7.2: Чотири питання

При розробці концепції бухгалтерського обліку нового майна виникає чотири питання, на які необхідно відповісти. При застосуванні до енергії питання стають

1. Що таке енергія?
2. Як його можна зберігати в системі?
3. Як його можна транспортувати?
4. Як його можна створити або знищити?

Після того, як ми відповімо на ці запитання, ми отримаємо відповідне рівняння балансу енергії.

7.2.1 Що таке енергія?

З вивчення базової механіки ви вже познайомилися з трьома типами енергії — кінетичною енергією, гравітаційною потенційною енергією та пружинною (пружною) енергією. Кожна з цих механічних енергій випливала природним шляхом з розрахунку механічної роботи, необхідної для зміни стану системи:

Механічна енергія	Змінено властивість
Кінетична енергія,\(E_{K}\)	Поступальна швидкість частинки.
Гравітаційна потенційна енергія,\(E_{G P}\)	Висота частинки в гравітаційному полі.
Весняна енергія,\(E_{\text {spring}}\)	Довжина еластичного матеріалу.

Також здавалося розумним застосувати принцип бухгалтерського обліку та поєднати механічну енергію та механічну потужність в механічному енергетичному балансі:\[\frac{d}{dt} \left(E_{K}+E_{G}+E_{\text {Spring}}\right) = \dot{W}_{\text {mech}} \nonumber \] На жаль, цей баланс механічної енергії діє лише за певних обмежень.

Історично склалося так, що вивчення того, що ми зараз називаємо енергією, розділилося на вивчення тепла і вивчення роботи. Залишки цього поділу залишаються у нас і сьогодні. Загальне використання цих термінів означає, що тепло - це те, що система має і може передавати, а робота - це те, що робить система. Одним із вінцевих досягнень фізики 19 століття було визнання того, що ці дві концепції можуть бути уніфіковані за допомогою Першого закону термодинаміки, і що обидва представляють механізми передачі енергії.

У нашому дослідженні лінійного імпульсу ми мали дуже точне визначення лінійного імпульсу частинки, а згодом для системи. На жаль для школяра, єдиного вираження енергії не існує, оскільки енергія приймає багато різних форм. Таким чином, наше розуміння енергії базуватиметься на наборі оперативних визначень, які допомагають нам її розпізнати. (Хоча це може здатися складним, не хвилюйтеся. У більшості застосувань задіяні лише кілька легко впізнаваних форм енергії. Оперативні визначення дають основу для розуміння поняття, але рідко потрібні в повсякденній практиці.)

Термодинамічна робота

Ми вже вивчили механічну роботу і дізналися, як вона може змінити систему. Багато інших взаємодій між системою та її оточуючим також можуть впливати на систему способами, що імітують механічну роботу. Для дослідження цих ефектів потрібно більш широке поняття, яке включає механічну роботу як підмножину. Це більш широке поняття називається термодинамічною роботою. Експлуатаційне визначення для термодинамічної роботи виглядає наступним чином:

Термодинамічна робота - це взаємодія між системою та її оточенням, що відбувається таким чином, що єдиною зміною або в системі, або в оточенні могло бути збільшення гравітаційної потенційної енергії системи. або околиці. Величина роботи дорівнює збільшенню гравітаційної потенційної енергії, яка могла статися.

Зауважимо, що це визначення не говорить про те, що гравітаційна потенційна енергія системи або оточення дійсно збільшилася. У ньому йдеться про те, що він міг би збільшитися. Як правило, ми просто будемо використовувати термін робота як синонім термодинамічної роботи. (Незабаром ми вирішимо, що ця взаємодія є передачею енергії; однак констатувати це зараз логічно передчасно.) Механічна робота - це підмножина термодинамічної роботи. Загалом, ми не будемо застосовувати це визначення безпосередньо після того, як визначимо загальні форми роботи. Однак це служить меті, коли вивчаються нові взаємодії.

Адіабатичний процес, межа та система

Адіабатичний процес - це будь-який процес, який передбачає лише робочі взаємодії з оточенням. Адіабатична межа - це межа, яка дозволяє лише робочу взаємодію з оточенням. Система, яка має лише адіабатичні межі, називається адіабатичною системою.

Перший закон термодинаміки

Після довгих експериментів Перший закон термодинаміки став усталеним фундаментальним принципом у другій половині 19 століття. Одна з форм його говорить наступне:

Коли будь-яка замкнута система піддається адіабатичному процесу, мережева робота, пов'язана зі зміною стану, однакова для всіх можливих адіабатичних процесів, що з'єднують однакові два рівноважних кінцевих стану.

Оскільки обсяг адіабатичної роботи для замкнутої системи залежить лише від знання двох кінцевих станів системи, адіабатична робота для замкнутої системи визначає зміну властивості для системи. Це властивість називається енергією системи і визначається співвідношенням:\[\Delta E_{sys} = E_{sys, \ 2}-E_{sys, \ 1} = W_{1 \text{-} 2, \text { adiabatic}} \quad \text { for a closed system. } \nonumber \] Досвід показав, що адіабатична робота, необхідна для зміни стану замкнутої системи, залежить від кількості маси системи; таким чином, енергія є великою властивістю.

Перший закон термодинаміки також можна заявити у вигляді двох постулатів:

1. Існує велика властивість, звана енергією,\(E\).
2. Зміна енергії для замкнутої системи між будь-якими двома станами визначається як робота, виконана над системою під час адіабатичного процесу, що з'єднує два стани,\(\Delta E = E_{2} - E_{1} = W_{1 \text{-} 2 \text{ adiabatic}}\).

Це тепер дає нам спосіб обчислити зміну енергії для замкнутої системи.

Розміри енергії такі ж, як і для роботи:\([\text{Force}][\text{Length}]\). Хоча розміри однакові, існує кілька одиниць енергії, які зазвичай використовуються інженерами. У системі СІ стандартною одиницею є джоуль\((\mathrm{J})\) де\(1 \mathrm{~J} = 1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}\). У системі USCS є дві одиниці, які зазвичай зустрічаються: фут-фунт-сила\((\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf})\) і британська теплова одиниця\((\mathrm{Btu})\). Фут-фунт-сила народилася при вивченні механічної роботи і британський тепловий агрегат використовувався при вивченні тепла. Одним з найвідоміших результатів фізики стало експериментальне визначення «механічного еквівалента тепла» Джоулем. Сьогодні ми знаємо, що правильна залежність між цими двома одиницями енергії становить приблизно\[1 \mathrm{~Btu}=778.17 \mathrm{~ft} \cdot \mathrm{lbf} \nonumber \] Одна британська теплова одиниця приблизно дорівнює кількості енергії, необхідної для підвищення температури одного фунта маси рідкої води на один градус за Фаренгейтом при кімнатній температурі.

Перший закон термодинаміки лише говорить нам, як обчислити зміну енергії системи. Це теж характеристика властивості енергії — ми можемо лише обчислити енергетичні відмінності.

Але як щодо кінетичної енергії та гравітаційної потенційної енергії та енергії пружини? Чи не можемо ми оцінити абсолютні значення цих енергій, використовуючи наші знайомі рівняння? Відповідь - ні. Наприклад, числове значення кінетичної енергії частинки, змінюється залежно від того\(m V^{2} / 2\), яку інерційну систему відліку ви виберете при оцінці швидкості. Уявіть, що ви кидаєте бейсбол на неухильно рухається поїзд. Якщо швидкість вимірюється відносно поїзда, кінетична енергія має одне значення; якщо швидкість вимірюється відносно землі, кінетична енергія матиме інше значення. Аналогічні аргументи можна зробити для гравітаційної потенційної енергії та енергії пружини.

Дотримуючись тієї ж лінії міркувань, яку ми використовували раніше з механічною енергією та механічною роботою, здається розумним, що ми повинні інтерпретувати роботу як механізм транспортування енергії через межу системи. Незабаром ми покажемо, що однієї роботи недостатньо, щоб пояснити, як енергія системи може змінюватися.

7.2.2 Як можна зберігати енергію в системі?

Виходячи з першого закону термодинаміки та концепції термодинамічної роботи, ми маємо спосіб дослідити зміни енергії замкнутої системи (див. \(\PageIndex{1}\)). На щастя, інженери і вчені розробили досить вичерпну картину різних форм, в яких енергія може зберігатися в системі.

види енергії

Енергія може зберігатися в багатьох формах. Крім кінетичної енергії, гравітаційної потенційної енергії та енергії пружності, існує ще кілька видів енергії. Нам буде корисно класифікувати енергію, що зберігається в системі,\(E_{\text {sys}}\) на чотири групи:\[ E_{sys} = \underbrace{U}_{\begin{array}{c} \text{Internal} \\ \text{energy} \end{array}} + \underbrace{E_K}_{\begin{array}{c} \text{Translational} \\ \text{kinetic energy} \end{array}} + \underbrace{E_{GP}}_{\begin{array}{c} \text{Gravitational} \\\ \text{potential energy} \end{array}} + E_{other} \nonumber \]

де\(U\) - внутрішня енергія системи,\(E_{K}\) - поступальна кінетична енергія системи,\(E_{G P}\) є гравітаційною потенційною енергією системи, і\(E_{other}\) являє собою всі інші форми енергії. Два з них знайомі, а два - ні.

Для початку розглянемо знайомі терміни. Поступальна кінетична енергія та гравітаційна потенційна енергія однакові, які ми використовували раніше в цьому курсі і не потребують додаткового обговорення. Зверніть увагу, що ми зараз більш чітко ставилися до типу кінетичної енергії, яку має наша система. Обертова система зі стаціонарним центром маси все ще може зберігати енергію як обертальну кінетичну енергію. (Будь-яка частина обертового обладнання може зберігати значну кількість енергії при його обертанні. Утримання цієї енергії під час катастрофічного виходу пристрою з ладу, наприклад, виходу з ладу лопатки турбіни або виходу з ладу обода шини, часто є основним фактором безпеки в конструкції пристрою.)

З двох нових енергій найважливішою є внутрішня енергія. Ідентифікація внутрішньої енергії була прямим наслідком розвитку першого закону термодинаміки.

Внутрішня енергія речовини - це велика властивість, яка представляє мікроскопічну кінетичну та потенційну енергію молекул і атомів, що входять до складу речовини.

Будь-який об'єкт з масою має внутрішню енергію в результаті «рухів і конфігурацій його внутрішніх частинок» (Е.Ф. Оберт і Р.А. Гаггіолі, Термодинаміка, 2-е изд., Макгроу-Хілл, Нью-Йорк, 1963, стор. 18). Зміни внутрішньої енергії системи проявляються змінами інших властивостей, таких як температура, тиск і щільність.

Внутрішня енергія - звідки вона взялася?

Щоб дати нам деяке уявлення про те, як була виявлена внутрішня енергія і що це таке фізично, розглянемо пристрій, показаний на малюнку. Пристрій складається з жорсткого бака, який сильно ізольований. Бак містить повітря і набір лопатей вентилятора, прикріплених до валу. Інший кінець вала прикріплений до шківа і підвішений до шківа тросом - маса.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Система, що складається з лопатей вентилятора всередині жорсткої ємності, прикріпленої до вала і шківа, з якого маса підвішується зовні контейнера.

Спочатку система вентилятор-вал-шкив-маса є нерухомою. Якщо масі дозволено впасти на відстань\(L\) і знову стати нерухомою, що відбувається з газом всередині бака?

Ви можете припустити, що температура газу може підвищуватися, а також його тиск. Якщо чекати досить довго, газ також знову стане нерухомим.

Оскільки енергія замкнутої системи не може змінюватися, зменшення гравітаційної потенційної енергії має бути збалансовано збільшенням іншої форми енергії.

Якби ми розглянули систему, яка включає все на малюнку, ми виявили б дві речі:

(1) Немає взаємодії на межі системи, яка кваліфікується як термодинамічна робота. Це прямий наслідок утеплення. Таким чином, енергія системи постійна.

(2) Гравітаційна потенційна енергія системи зменшується.

Для цієї системи енергія, яка збільшується, - це внутрішня енергія стінок бака, лопаті вентилятора і частини вала всередині бака. На макроскопічному рівні ця зміна внутрішньої енергії може проявлятися підвищенням температури системи. На мікроскопічному рівні ми спостерігали б зміни в русі атомів і молекул, що утворюють ці об'єкти; звідси і назва внутрішня енергія.

Взаємодія, яка відбувається між частиною вала поза резервуаром і валом всередині бака насправді являє собою термодинамічну роботу (незабаром ми ідентифікуємо це як роботу вала). Щоб обґрунтувати це, уявіть, що бак і його вміст замінили системою, що містить нефрикційний шків і масу. Тепер падіння ваги в початковій системі призводить до підняття уявної маси в гравітаційному полі з лише збільшенням гравітаційної потенційної енергії уявної системи. Це задовольняє наше визначення термодинамічної роботи. Зверніть увагу, що при виявленні термодинамічної роботи справа не в тому, що насправді відбувається з передаваною енергією, а те, що може статися.

Термін, що залишився\(E_{other}\) в нашому енергетичному вираженні, ур. \(\PageIndex{2}\), Включає в себе всі інші форми енергії. Вони можуть бути важливими, а можуть бути не важливими залежно від розглянутої системи. Деякі з найбільш поширених форм енергії, які можуть зберігатися в системі, перераховані нижче:

Енергія	Приклад
Еластичний	Енергія, що зберігається при деформації пружного матеріалу, наприклад пружини.
Кінетичний, обертальний	Енергія, що зберігається в об'єкті завдяки його обертанню навколо осі, наприклад маховика
Поверхневий натяг	Енергія, що зберігається при розтягуванні плівки рідини, наприклад, утворення краплі дощу.
Електричне поле	Енергія, що зберігається в електричному полі, наприклад, конденсаторі
Магнітне поле	Енергія, що зберігається в магнітному полі, наприклад, індуктор

Однією з головних проблем у вирішенні проблем є вирішення того, які форми енергії є важливими для конкретної системи. Цей список не є «все включено». Продовжуючи освіту, ви можете виявити інші форми енергії, які відіграють помітну роль у конкретних фізичних явищах.

Питома енергія та енергія системи

Для наших цілей ми будемо вважати, що енергія системи пов'язана з масою, що міститься всередині системи; таким чином,\[E_{\mathrm{sys}}=\int\limits_{V_{sys}} e \ \rho dV \nonumber \] де\(e\) енергія на одиницю маси, або питома енергія системи. Розміри питомої енергії є\([\mathrm{Energy}]/[\mathrm{Mass}]\) і типові одиниці знаходяться\(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}\) в СІ і\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm}\) або\(\mathrm{Btu} / \mathrm{lbm}\) в УСК. Оскільки енергія є великою властивістю, енергія системи дорівнює сумі енергії її підсистем. Для деяких видів енергії енергія фактично зберігається в електричному або магнітному полі, яке може відповідати або не відповідати фізичній масі системи. Для цього буде потрібно інший підхід до присвоєння енергії системи. Як правило, ми будемо вважати, що енергія знаходиться всередині конкретного фізичного пристрою, такого як конденсатор або індуктор.

7.2.3 Як його можна транспортувати?

Енергія може транспортуватися через межу системи трьома різними механізмами - роботою, тепловіддачею та масовою передачею енергії.

Енергетичний транспорт по роботі

Транспортування енергії роботами може відбуватися як на проточних, так і на безпотокових межах. Будь-яка взаємодія між системою та її оточенням, що задовольняє визначенню термодинамічної роботи, є робочою передачею енергії. Швидкість передачі енергії в систему також відома як потужність і має ті ж характеристики, що і механічна потужність, розглянута раніше. Думаючи про потужність як про швидкість передачі енергії, ми можемо\[\dot{E}_{\text {work}} = \dot{W} \nonumber \] написати Індекси «in» або «out» часто використовуються для позначення напрямку передачі. Коли ми підсумовуємо швидкість передачі енергії для системи, ми часто повідомляємо про це як чисту норму:\[\sum \dot{W}_{\text{in}} - \sum \dot{W}_{\text{out}} = \dot{W}_{\text{net, in}} = -\dot{W}_{\text{net, out}} \nonumber \] Зверніть увагу, як індекси пов'язані зі знаками. Це стає особливо важливим, коли ви копіюєте рівняння з тексту, оскільки ви повинні розуміти домовленість про знак, що спостерігається, щоб правильно використовувати похідне рівняння.

Існує безліч різних агрегатів по роботі і потужності. Найбільш поширені з них, які використовуються в даному курсі, представлені нижче:

	Система SI	Система USCS
Робота	Ньютон-метр\((\mathrm{N} \cdot \mathrm{m})\) джоуль\((\mathrm{J})\) кілоджоуль\((\mathrm{kJ})\)	фут-фунт-сила\((\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf})\) Британський тепловий агрегат\((\mathrm{Btu})\)
Потужність	Ньютон-метр/second\((\mathrm{N} \cdot \mathrm{m} /\mathrm{s})\) джоуль/секунду\((\mathrm{J} / \mathrm{s})\) ват\((\mathrm{W})\) кіловат\((\mathrm{kW})\)	фут-фунт-сила/секунда\((\text{ft-lbf} / \mathrm{s})\) Британська теплова одиниця/Second\((\mathrm{Btu} / \mathrm{s})\) кінських сил\((\mathrm{hp})\)

Існує багато способів транспортування енергії через непотокову межу системи шляхом роботи. Розглянемо пристрій, показаний на малюнку,\(\(\PageIndex{2}\) що складається з акумулятора, підключеного до двигуна постійного струму, який обертає лопастне колесо, яке перемішує газ, що міститься в поршнево-циліндровому пристрої.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Приклади роботи передачі енергії.

Спочатку все в пристрої нерухомо і тиску газу в поршнево-циліндровому пристрої достатньо, щоб «спливти» поршень. Якщо ми закриємо перемикач між акумулятором і двигуном, що станеться? Ми очікуємо, що двигун поверне лопатеве колесо, і з часом поршень, ймовірно, підніметься. (Візьміть хвилинку і подумайте про це. Ви б очікували, що поршень підніметься?) Тепер які робочі передачі енергії для цієї системи? Оскільки робота визначається в терміні перенесення на кордоні, виділимо три системи\(A\)\(B\), і\(C\). З точки зору роботи, акумулятор (система\(A\)) виконує електричні роботи на двигуні (System\(B\)). Двигун працює вал на системі\(C\), лопастному колесі, валу та газу всередині циліндра. Нарешті, газ робить роботу розширення для переміщення поршня. У наступних розділах ми розглянемо кожен з цих режимів роботи більш детально.

Стиснення-розширення (P dV) Робота

Одним з найважливіших і поширених режимів роботи є робота стиснення-розширення. Це режим роботи, який відбувається в двигуні вашого автомобіля, коли гарячий газ високого тиску розширюється проти поршня. У міру їх розширення газ дійсно працює на поршень. Ця робота потім передається через шатун на колінчастий вал до трансмісії на ведучий вал через диференціал на вісь і, нарешті, на колеса автомобіля. (Ух, який шлях!)

Але повернемося до того, що відбувається з гарячим газом. Розглянемо просте поршнево-циліндровий пристрій, показане на малюнку\(\PageIndex{3a}\). Гарячий газ високого тиску міститься в закритому обсязі, утвореному поршнем і стінками циліндра. Для наочності розглянемо випадок розширення, коли поршень рухається вправо. Нас цікавить пошук роботи, яку виконує поршень на газі:\[W_{in} = \int\limits_{\mathrm{x}_{1}}^{\mathrm{x}_{2}} \mathbf{F}_{\text {surface}} \cdot d \mathbf{x} = \int\limits_{\mathrm{x}_{1}}^{\mathrm{x}_{2}}\left(-F_{\text {piston}} \mathbf{i}\right) \cdot(d x \mathbf{i}) = -\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} F_{\text {piston}} \cdot d x \nonumber \] де єдина поверхнева сила, яка рухається\(F_{\text {piston}}\), сила, яку поршень чинить на газ (див. Рис.\(\PageIndex{3b\)). Зверніть увагу, що знак мінус в рівнянні виникає через те, що сила діє протилежно напрямку зміщення.

а) Поршнево-циліндровий пристрій

б) Вміст циліндра з силою поршня

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Робота стиснення-розширення для поршнево-циліндрового пристрою.

Це цілком хороший вираз; однак було б корисніше, якби воно могло бути виражено з точки зору властивостей газу всередині системи. Ми можемо зробити це, переписавши Eq\(\PageIndex{6}\) у терміні середній тиск на інтерфейсі поршня-газ і обсяг системи:\[\begin{array}{l} W_{\text {in}} &= \displaystyle -\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} F_{\text {piston}} \cdot dx = -\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} \underbrace{\left(\frac{F_{\text {piston}}}{A_{\text {piston}}}\right)}_{=P_{\text {avg}}} \cdot \underbrace{A_{\text {piston}} \ dx}_{=dV} \\ &= \displaystyle -\int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys, \ 1}} ^{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys, \ 2}} P_{\text {avg}} \cdot d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \end{array} \nonumber \] Знову зауважте, що для оцінки цього рівняння потрібно лише знати середній тиск на рухому кордоні системи як функцію обсягу системи.

Якщо далі припустити, що процес розширення (або стиснення) відбувається досить повільно, щоб тиск всередині системи було рівномірним\(P_{\text {avg}}=P\), то і роботу на газі в процесі стиснення-розширення можна описати рівнянням:\[W_{\text {in}} = -\int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys, \ 1}}^{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys, \ 2}} P \cdot d V\kern-1.0em\raise0.3ex- \quad \begin{aligned} &\text {Compression-Expansion (PdV) Work} \\ & \text {(Assumes spatially uniform pressure)} \end{aligned} \nonumber \] Цей режим роботи прийнято називати як стиснення-розширення роботи або\(PdV\) роботи. Коли система стискається\((d V\kern-1.0em\raise0.3ex- < 0)\), поршень дійсно працює на системі і\(W_{\text {in}}>0\). Коли система розширюється\((d V\kern-1.0em\raise0.3ex- >0)\), система працює на поршні і\(W_{\text {in}}<0\) тому, що енергія передається з системи. Такий результат справедливий як для рідин, так і для газів.

Приклад —\(PdV\) Work for a Closed System

На практиці основне рівняння для\(PdV\) роботи замкнутої системи має бути інтегровано для визначення роботи для того чи іншого процесу. Досвід вказує на те, що існує кілька процесів, які відбуваються часто і будуть досліджуватися тут. Як завжди, вас застерігають від запам'ятовування формул. Зосередьтеся на тому, як припущення процесу використовується для інтеграції основного рівняння для\(PdV\) роботи.

Процес постійного обсягу:\(V\kern-1.0em\raise0.3ex- = V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} = V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}=C, \text{ a constant}\)\[W_{PdV, \text { in}} = -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} P \ \cancel{ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- }^{=0} = 0 \nonumber \]

Процес постійного тиску (ізобарний):\(P=P_{1}=P_{2}=C, \text{ a constant}\)\[W_{PdV, \text { in}} = -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} C \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = - C\left(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}\right) = -P\left(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}\right) \nonumber \]

Політропний процес:\(P V\kern-1.0em\raise0.3ex-^{n} = P_{1} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{n} = P_{2} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{n}=C, \text{ a constant}\)

\[W_{PdV, \text{ in}} = -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} \left(\frac{C}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-^{n}}\right) d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \nonumber \]

Якщо\(n=1\):

\[W_{PdV, \text { in}} = -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} \left(\frac{C}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}\right) d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -C \int\limits_{1}^{2} \frac{d V\kern-0.8em\raise0.3ex-}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-} = -C \ln \left(\frac{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{2}}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{1}}\right) = -P V\kern-0.8em\raise0.3ex- \ln \left(\frac{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{2}}{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{1}}\right) \nonumber \]

Якщо\(n \neq 1\):

\[ \begin{align*} W_{PdV, \text { in}} &= -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} \left(\frac{C}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-^{n}}\right) d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -C \int\limits_{1}^{2} V\kern-1.0em\raise0.3ex-^{-n} \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \\ &= -C\left[\frac{V\kern-0.8em\raise0.3ex-^{-n+1}}{-n+1}\right]_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{1}}^{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{2}} = -C \left[\frac{V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{1-n} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{1-n}}{1-n}\right] = C\left[\frac{V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{1-n} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{1-n}}{n-1}\right] \\[4pt] &=\left[\frac{C V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{1-n} - C V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{1-n}}{n-1}\right] = \left[\frac{\left(P_{2} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{n}\right) V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{1-n} - \left(P_{1} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{n}\right) V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{1-n}}{n-1}\right] = \frac{\left(P_{2} V\kern-1.0em\raise0.3ex- _{2} - P_{1} V\kern-1.0em\raise0.3ex- _{1}\right)}{n-1} \end{align*} \nonumber \]

Починаючи з того ж початкового стану 1, побудуйте постійний об'ємний процес, процес постійного тиску та політропний процес з\(n=1\) на графіку\(P \text{ vs. } V\). Як\(W_{PdV}\) пов'язаний з площею під\(PV\) кривою для кожного процесу?

а) Дивлячись в систему на розрізаний вал

б) Кінцевий вигляд вирізаного вала

в) Диференціальна сила зсуву в точці на t ріжучому валу

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Вид на систему, що містить обертовий вал.

Робота вала

Коли частина кордону системи обертається, механічна робота виконується на системі силами зсуву на обертовій поверхні. Найпоширеніший випадок цього - коли межа системи перетинає (розрізає) обертовий вал (див. Малюнок\(\PageIndex{4}\)). Щоб розрахувати механічну роботу, треба виявити поверхневі сили і їх рух. \(\PageIndex{4a}\)На малюнку показана межа системи, яка перетинає вал. \(\PageIndex{4b}\)На малюнку показано поперечний переріз вала і напрямок обертання, як дивитися в систему. \(\PageIndex{4c}\)На малюнку показана диференціальна сила зсуву сили, що\(d \mathbf{F}_{shear}\) діє на розрізаний вал, і вектор положення,\(\mathbf{r}\) де він застосовується. Механічна робота, виконана на обертовому валу всередині системи, оцінюється як\[W_{\text {shaft, in}} = \int\limits_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \int_{Ac} \underbrace{(\tau \ dA)}_{dF_{shear}} \underbrace{(r \ d \theta)}_{ds} = \int\limits_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \underbrace{\left[\int_{0}^{R} \tau(2 \pi r) r \ dr\right]}_{M_{0}=\text {moment about axis } 0} d \theta = \int\limits_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} M_{0} \cdot d \theta \nonumber \] де\(M_{0}\) знаходиться момент пари, утвореної всіма силами зсуву, що діють на розрізаний вал, і\(\theta\) є кутовим обертанням вала, вираженим в радіанах. Якщо обертання вала (дивлячись в систему) має той же сенс, що і момент, застосований до системи,\(W_{\text {shaft, in}}>0\). Якщо почуття моменту і обертання вала протилежні,\(W_{\text {shaft, in}}<0\).

Потужність вала розраховується за допомогою рівняння:\[\dot{W}_{\text {shaft, in}}=M_{0} \cdot \omega \nonumber \] де\(\omega\) - швидкість обертання в радіанах в секунду\((\mathrm{rad} / \mathrm{s})\) на кордоні. Для більшості систем з обертовими валами потужність вала представляє більший інтерес, ніж робота вала.

Електромонтажні роботи та електроенергія

Енергія може передаватися системі електричним зарядом, що протікає через систему. При переміщенні заряду в електричному полі на заряд прикладається сила (рис.\(\PageIndex{5}\)). При переміщенні заряду в межах поля проводиться робота над зарядом. Ця ситуація аналогічна нашому попередньому досвіду з рухомою масою в гравітаційному полі.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Заряджена частинка, що рухається в електричному полі.

Для частинки, що рухається в гравітаційному полі, ми виявили, що\[W_{\text {mech}}=\Delta E_{K}+\Delta E_{G P} \quad \text { and } \quad \Delta E_{GP} = m \Delta e_{GP}=m g \Delta z \nonumber \] аналогічним чином робота, виконана для переміщення зарядженої частинки із зарядом\(q\) у електричному полі, дорівнює тому,\[W_{\text {electric}}=\int\limits_{1}^{2} q \ dV = q\left(V_{2-0} - V_{1-0}\right) \nonumber \] де\(V_{i-0}\) знаходиться електричний потенціал у точці\(i\). Електричний потенціал - це механічна робота на одиницю заряду, необхідна для переміщення зарядженої частинки в нерухомому електричному полі між контрольною точкою\(O\) і довільною точкою\(i\). Стандартною одиницею електричного потенціалу є вольт (V), де 1 вольт = 1 джоуль/кулон\((1 \mathrm{~V}=1 \mathrm{~J} / \mathrm{C})\). Як і при будь-якій механічній роботі, електроробота може бути позитивною або негативною.

У багатьох додатках проблема полягає в системі, де через межу протікає електричний струм. У типовій конфігурації електричний струм протікає по системі з відомою швидкістю без накопичення всередині системи, див\(\PageIndex{6}\). Рис. Електричний потенціал на межі, де струм перетинає межу системи, відомий щодо загальної землі. У цих умовах миттєва електрична потужність в систему - це\[\dot{W}_{\text {electric, in}} = i \cdot\left(V_{\text {in-o =}} - V_{\text {out-o}} \right) \quad \text { Electric Power } \nonumber \] де електричний струм, що\(i\) перетинає межу, і електричний потенціал в точках на кордоні, куди електричний струм входить і виходить з системи, знаходяться\(V_{\text {in-o}}\) і\(V_{\text {out-o}}\), відповідно. Коли електричний потенціал зменшується в напрямку потоку струму, електрична потужність в позитивна. Коли електричний потенціал збільшується в напрямку потоку струму, електрична потужність в негативна.

Приклад, що показує, як напрямок потоку струму впливає на електричну потужність для простої батареї постійного струму, показаний на малюнку\(\(\PageIndex{6}\). Коли акумулятор заряджається, енергія додається до акумулятора, а електрична потужність - позитивна. Коли акумулятор розряджається через резистор, енергія виходить з батареї, а електроенергія в акумулятор негативна. Яким буде напрямок і величина електричної потужності для резистора?

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Електрична потужність для 1,5-вольтової батареї.

Потік роботи і потужність

На кордоні потоку маса, що надходить в систему, служить для стиснення маси вже всередині відкритої системи. Цей тип роботи відомий як робота потоку, а швидкість виконання роботи потоку відома як потужність потоку. Потужність потоку для системи записується так\(P \nu\),\[\begin{array}{l} \dot{W}_{\text {flow, net in}} &= \displaystyle \sum_{\text{in}} \dot{W}_{\text {flow, in}} - \sum_{\text{out}} \dot{W}_{\text {flow, out}} \\ &= \displaystyle \sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(P_{i} \nu_{i}\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(P_{e} \nu_{e}\right) \end{array} \nonumber \] де, добуток тиску та питомого об'єму, - це питома робота потоку, оцінена на кордоні, де відбувається масовий потік. Детальна розробка цього терміну буде відкладена на потім. Зверніть увагу, що для закритої системи відсутня масова витрата і, отже, відсутня потужність потоку. Проточна робота - це механізм передачі енергії, який відбувається тільки у відкритих системах.

Робота і потужність для системи

Коли ми об'єднуємо вирази для швидкості передачі роботи, потужності, для системи ми маємо наступний вираз:\[\begin{array}{ll} \dot{E}_{\text {work, net in}} &= \displaystyle \underbrace{ \left[\sum \dot{W}_{\text {in}} - \sum \dot{W}_{\text {out}}\right] }_{\begin{array}{c} \text {Rate of energy transfer by work} \\ \text {(excluding flow work)} \\ \text{(Power)} \end{array}} &+ \quad \displaystyle \underbrace{ \left[\sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(P_{i} \nu_{i}\right) - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \left(P_{e} \nu_{e}\right)\right] }_{\begin{array}{c} \text {Rate of energy transfer by flow work} \\ \text{(Flow Power)} \end{array}} \\ &= \quad\quad\quad \dot{W}_{\text{net, in}} &+ \displaystyle \quad \left[\sum_{\text{in}} \dot{m}_{i}\left(P_{i} v_{i}\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(P_{e} v_{e}\right)\right] \end{array} \nonumber \] де\(P\) тиск і\(\nu\) питомий обсяг на межі, де відбувається потік. Ви повинні визнати, що в цей термін може бути кілька різних видів робіт (або потужності), наприклад, електродвигун має як роботу вала, так і електромонтажні роботи.

Транспортування енергії з масовим потоком

На кордоні потоку кожна грудка маси, яка потрапляє або виходить з системи, несе з собою певну кількість енергії. Швидкість, з якою енергія переноситься через межу, є добутком масової витрати та питомої енергії маси на кордоні:\[\dot{E}_{\text {mass flow}}=\dot{m} e \nonumber \] Чиста швидкість\(e\), з якою енергія переноситься в систему масовим потоком, є\[\dot{E}_{\text {mass flow, net in}} = \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} e_{i}-\sum_{\text {out }} \dot{m}_{e} e_{e} \nonumber \]

Транспортування енергії за допомогою теплопередачі

Теплообмін є третім і кінцевим механізмом передачі енергії через межу системи. Теплообмін - це будь-яка передача енергії, яка не може бути класифікована як передача енергії з масовим потоком або передача енергії роботою. Використовуючи перший закон термодинаміки і термодинамічної роботи, тепловіддача для замкнутої системи точно визначається рівнянням:\[Q_{1-2, \text {net in}} \equiv \left(E_{\text{sys}, \ 2}-E_{\text{sys}, \ 1}\right)-W_{1-2, \text {net in}} \nonumber \] Це говорить про те, що коли замкнута система проходить процес, будь-який процес, між станами 1 і 2, різниця між зміною енергії системи і мережевою роботою в систему дорівнює тепловіддачі для системи.

Так само, як і робота, теплопередача має як форму швидкості, так і форму кінцевого часу:\[Q_{1-2} = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{Q} \ dt = \int\limits_{1}^{2} \delta Q \nonumber \] Так само, як і робота, теплопередача є функцією шляху і не має значення в заданому стані. Тепловіддачу\(Q_{1 - 2}\), як і роботу\(W_{1 - 2}\), можна розрахувати лише після того, як ви дізнаєтесь шлях, процес та кінцеві стани. Ми будемо використовувати ту саму конвенцію про знак, що і раніше при інших передачах енергії. Використання індексів,\(Q_{\text{in}}\) або, рекомендується\(Q_{\text {out}}\), щоб уникнути плутанини.

Наш досвід говорить нам, що тепловіддача тісно пов'язана з ідеєю температури. Наприклад, уявіть, що у мене два прямокутних блоку з міді. Один сидів у крижаній ванні, а інший сидів у каструлі з киплячою водою. Ви можете легко розпізнати, який блок гарячий, а який блок холодний. Тепер припустимо, що я розміщую ці два блоки в контакт, а потім сильно ізолюю дотик блоки деякою склопластиковою ізоляцією. Враховуючи достатній час, ви виявите, що жоден блок не гарячий або холодний, вони однакові. Ми зазвичай говоримо, що «два блоки мають однакову температуру». Крім того, можна сказати, що блоки досягли теплової рівноваги. Що сталося з блоками? Як вони взаємодіяли? Знову ж таки, ви б напевно сказали «холодний нагрівся» і «гарячий остиг».

Це може бути правильне тлумачення обивателя, але як це вписується в нашу енергетичну картину? Якщо уважно розглянути, як обидва блоки взаємодіяли під час процесу і як вони могли взаємодіяти з оточенням, ви виявите, що не було роботи передачі енергії або масової передачі енергії. Все, що залишається для передачі енергії, - це тепловіддача, і саме це сталося. Два блоки досягли теплової рівноваги - стану, коли температура просторово рівномірна і незмінна з часом - шляхом обміну енергією шляхом передачі тепла. Це підкреслює ще одну важливу характеристику теплопередачі — тепловіддача не відбуватиметься між двома системами в тепловій рівновазі.

Наш досвід також говорить нам, що передача тепла відбувається лише спонтанно від області високої температури до області низької температури. (Чи очікували б ви, що гарячий блок міді стане теплішим, а холодний блок міді - прохолодніше?)

Ідея температури настільки тісно пов'язана з тепловіддачею, що для теплопередачі часто дається наступне визначення:

Теплообмін - це механізм передачі енергії через межу системи за рахунок різниці температур

Існує три фізичні механізми транспортування енергії шляхом теплопередачі — провідність теплопередачі, конвекційна тепловіддача та радіаційна тепловіддача. Ці три ми переглянемо пізніше, але цілий курс з теплопередачі є обов'язковою складовою багатьох навчальних програм. Наприклад, машинобудування вимагає повного курсу, і електричні та комп'ютерні інженери дізнаються про конкретні програми охолодження електричних систем.

Тепловіддача енергії може відбуватися на будь-якій границі системи, хоча тепловіддача на кордоні потоку зазвичай нехтується і незначна в порівнянні з передачею на безпоточних межах. Символічно це можна записати так:\[\dot{E}_{\text {heat transfer, net in}}=\dot{Q}_{\text {net, in}} \nonumber \] Хоча з'являється лише один термін тепловіддачі, загальну швидкість тепловіддачі можна знайти, підсумовуючи показники тепловіддачі на всіх межах системи.

Як можна створити або знищити енергію?

Перший закон термодинаміки, один із основоположних принципів фізики, насправді є твердженням про те, що енергію неможливо створити або знищити. Таким чином, енергія зберігається!

Як і у випадку з урахуванням видів раніше, якщо рахувати лише один тип енергії, наприклад механічну енергію, виявляється, що специфічна енергія може бути створена та знищена. Однак це відбувається лише тому, що ви рахуєте лише один тип енергії. Досвід неодноразово показав, що при обліку всіх форм енергії енергія зберігається. Насправді наша віра в цей закон настільки повна, що фізики виявили нові частинки, коли намагалися зрозуміти, чому їх експерименти не зберігали енергію.

7.2.5 Збираємо все разом - збереження енергії

Застосовуючи систему обліку до енергетики, ми знаємо, що\[\frac{d E_{\text {sys}}}{d t} = \dot{E}_{\text {work, net in}} + \dot{E}_{\text {heat transfer, net in}} + \dot{E}_{\text {mass flow, net in}} \nonumber \] Тепер, збираючи всі результати, розроблені вище, ми маємо початковий варіант нормової форми збереження енергії:

\[ d E_{\text{sys}} = \underbrace{ \dot{W}_{\text{net, in}} + \left[ \sum_{\text{in}} \dot{m}_i \left(P_i \nu_i\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_e \left(P_e \nu_e\right) \right] }_{\begin{array}{c} \text{Net rate of} \\ \text{energy transport} \\ \text{by work} \end{array}} + \underbrace{ \dot{Q}_{\text{net, in}} }_{\begin{array}{c} \text{Net rate of} \\ \text{energy transport} \\ \text{by heat transfer} \end{array}} + \underbrace{ \left[ \sum_{\text{in}} \dot{m}_i e_i - \sum_{\text{out}} \dot{m}_e e_e \right] }_{\begin{array}{c} \text{Net rate of} \\ \text{energy transport} \\ \text{by mass flow} \end{array}} \nonumber \]

Хоча цей результат цілком прийнятний, нам буде вигідним об'єднати всі терміни, які передбачають масовий потік, перш ніж написати остаточне рівняння.

Енергія, ентальпія та умови масової витрати

Якщо згрупувати терміни масового потоку разом, ми маємо наступне:\[\frac{d E_{\text {sys}}}{dt} = \dot{W}_{\text {non-flow, net in}} + \dot{Q}_{\text {net, in}} + \underbrace{\left[\sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} \left(e_{i}+P_{i} v_{i}\right) - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \left(e_{e}+P_{e} v_{e}\right) \right]}_{\text{Mass flow terms}} \nonumber \] Для багатьох проблем ми виявляємо, що існує лише три типи енергії, які важливо враховувати - внутрішня енергія, поступальна кінетична енергія та гравітаційна потенційна енергія. Записуючи це з точки зору питомої енергії, ми маємо,\[e = \frac{E}{m} = u + e_{K} + e_{G} = u+\frac{V^{2}}{2}+g z \nonumber \] де\(u\) питома внутрішня енергія,\(V^{2} / 2\) є питомою поступальною кінетичною енергією, і\(g z\) є питомою гравітаційною потенційною енергією.

Якщо ми зараз підставимо це назад у терміни масового потоку, ми можемо перегрупувати терміни як\[\begin{array}{l} \dot{m}(e+P \upsilon) &= \dot{m} \left[\left(u+\dfrac{V^{2}}{2}+g z\right)+P \upsilon\right] \\ &= \dot{m} \left[(u+P \upsilon)+\dfrac{V^{2}}{2}+g z\right] \end{array} \nonumber \] Оскільки група термінів\(u+P \upsilon\) завжди відображається разом у енергетичному балансі, корисно дати їм ім'я. Для цього ми визначаємо нову велику властивість під назвою ентальпія (вимовляється en-thal'-py), яка визначається як сума внутрішньої енергії та добуток тиску та\[H=U+P V \nonumber \] об'єму: Питома ентальпія визначається аналогічно наступним чином:\[h=\frac{H}{m}=u+P \upsilon \nonumber \] Як ви могли б припустити, одиниці для ентальпії такі ж, як для енергія,\(\mathrm{kJ}\)\(\mathrm{Btu}\) або\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\), і одиниці для конкретної ентальпії такі ж, як для конкретної внутрішньої енергії,\(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}\)\(\mathrm{Btu} / \mathrm{lbm}\) або\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm}\).

Використовуючи ці результати, терміни масової витрати можна записати більш стисло наступним чином з точки зору питомої ентальпії, питомої кінетичної енергії та питомої гравітаційної потенційної енергії:\[\dot{m} \left[(u+P \upsilon) + \frac{V^{2}}{2}+g z\right]=\dot{m}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+g z\right) \nonumber \]

Швидка форма збереження енергії

Тепер ми готові написати швидкість рівняння збереження енергії в тому вигляді, який ми вважаємо найбільш корисним:\[\frac{d E_{\text {sys}}}{d t} = \dot{W}_{\text {net, in}} + \dot{Q}_{\text {net, in}} + \left[\sum_{\text {in}} \dot{m}_{i}\left(h_{i}+\frac{V_{i}^{2}}{2}+g z_{i}\right) - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \left(h_{e} + \frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right)\right] \nonumber \] де термін потужності виключає лише потужність потоку, яка включена в терміни масової витрати. Це найзагальніша форма рівняння збереження енергії, яку ми будемо використовувати і є місцем для початку всіх проблем, пов'язаних з енергією. Зауважте, що ми зробили деякі важливі припущення щодо типів енергії, які можуть передаватися з масою; однак досвід показує, що їх достатньо для більшості проблем. Також визнайте, що для закритої системи масові витрати дорівнюють нулю, а термін в дужках зникає.

---

Збереження енергії та принцип «робота-енергія»

Збереження енергії та принцип робота-енергія для частинки

Принцип робота-енергія для частинки надає ту ж інформацію, що і запис збереження лінійного імпульсу для частинки. При розробці принципу «робота-енергія» для частинки ми розглядали частинку, що рухається в гравітаційному полі під дією чистої поверхневої сили\(\mathbf{R}\). Після ряду чітко визначених математичних операцій ми отримали принцип робота-енергія для частинки:

\[\begin{aligned} \text { Rate form: } &\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \left( \underbrace{\mathrm{m} \frac{\mathrm{V}^{2}}{2}}_{\begin{array}{c} \text { Kinetic } \\ \text { energy } \end{array}} + \underbrace{mgz}_{\begin{array}{c} \text {Gravitational} \\ \text {potential} \\ \text {energy} \end{array}} \right) = \underbrace{\mathbf{R} \cdot \mathbf{V}}_{\begin{array}{c} \text {mechanical} \\ \text {power into} \\ \text {the system} \end{array}} \quad\quad \text{ or } \quad\quad \boxed{ \frac{d}{dt} \left(E_K + E_G\right) = \dot{W}_{\text{mech, in}} } \\ \text{ Finite-time form:} &\quad \Delta\left(m \frac{V^{2}}{2}\right) + \Delta(mgz) = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \mathbf{R} \cdot \mathbf{V} \ dt = \int\limits_{1}^{2} \mathbf{R} \cdot d \mathbf{s} \quad\quad \text { or } \quad\quad \boxed{ \Delta E_K + \Delta E_G = W_{\text{mech, in}} } \end{aligned} \nonumber \]

Принцип робота-енергія стверджує, що механічна робота, виконана чистими поверхневими силами на частинку, дорівнює зміні кінетичної енергії та гравітаційної потенційної енергії частинки. Записуючи збереження енергії для частинки, отримаємо наступне:\[ \begin{aligned} \text { Rate form: } &\quad \frac{d}{dt} \left(U_{\text {sys}} + E_{K, \text { sys}} + E_{G, \text { sys}}\right) = \dot{Q}_{\text {net, in}} + \dot{W}_{\text {net, in}} \\[4pt] \text { Finite-time form: } &\quad \Delta U_{\text {sys}} + \Delta E_{K, \text { sys}} + \Delta E_{G, \text { sys}} = Q_{\text {net, in}} + W_{\text {net, in}} \end{aligned} \nonumber \] Досліджуючи два набори рівнянь, ми бачимо, що збереження рівняння енергії зводиться до принципу робота-енергія для частинки при двох різних умовах:

• Умова (1): Швидкість зміни внутрішньої енергії частинки дорівнює чистої швидкості транспортування енергії в частку тепловіддачею,\(d U_{\text {sys}} / dt = Q_{\text {net, in}}\)
• Умова (2): Внутрішня енергія частинки постійна\(du_{\text {sys}} / dt = 0\), а частка адіабатична,\(\dot{Q}_{\text {net, in}}=0\).

Щоб визначити, чи задовольняється умова (1), потрібна інформація про матеріальну речовину, що входить до складу частинки. Як правило, умова (2) задовольняється в умовах без навмисної передачі тепла і ніякого способу розсіювання механічної енергії - тобто без тертя - всередині системи.

Збереження енергії та принцип робота-енергія для системи частинок

Якби у нас була система, яка\(n\) містила частинки, і ми застосували принцип роботи та енергії для частинки окремо до кожної частинки, ми мали б для\(n\) частинки,\(i\)\[\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ i} + E_{G, \ i}\right)=\mathbf{R}_{i} \cdot \mathbf{V}_{i} \nonumber \] якби ми підсумували це рівняння над частинками в нашій системі, ми отримали б наступне:

\[ \begin{gathered} \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{d}{dt} \left( E_{K, \ i} + E_{G, \ i} \right) \right] = \frac{d}{dt} \underbrace{ \left[ \sum_{i=1}^{n} \left(E_{K, \ i} + E_{G, \ i}\right) \right] }_{E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}} = \sum_{i=1}^{n} \underbrace{ \left[\mathbf{R}_i \cdot \mathbf{V}_i\right] }_{\dot{W}_{mech, \ in, \ i}} \\[4pt] \boxed{\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}\right) = \sum_{i=1}^{n} \dot{W}_{mech, \ in, \ i}} \\[4pt] \text{where } \sum_{i=1}^{n} \dot{W}_{mech, \ in, i} \neq \underbrace{ \left( \sum_{i=1}^{n} \mathbf{R}_i \right) }_{\begin{array}{c} \text{Net surface force} \\ \text{acting on the} \\ \text{system of particles} \end{array}} \cdot \underbrace{ \left( \frac{1}{m_{sys}} \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{V}_i \right) }_{\begin{array}{c} \text{Velocity of the center of mass} \\ \text{of the system of particles} \end{array}} \end{gathered} \nonumber \]\

Коробкове рівняння є принципом робота-енергія для системи частинок. Це схоже на початковий принцип роботи-енергія для частинки; однак термін механічної потужності праворуч - це підсумовування механічної роботи, виконаної поверхневими силами на кожній частинці. Вона не дорівнює точковому добутку чистої поверхневої сили на систему частинок і швидкості центру мас системи. Це суттєва різниця і невизнання цього може призвести до серйозного неправильного використання принципу «робота-енергія».

Якщо зараз написати рівняння збереження енергії для замкнутої системи частинок і припустити, що важливі лише кінетичний, гравітаційний потенціал і внутрішні енергії, то маємо наступне:\[\begin{gathered} \frac{dE_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{net, \ in} + \dot{W}_{net, \ in} + \cancel{ \sum_{in} \dot{m_i} \left(h_i + \frac{V_{i}^{2}}{2} + gz_{i} \right) - \sum_{in} \dot{m_e} \left(h_e + \frac{V_{e}^{2}}{2} + gz_{e}\right) }^{=0} \\[4pt] \boxed{ \frac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}\right) = \dot{Q}_{net, \ in} + \dot{W}_{net, \ in} } \end{gathered} \nonumber \]

Тепер, якщо відняти принцип робота-енергія для системи частинок з принципу збереження енергії для системи частинок, ми маємо наступне:

\[ \begin{gathered} \left[ \frac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}\right) = \dot{Q}_{net, \ in} + \dot{W}_{net, \ in} \right] - \left[ \frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}\right) = \sum_{i=1}^{n} \dot{W}_{mech, \ in, \ i} \right] = \\[4pt] \underbrace{\frac{dU_{sys}}{dt}}_{\begin{array}{c} \text{Time rate of change} \\ \text{of the internal energy} \\ \text{within our system} \end{array}} = \underbrace{\dot{Q}_{net, \ in}}_{\begin{array}{c} \text{Heat transfer rate} \\ \text{for the system} \end{array}} + \underbrace{\dot{W}_{net, \ in}}_{\begin{array}{c} \text{Rate that work} \\ \text{is done by surface} \\ \text{forces acting on the} \\ \text{boundary of our system} \end{array}} - \underbrace{\sum_{i=1}^{n} \dot{W}_{mech, \ in, \ i}}_{\begin{array}{c} \text{Rate that work} \\ \text{is done by surface} \\ \text{forces acting on each} \\ \text{particle inside our system} \end{array}} \end{gathered} \nonumber \]

Як і у випадку з однією частинкою, чиста робота, виконана на нашій системі частинок поверхневими силами, що діють на межу системи, дорівнює сумі механічної роботи, виконаної поверхневими силами, що діють на кожну з частинок за двох умов:

• Умова (1): Швидкість зміни внутрішньої енергії системи частинок дорівнює чистої швидкості транспортування енергії в систему частинок шляхом теплопередачі\(dU_{\mathrm{sys}} / dt=\dot{Q}_{\text {net, in}}\), або
• Умова (2): Внутрішня енергія системи частинок постійна\(dU_{\text {sys}} / dt=0\), а частка адіабатична,\(\dot{Q}_{\text {net, in}}=0\).

Для перевірки стану (1) потрібні додаткові знання про матеріальну речовину частинок. Як правило, умова (2) виникає, коли замкнута система частинок має три характеристики: (1) кожна частинка в системі є нестисливою, (2) немає цілеспрямованого теплообміну, і (3) немає тертя будь-якого виду всередині системи, наприклад, частинки можуть лише пружно деформуватися і немає тертя між частинками. Тертя на межі системи не забороняється, проте тертя всередині системи бути не може.

Підрахунок механічної енергії для замкнутої системи

Починаючи зі швидкістю форми збереження енергії для замкнутої системи,\[\frac{dE_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{net, \ in} + \dot{W}_{net, \ in} \nonumber \] Розширюючи енергію системи і ідентифікуючи механічні форми енергії, ми отримуємо\[\frac{d}{dt} \left( U + \underbrace{E_{k}+E_{G}+E_{spring}}_{\text{mechanical}} \right) = \dot{Q}_{\text {net, \ in}} + \dot{W}_{\text {net, \ in}} \nonumber \] Оскільки, механічні форми мають великі властивості, ми можемо переставити це рівняння в світлі принципу обліку для механічна енергія:

\[ \frac{d}{dt} \underbrace{ \left(E_{k}+E_{G}+E_{spring}\right) }_{\begin{array}{c} \text{Rate of change of the} \\ \text{mechanical energy in} \\ \text{the system} \end{array}} = \underbrace{ \dot{W}_{net, \ in} }_{\begin{array}{c} \text{Transport rate} \\ \text{of energy} \\ \text{by work} \end{array}} + \underbrace{ \left[ \dot{Q}_{net, \ in} - \frac{dU}{dt} \right] }_{\begin{array}{c} \text{Rate of production} \\ \text{of mechanical energy} \\ \text{within the system} \end{array}} \nonumber \]

Ліву сторону тепер можна трактувати як швидкість зміни механічної енергії в системі. Права частина містить два терміни: чиста швидкість транспортування енергії в систему і швидкість вироблення механічної енергії всередині системи. Це не порушує загального принципу збереження енергії, оскільки ми рахуємо лише одну форму енергії.

Досвід показав, що термін в дужках з правого боку, термін виробництва, може бути як позитивним, так і негативним. Цей термін однаково дорівнює нулю, якщо наша замкнута система (1) складається з нестисливих речовин, (2) працює без навмисного теплообміну, і (3) не має внутрішнього тертя до нашої системи, і ми маємо механічний енергетичний баланс для замкнутої системи:\[\boxed{ \frac{d}{dt} \left(E_{k}+E_{G}+E_{spring}\right)=\dot{W}_{net, \ in} } \nonumber \]

Якщо дозволити внутрішнє тертя, механічна енергія може бути зруйнована, і можна показати, що швидкість вироблення механічної енергії завжди менше або дорівнює нулю. Це означає, що внутрішнє тертя завжди призводить до руйнування механічної енергії.