A}+m_{B} u_{B}\right)_{1} \quad \text { but } \quad m_{\text{sys}} = m_{A, 2}+m_{B, 2}=m_{A, 1}+m_{B, 1} \\[4pt] &= \left[\left(m_{A, 1}+m_{B, 1}\right) u_{2}\right]-\left[m_{A, 1} u_{A, 1}+m_{B, 1} u_{B, 1}\right] \\[4pt] &=m_{A, 1}\left(u_{2}-u_{A, 1}\right)+m_{B, 1}\left(u_{2}-u_{B, 1}\right) \quad\quad\quad \mid \text { collecting the } m_{A} \text { and } m_{B} \text { terms to get } \Delta u \\[4pt] &=m_{A, 1} c_{v}\left(T_{2}-T_{A, 1}\right)+m_{B, 1} c_{v}\left(T_{2}-T_{B, 1}\right) \quad\quad \mid \text { applying the ideal gas model } \end{aligned} \nonumber \]
Оскільки наша ідеальна газова модель передбачає, що питомі нагрівання оцінюються при кімнатній температурі, вони постійні і скасують, коли ми вирішимо кінцеву температуру:\[\begin{gathered} 0=m_{A, 1} c_{v} \left(T_{2}-T_{A, 1}\right) + m_{B, 1} c_{v}\left(T_{2}-T_{B, 1}\right) \quad \rightarrow \quad T_{2} = \frac{m_{A, 1} c_{v} T_{A, 1}+m_{B, 1} c_{v} T_{B, 1}}{m_{A, 1} c_{v}+m_{B, 1} c_{v}} = \frac{m_{A, 1} T_{A, 1}+m_{B, 1} T_{B, 1}}{m_{A, 1}+m_{B, 1}} \\[4pt] T_{2}=\frac{(1.0 \mathrm{~kg})(300 \mathrm{~K})+(2.0 \mathrm{~kg})(400 \mathrm{~K})}{(1.0+2.0) \mathrm{~kg}} = 367 \mathrm{~K} \end{gathered} \nonumber \]
Тепер для вирішення кінцевого тиску застосовуємо ідеальну модель газу:\[\begin{aligned} \left.\begin{array}{l} P_{2}=\dfrac{m_{2} R_{\text {air }} T_{2}}{V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}} \\[4pt] V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2} = V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{A}+V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{B} \\[4pt] V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{A}=\dfrac{m_{A, 1} R_{\text {air }} T_{A, 1}}{P_{A, 1}} \\[4pt] V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{B}=\dfrac{m_{B, 1} R_{\text {air }} T_{B, 1}}{P_{B, 1}} \end{array}\right\} \quad \rightarrow \quad & P_{2}=\frac{m_{2} R_{\text {air }} T_{2}}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{2}} = \frac{m_{1} R_{\text {air }} T_{2}}{V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{A}+V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{B}} = \frac{\left(m_{A, 1}+m_{B, 1}\right) R_{\text {air }} T_{2}}{\dfrac{m_{A, 1} R_{\text {air }} T_{A, 1}}{P_{A, 1}}+\dfrac{m_{B, 1} R_{\text {air }} T_{B, 1}}{P_{B, 1}}} = \frac{\left(m_{A, 1}+m_{B, 1}\right) T_{2}}{\dfrac{m_{A, 1} T_{A, 1}}{P_{A, 1}}+\dfrac{m_{B, 1} T_{B, 1}}{P_{B, 1}}} \\ & P_{2}=\frac{(1.0+2.0)(367)}{(1.0)\left(\dfrac{300}{150 \mathrm{~kPa}}\right) + (2.0)\left(\dfrac{400}{300 \mathrm{~kPa}}\right)} = 236 \mathrm{~kPa} \end{aligned} \nonumber \]
Коментар:
(1) Зверніть увагу, як ми знову використали ідею співвідношень для вирішення кінцевого тиску, не розраховуючи обсяги резервуара. Очевидно, що в якості перевірки ви могли б знайти обсяг кожного резервуара, додати їх, щоб знайти загальний обсяг, а потім використовувати ідеальне рівняння газу. Це було б гарною перевіркою.
(2) За нашою моделлю для ідеальних газів питома теплоцінність скасовується. З більш точною моделлю для обробки більших змін температури питомі значення тепла не випадуть з процесу. Зверніть увагу, що кінцева температура - це не просто середнє значення початкових температур.
Моделі речовин, представлені в цьому розділі, мають лише обмежену дію. За певних умов гас, який ми перекачували, насправді може почати випаровуватися або кипіти. Так само за певних умов, коли газ стискається, краплі рідини можуть конденсуватися або тверді частинки можуть випасти в осад. Зміни фази відбуваються раптово, і ніщо про нашу модель не дозволяє нам передбачити, коли це станеться. Щоб дізнатися більше про ці важливі явища, ми вивчимо поведінку реальних речовин у більш пізньому курсі (ES202 - Fluid & Thermal Systems). Після того, як ми це зробимо, ми матимемо кращу основу для прийняття рішення, коли наші моделі речовин точні.
Як вказівка на ці обмеження, ідеальна модель газу, як правило, вважається дійсною при «високих» температурах і «низьких» тисках. Але наскільки високий «високий» і наскільки низький - «низький»? Ну а останні дві колонки даних теплофізичних властивостей для газів дають нам деякі вказівки. Точками відліку для газів є критичний тиск\(P_{\mathrm{c}}\) і критична температура\(T_{\mathrm{c}}\). Як ми дізнаємося пізніше,\(P \upsilon=R T\) ідеальне рівняння газу помилково менше, ніж\(5 \%\) коли\(P / P_{\mathrm{c}}<0.05\) і\(T / T_{\mathrm{c}}>0.75\). Щоб перевірити це, порівняйте ці співвідношення для води, азоту та гелію при кімнатних умовах, скажімо,\(300 \mathrm{~K}\) і 1 бар. Що ви зазвичай вважаєте газами в кімнатних умовах?