7.1: Механіка та механічний енергетичний баланс

Історично склалося так, що загальний принцип збереження енергії був одним з останніх принципів, визначених науковим співтовариством. Однак обмежені форми принципу були виведені раніше з інших основоположних принципів. Одним з найбільш корисних з них є механічний енергетичний баланс. У цьому розділі ми продемонструємо, як цей баланс можна розвинути зі збереження лінійного імпульсу. Попутно ми представимо кілька нових концепцій - таких як механічна робота, механічна сила та механічна енергія, які кореняться у вивченні механіки.

7.1.1 Механічна робота та механічна потужність

На початку нашого дослідження збереження лінійного імпульсу ми розглянули різні способи запису часової швидкості зміни лінійного імпульсу для частинки:\[\frac{d}{d t}(m V) = m \frac{d V}{d t} = m \left(\frac{d V}{d x}\right) \left(\frac{d x}{d t}\right) = m\left[V \frac{d V}{d x}\right] \nonumber \] Мотивацією цієї вправи була необхідність інтеграції лінійного рівняння імпульсу, коли інформація подавалася лише як функція лише позиції. \(x\). Це ж занепокоєння змушує нас розглядати інтеграл сили з позицією.

Механічна робота

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Поверхнева сила, що діє на межі системи.

Механічна робота, виконана поверхневою силою, що\(\mathbf{F}\) діє на межу системи (див. Рис.\(\PageIndex{1}\)),\(d \mathbf{s}\) є інтегралом,\[W_{\text {mech}} \equiv \int\limits_{\mathbf{s}_{1}}^{\mathbf{s}_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} = \int\limits_{1}^{2} \delta W_{\text {mech}} \quad \text { where } \delta W_{\text {mech}} \equiv \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} \nonumber \] де - вектор диференціального зміщення точки прикладання сили на межу\(\mathbf{s}_{1}\) і\(\mathbf{s}_{2}\), відповідно, є початкове і кінцеве положення кордону.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Оцінка диференціальної механічної роботи,\(\delta W_{\text {mech}}\).

Щоб краще зрозуміти цей інтеграл, корисно вивчити диференціальний обсяг роботи\(\delta W_{\text {mech}}\). Щоб допомогти, на малюнку\(\PageIndex{2}\) показано як зусилля, так\(\mathbf{F}\) і зміщення\(d \mathbf{s}\). Зверніть увагу, що сила\(\mathbf{F}\) може бути розкладена на дві складові:\(\mathbf{F}_{\perp}\) нормаль до\(d \mathbf{s}\) і\(\mathbf{F}_{\text {tan}}\) дотична до\(d \mathbf{s}\). Використовуючи визначення точкового добутку між двома векторами, ми маємо наступний результат для\(\delta W_{\text {mech}}\):

\[ \begin{align} \delta W_{\text{mech}} &= \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} = |\mathbf{F}| |d \mathbf{s}| \cos \theta = F \cdot ds \cdot \cos \theta \nonumber \\[4pt] &= F \cdot \underbrace{ \left[ ds \cdot \cos \theta \right] }_{\begin{array}{c} \text{Component of displacement} \\ \text{that is parallel to the } \\ \text{force's line of action} \end{array}} = \underbrace{ \left[ F \cdot \cos \theta \right] }_{\begin{array}{c} \mathbf{F}_{\text{tan }} = \text{ Component of the force} \\ \text{that is parallel to the} \\ \text{displacement's line of action} \end{array}} \end{align} \nonumber \]

Від ур. \(\PageIndex{2}\)вище ми бачимо, що існує дві різні інтерпретації для диференціального обсягу роботи. \(\delta W_{\text {mech}}\)може інтерпретуватися як (1) твір сили та складової переміщення, яка паралельна силі або (2) добуток зміщення та складова сили, яка паралельна зміщенню.

Кілька додаткових моментів про механічну роботу можна виявити при уважному розгляді інтеграла, Eq. \(\PageIndex{1}\):

• Механічна робота - це скалярна величина; однак, це знакова величина, оскільки точковий добуток\(\mathbf{F} \cdot d \mathbf{s}\) може бути позитивним або негативним залежно від кута\(\theta\) між векторами (Див. Рисунок\(\PageIndex{2}\))
• Розміри механічної роботи становлять\([\text{Force}] [\text{L}]\) або\([\text{M}] [\text{L}]^{2} [\text{T}]^{-2}\)
• Агрегати для роботи знаходяться\(\text{N} \cdot \text{m}\) в СІ і\(\text{ft} \cdot \text{lbf}\) в системі УСК. Той факт, що один набір одиниць - довжина сили, а інший - довжина-сила, є довільним і, ймовірно, результатом того, що звучало добре для вуха.
• Інтегральна і, отже, механічна робота може бути оцінена лише в тому випадку, якщо знати кінцеві стани та шлях процесу, що з'єднує ці стани. Математично ви повинні знати\(\mathbf{F}\) як функцію положення,\(\mathbf{s}\) щоб оцінити інтеграл.
• Механічна робота для системи не може бути оцінена в конкретному стані або в конкретний час. Його можна оцінити лише для процесу — зміни стану. Механічна робота є прикладом функції шляху, оскільки її визначальний інтеграл, Eq. \(\PageIndex{1}\), може бути оцінений лише тоді, коли шлях процесу відомий. Це на відміну від, скажімо, проблеми пошуку зміни обсягу для того чи іншого процесу. Щоб знайти зміну обсягу системи, нам потрібно знати лише системний том у кожному кінцевому стані без урахування шляху процесу. Таким чином, обсяг, як і всі властивості системи, є функцією стану (або точки).

Перевірте своє розуміння - в чому робота?

(а)\(\mathbf{F}=F \mathbf{i} \quad\) і\(\quad \mathbf{s}=x \mathbf{i} + y \mathbf{j}\) де\(x=a t\) і\(y=b t\) від\(t_{1}\) до\(t_{2}\)\[\begin{aligned} W_{\text {mech}} &= \int\limits_{\mathbf{s}_{1}}^{\mathbf{s}_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} = \int\limits_{1}^{2}(F \mathbf{i}) \cdot (d x \mathbf{i}+d y \mathbf{j}) = \int\limits_{1}^{2} \left[ \underbrace{ (F \mathbf{i}) \cdot(d x \mathbf{i}) }_{\mathbf{i} \cdot \mathbf{i}=1} + \underbrace{ (F \mathbf{i}) \cdot(d y \mathbf{j}) }_{\mathbf{i} \cdot \mathbf{j}=0} \right] \\ &= \int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} F \ dx \quad \text { but } \quad dx =adt \\ &= \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}(F a) \ dt = F a\left(t_{2}-t_{1}\right) \end{aligned} \nonumber \] Зверніть увагу, що, незважаючи на те, що точка застосування рухається в\(\mathbf{j}\) напрямку, немає складової сили\(\mathbf{F}\) в цьому напрямку, і єдина робота виконується компонентом сили в\(\mathbf{i}\) напрямку.

(б)\(\mathbf{F}=F_{x} \mathbf{i}+F_{y} \mathbf{j} \quad\) і\(\quad \mathbf{s}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j} \quad\) від\(\mathbf{s}_{1}\) до\(\mathbf{s}_{2} \quad\) якщо\(y=x^{2}\)\[\begin{aligned} W_{\text {mech}} &= \int\limits_{\mathbf{s}_{1}}^{\mathbf{s}_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} = \int\limits_{1}^{2} \left(F_{x} \mathbf{i}+F_{y} \mathbf{j}\right) \cdot \left[ (dx)\mathbf{i} + (dy)\mathbf{j} \right] = \int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} \underbrace{ \left[ \left(F_{x} \cdot d x\right) + \left(F_{y} \cdot d y\right)\right] }_{\mathrm{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{i} =0 \text { and } \mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = 1} \\ &= \int\limits_{1}^{2} \left[\left(F_{x} \cdot d x\right) + \left(F_{y} \cdot \underbrace{d y}_{d y=2x \ dx}\right) \right] \\ &= \int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} \left[F_{x} + \left(2x \cdot F_{y}\right)\right] \ dx = F_{x}\left(x_{2}-x_{1}\right) + F_{y} \underbrace{ \left(x_{2}^{\ 2} - x_{1}^{\ 2}\right) }_{=\left(y_{2}-y_{1}\right)} \end{aligned} \nonumber \]

Механічна потужність

Швидкість часу, з якою поверхнева сила дійсно\(\mathbf{F}\) працює на системі, називається механічною силою і визначається рівнянням,\[\dot{W}_{\text {mech}} \equiv \mathbf{F} \cdot \mathbf{V} \nonumber \] де\(\mathbf{V}\) - швидкість точки прикладання сили\(\mathbf{F}\) на межі системи.

Інтегруючи механічну потужність щодо часу протягом скінченного часового інтервалу, ми можемо продемонструвати взаємозв'язок між механічною силою та механічною роботою:\[\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{W}_{\text {mech}} \ dt = \left\{ \begin{array}{l} \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} (\mathbf{F} \cdot \mathbf{V}) \ dt = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\mathbf{F} \cdot \frac{d \mathbf{s}}{d t}\right) \ dt = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \underbrace{\mathbf{F} \cdot d \mathbf{s}}_{\delta W_{\text{mech}}} = W_{\text {mech}} \\ \int\limits_{1}^{2} \delta W_{\text {mech}} = W_{\text {mech}} \quad \text { where } \quad \delta W_{\text {mech}}=\dot{W}_{\text {mech}} dt \end{array}\right. \nonumber \] Зверніть увагу, що інтеграл\(\delta W_{\text {mech}}\) не дорівнює\(\Delta W_{\text {mech}}\).

Слід зробити кілька додаткових моментів щодо механічної потужності і її відношення до механічної роботи:

• Механічна потужність, на відміну від механічної роботи, може бути оцінена в певний час, оскільки це миттєва швидкість, з якою виконується робота.
• Розміри для механічної потужності становлять\([\mathrm{Force}][\mathrm{L}] /[\mathrm{T}]\) або\([\mathrm{M}][\mathrm{L}]^{2}[\mathrm{T}]^{-3}\).
• Агрегати механічної потужності знаходяться\(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}\) в СІ і\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{s}\) або\(\mathrm{hp}\) (кінські сили) в УСК. (\(1 \mathrm{hp}=550 \mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{s}\), приблизно).

Перш ніж залишити обговорення механічної роботи та механічної потужності, зверніть увагу, що вони мають дуже точні визначення і можуть, надавши достатню інформацію, оцінюватися з їх визначальних рівнянь. Зараз ми досліджуємо, як наші знання механічної сили та роботи можуть допомогти нам вирішити деякі завдання механіки, використовуючи скаляри замість векторів.

7.1.2 Принцип роботи - енергія

Принцип робота-енергія є прямим зв'язком між збереженням лінійного імпульсу і механічним енергетичним балансом. Він розробляється тут спочатку для частинки, а потім розширюється, щоб включити систему частинок.

Принцип роботи та енергії для частинки

Розглянемо рух частинки маси\(m\) в гравітаційному полі. (Нагадаємо, що частка - це система з її масою, зосередженою в точці, яка може переноситися лише під час руху через простір, тобто її масовий момент інерції дорівнює нулю.) Як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\), вектор положення\(\mathbf{s}\) описує положення частинки. Єдині зовнішні сили, що діють на частинку, - це вага\(\mathbf{W}\) і сили чистої поверхні (або контакту)\(\mathbf{R}\). Зверніть увагу, що вектор сили тяжіння діє в напрямку негативної\(z\) -осі.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Рух частинки в гравітаційному полі..

Якщо ми застосуємо збереження лінійного імпульсу до частинки, яку ми маємо,\[\frac{d \mathbf{P}_{\mathrm{sys}}}{dt} = \mathbf{R}+\mathbf{W} \quad \rightarrow \quad m \frac{d \mathbf{V}_{G}}{dt} = \mathbf{R}+m \mathbf{g} \nonumber \] де ми визнали, що частка - це замкнута система, її лінійний імпульс є\(\mathbf{P}_{\text {sys}} = m \mathbf{V}_{G}\), а її вага -\(m \mathbf{g}\).

Тепер оцінимо механічну потужність, що подається на частку контактною силою\(\mathbf{R}\). Оскільки частинка є точкою, сила\(\mathbf{R}\) рухається зі швидкістю\(\mathbf{V}_{G}\) і механічна робота полягає\[\dot{W}_{\text {mech}} = \mathbf{R} \cdot \mathbf{V}_{G} \nonumber \] в усуненні поверхневої сили\(\mathbf{R}\), ми використовуємо результати збереження лінійного імпульсу, Eq. \(\PageIndex{5}\), наступним чином:\[\begin{array}{l} \dot{W}_{\text {mech}} &= \mathbf{R} \cdot \mathbf{V}_{G} = \left[m \dfrac{d \mathbf{V}_{G}}{dt} - m \mathbf{g}\right] \cdot \mathbf{V}_{G} \\ &= \underbrace{m \dfrac{d \mathbf{V}_{G}}{d t} \cdot \mathbf{V}_{G} }_{\text {Inertia term}} - \underbrace{m \mathbf{g} \cdot \mathbf{V}_{G}}_{\text {Gravitation Term}} \end{array} \nonumber \] Ми визначили «термін інерції» та «термін тяжіння» на правій стороні Eq. \(\PageIndex{7}\). Перш ніж продовжувати, нам потрібно дослідити ці два терміни.

Термін інерції в еквалайзерах. \(\PageIndex{7}\)точковий добуток швидкості частинки зі швидкістю зміни лінійного імпульсу частинки. Починаючи з терміна інерції і виконуючи точковий добуток, ми маємо

\[\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} \text {Inertia} \\ \text {term} \end{array}\right] &= m \dfrac{d \mathbf{V}_{G}}{d t} \cdot \mathbf{V}_{G}=\dfrac{m}{2} \dfrac{d}{dt} \left(\mathbf{V}_{G} \cdot \mathbf{V}_{G}\right) \\ &= \dfrac{m}{2} \dfrac{d}{dt} \left(V_{G}{ }^{2}\right) = \dfrac{d}{dt} \left(m \dfrac{V_{G}{ }^{2}}{2}\right) = \dfrac{d E_{K}}{dt} \\ \text { where } E_{K} & \equiv m \dfrac{V_{G}{ }^{2}}{2}=\text { the kinetic energy of a particle } \end{array} \nonumber \]

Таким чином, термін інерції - це просто звичайна похідна скалярної величини, яку ми зазвичай називаємо кінетичною енергією частинки. Оскільки кінетична енергія залежить тільки від властивостей системи, а також залежить від маси системи, кінетична енергія є великою властивістю.

Точно так само ми можемо масажувати термін гравітації. Для цього ми повернемося до Figure\(\PageIndex{3}\) і спочатку запишемо термін швидкості та ваги, використовуючи вектори одиниці\(\mathbf{i}\)\(\mathbf{j}\), і\(\mathbf{k}\). Потім виконуємо точковий добуток наступним чином:\[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \text {Gravitation} \\ \text { term } \end{array}\right] &= m \mathbf{g} \cdot \mathbf{V}_{G} = m(-g \mathbf{k}) \cdot \left(V_{G, \ x} \mathbf{i} + V_{G, \ y} \mathbf{j} + V_{G, \ z} \mathbf{k}\right) \\ &= -mg \left[ V_{G, \ x} \underbrace{ \left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \right) }_{=0} + V_{G, \ y} \underbrace{ \left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{j}\right) }_{=0} + V_{G, \ z} \underbrace{ \left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{k}\right)}_{=1} \right] \\ &= -mg V_{G, \ z} = -mg\left(\dfrac{dz}{dt}\right) \quad \text { because } V_{G, \ z}=\dfrac{dz}{dt} \\ &= -\dfrac{d}{dt}(m g z) = -\dfrac{d E_{GP}}{dt} \\ \text{where } E_{G P} & \equiv m g z= \text{the gravitational potential energy of a particle.} \end{array} \nonumber \]

Таким чином, термін інерції пропорційний звичайній похідній іншого скаляра, який зазвичай називають гравітаційною потенційною енергією частинки. Часто це скорочується до «потенційної енергії». Виходячи з аргументу, аналогічного для кінетичної енергії, гравітаційна потенційна енергія є великою властивістю.

Використовуючи ці нові енергетичні терміни, ми можемо переписати рівняння механічної потужності, що подається частинці контактною силою\(\mathbf{R}\), Eq. \(\PageIndex{7}\), наступним чином:

\[\begin{align} \dot{W}_{\text {mech}} = \mathbf{R} \cdot \mathbf{V}_{G} &= \underbrace{ m \frac{d \mathbf{V}_{G}}{d t} \cdot \mathbf{V}_{G} }_{\text{Inertia term}} - \underbrace{ m \mathbf{g} \cdot \mathbf{V}_{G} }_{\text{Gravitational term}} \nonumber \\ &=\left[\dfrac{d}{dt} \left(m \dfrac{V_{G}^{2}}{2}\right)\right] - \left[-\dfrac{d}{dt}(m g z)\right] \\[4pt] \dot{W}_{\text {mech}} &= \dfrac{d E_{K}}{dt} + \dfrac{d E_{G P}}{dt} \nonumber \end{align} \nonumber \]

Це швидкісна форма принципу робота-енергія для частинки. Це дуже потужне і корисне рівняння при правильному застосуванні. У словах це рівняння говорить:

Механічна потужність, що подається чистими поверхневими силами частинці, що рухається в гравітаційному полі, дорівнює часовій швидкості зміни кінетичної енергії та енергії гравітаційного потенціалу частинки.

Часто корисна форма скінченного часу. Щоб отримати цю форму, ми інтегруємо обидві сторони Eq. \(\PageIndex{10}\)протягом скінченного часового інтервалу наступним чином:\[\begin{align} \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{\mathbf{W}}_{\text {mech}} \ dt &= \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \left[\frac{d E_{K}}{dt} + \frac{d E_{G P}}{dt}\right] \ dt \nonumber \\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta W_{\text {mech}} &= \int\limits_{1}^{2} d E_{K} + \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} d E_{G P} \\ W_{\text {mech}} &= \underbrace{ \left(E_{K, \ 2}-E_{K, \ 1}\right) }_{=\Delta E_{K}} +\underbrace{ \left(E_{GP, \ 2}-E_{GP, \ 1}\right)}_{=\Delta E_{GP}} \nonumber \end{align} \nonumber \]

Це рівняння є скінченно-часовою формою принципу робота-енергія для частинки. На словах це рівняння говорить

Механічна робота, виконана чистими поверхневими силами над частинкою, що рухається в гравітаційному полі, дорівнює зміні кінетичної енергії та гравітаційної потенційної енергії частинки.

Зверніть увагу, як обидва ці рівняння включають лише скалярні члени, порівняно зі збереженням лінійного рівняння імпульсу, з якого ми почали. Перш ніж продовжити, давайте резюмуємо кроки, які ми використовували для виведення принципу «робота-енергія»:

• Ми написали швидкісну форму збереження лінійного імпульсу для частинки, що рухається в гравітаційному полі, і розділили зовнішні сили на дві групи: силу тяжіння (сила тіла) і поверхневі сили.
• Ми написали механічну потужність, що подається поверхневими силами до частинки.
• Результати збереження лінійного імпульсу використані для заміни терміна поверхневої сили у вираженні механічної сили.
• Оцінили умови інерції та гравітації (точки добутку) окремо та виділили дві нові екстенсивні властивості — кінетичну енергію та гравітаційну потенційну енергію.
• Нарешті, ми переписали рівняння механічної потужності через часову швидкість зміни кінетичної та гравітаційної потенційної енергії частинки.

Зауважте, що це було фактично виведенням, починаючи зі збереження лінійного імпульсу. Через це принцип робота-енергія не вносить нічого нового в наш аналіз над тим, що ми дізнаємося, застосовуючи збереження лінійного імпульсу. Однак її скалярна природа часто робить його корисною альтернативою збереженню лінійного імпульсу, який за своєю природою є векторним зв'язком.

Принцип роботи та енергії для системи частинок

Оскільки наше виведення принципу робота-енергія було лише для однієї частинки, можна запитати, чи застосовується він до систем, що складаються з декількох частинок. Щоб дослідити це питання, розглянемо наступний приклад двох блоків, що ковзають по площині.

Приклад — Застосування принципу «робота-енергія» до двочастинкової системи

Розглянемо систему, що складається з двох блоків, блоків\(A\) і\(B\), укладеної спочатку так, як показано на малюнку. Блок\(A\) спирається на блок\(B\). Поверхня контакту між\(A\) і\(B\) шорстка, з кінетичним коефіцієнтом тертя\(\mu_{\mathrm{k}}\) і статичним коефіцієнтом тертя\(\mu_{\mathrm{s}}\). Блок\(B\) спирається на гладку горизонтальну поверхню і вільно ковзає по поверхні без тертя. \(\mathbf{F}\)Сила раптово прикладається до блоку,\(A\) і обидва блоки починають рухатися.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Система, що складається з двох блоків, скріплених між собою тертям.

Для вивчення обмежень принципу робота-енергія визначають швидкість зміни кінетичної енергії блоків після\(\mathbf{F}\) прикладання сили. Порівняйте результати за допомогою двох одночастинкових систем і за допомогою комбінованої системи, яка включає обидві частинки.

Щоб скористатися принципом робота-енергія, ми повинні спочатку чітко визначити всі зовнішні сили, що діють на систему. Це робиться нижче для системи\(A B\)\(A\), системи та системи\(B\).

Системні\(AB\)

Системні\(A\)

Системні\(B\)

Рисунок\(\PageIndex{5}\): Діаграми вільного тіла для систем\(AB\), що складаються з блоків,\(A\) лише з блоку та\(B\) лише з блоків.

Для системи\(A\) принцип робота-енергія може бути записаний як\[\begin{aligned} \frac{d}{dt} \left(E_{K}+E_{G P}\right)_{A} &= \dot{W}_{\text {mech}} \\ \frac{d E_{K, \ A}}{dt} + \underbrace{ \cancel{ \frac{d E_{GP, \ A}}{dt} }^{=0} }_{\text {No change in elevation}} &= \left(\mathbf{F} \cdot \mathbf{V}_A\right) + \underbrace{ \cancel{ \left(\mathbf{F}_{NA} \cdot \mathbf{V}_A\right) }^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Force and velocity} \\ \text{are perpendicular} \end{array}} + \underbrace{ \left(\mathbf{F}_f \cdot \mathbf{V}_A\right) }_{\text{Friction}} \\ \frac{dE_{K, \ A}}{dt} &= \left(F \cdot V_A\right) + \underbrace{ \left(-F_f \cdot V_A\right) }_{\begin{array}{c} \text{Friction force opposes} \\ \text{motion with velocity } V_A \end{array}} \quad \rightarrow \quad \boxed{ \frac{d}{dt} \left(m_A \frac{V_A ^{\ 2}}{2} \right) = \left( F - F_f \right) \cdot V_A } * \end{aligned} \nonumber \]

Зверніть увагу\(B\), як для системи принцип робота-енергія може бути записаний як\[\begin{aligned} \frac{d}{dt} \left(E_K + E_{GP}\right)_B &= \dot{W}_{\text{mech}} \\ \frac{d E_{K, \ B}}{dt} + \underbrace{ \cancel{\frac{d E_{GP, \ B}}{dt}}^{=0} }_{\text{No change in elevation}} &= \underbrace{ \cancel{ \left(\mathbf{F}_N \cdot \mathbf{V}_B\right) }^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Force and velocity} \\ \text{are perpendicular} \end{array}} + \underbrace{ \cancel{ \left(\mathbf{F}_{NA} \cdot \mathbf{V}_B\right) }^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Force and velocity} \\ \text{are perpendicular} \end{array}} + \underbrace{ \left(\mathbf{F}_f \cdot \mathbf{V}_B\right) }_{\text{Friction}} \\ \frac{d E_{K, \ B}}{dt} &= \left(F_f \cdot V_B\right) \quad \rightarrow \quad \boxed{ \frac{d}{dt} \left( m_B \frac{V_B ^{\ 2}}{2} \right) = \left(F_f \cdot V_B\right) } ** \end{aligned} \nonumber \]

де швидкість, яка використовується при розрахунку механічної потужності, повинна бути швидкістю блоку,\(B\) заснованої на нашому виведенні принципу робота-енергія для частинки.

Тепер додаючи ці два рівняння разом, ми маємо\[ \begin{aligned} \left. \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt} \left(m_{A} \dfrac{V_{A}{ }^{2}}{2}\right) = \left(F-F_{f}\right) \cdot V_{A} \\ + \\ \dfrac{d}{dt} \left(m_B \dfrac{V_{B}{ }^{2}}{2} \right) = F_f \cdot V_B \end{array} \right\} \quad \rightarrow \quad & \frac{d}{dt} \left(m_A \frac{V_{A}{ }^{2}}{2}\right) + \frac{d}{dt} \left(m_B \frac{V_{B}{ }^{2}}{2} \right) = \left(F-F_f\right) \cdot V_A + F_f \cdot V_B \\ & \boxed{ \ \underbrace{ \frac{d}{dt} \left(m_A \frac{V_{A}{ }^{2}}{2}\right) + \frac{d}{dt} \left(m_B \frac{V_{B}{ }^{2}}{2}\right) }_{\begin{array}{c} \text{Rate of change of the kinetic energy} \\ \text{of blocks } A \text{ and } B \end{array}} = F \cdot V_A - \left(F_f\right) \cdot \left(V_A - V_B\right) \ }*** \end{aligned} \nonumber \]

Для системи\(A B\) єдиними контактними силами є нормальна сила\(\mathbf{F}_{N}\), що чиниться землею на блок\(B\), і горизонтальна сила\(\mathbf{F}\), прикладена до блоку\(A\). Припускаючи, що справедливо записати принцип роботи енергії для двох частинок як єдину систему, пишемо

\[\begin{aligned} \frac{d \left(E_{K}+E_{G P}\right)_{sys}}{dt} &= \dot{W}_{\text {mech}} \\ \frac{d}{dt} \left[ \left(E_{K}+E_{GP}\right)_{A} + \left(E_{K}+E_{GP}\right)_{B} \right] &= \left(\mathbf{F} \cdot \mathbf{V}_{A}\right) + \underbrace{ \cancel{ \left(\mathbf{F}_{B} \cdot V_{B}\right) }^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Force normal} \\ \text{to velocity} \end{array}} \\ \frac{d E_{K, \ A}}{dt} + \cancel{ \frac{d E_{GP, \ A}}{dt} }^{=0} + \frac{d E_{K, \ B}}{dt} + \cancel{ \frac{d E_{GP, \ B}}{dt} }^{=0} &= F \cdot V_{A} \quad \rightarrow \quad \boxed{ \frac{d}{dt} \left(m_{A} \frac{V_{A}{ }^{2}}{2}\right) + \frac{d}{dt}\left(m_{B} \frac{V_{B}{ }^{2}}{2}\right) = F \cdot V_{A} } * * * * \end{aligned} \nonumber \]

Якщо принцип робота-енергія застосовується до систем з двома частинками, то Eq. \({***}\)і Еквалайзер. \(^{* * * *}\)повинні дати нам таку ж інформацію. За яких умов ці два рівняння ідентичні?

Умова 1: Сила тертя дорівнює нулю.

Умова 2: Відсутня відносна швидкість між частинками, тобто\(V_{A}=V_{B}\). Таким чином, здавалося б, принцип робота-енергія точно описує поведінку системи з декількома частинками лише за обмеженого набору умов.

Таким чином, здавалося б, принцип робота-енергія точно описує поведінку системи з декількома частинками лише за обмеженого набору умов.

На щастя, досвід, подібний до наведеного вище, дозволяє встановити загальні вказівки щодо використання принципу «робота-енергія»:

Принцип робота-енергія може бути застосований до будь-якої замкнутої системи, якщо (1) система може бути змодельована як сукупність частинок, тобто момент інерції кожної підсистеми незначний, і (2) всередині системи немає тертя.

Як ми коротко покажемо, ці обмеження пов'язані з тим, що принцип робота-енергія є обмеженим застосуванням загального принципу збереження енергії. Тепер перейдемо до застосування принципу «робота-енергія»:

Приклад — Переміщення ящиків

Дві коробки спираються на окремі похилі площини і з'єднані шківом, як показано на малюнку. Маса кожного ящика -\(12 \mathrm{~kg}\) і ящики спираються на поверхні без тертя. Якщо система звільняється від спокою, визначте величину швидкості ваг, коли вони перемістилися на відстань\(L=1 \mathrm{~m}\) по площинам.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Шків на перетині двох похилих площин підтримує струну, з'єднану з коробками на кожній площині.

Рішення

Відомо: Дві коробки, з'єднані шківом і тросом, ковзають по похилих поверхнях.

Знайти: Швидкість ящиків, коли вони пройшли відстань\(1 \mathrm{~m}\) уздовж площин.

Дано: Див. Малюнок вище.

Стратегія\(\rightarrow\) Є принаймні три можливі способи спроби цієї проблеми. Одним з них є застосування збереження лінійного імпульсу. Друга - застосувати збереження моменту моменту. Третя - спробувати принцип «робота-енергія». (Це, насправді, просто альтернативний спосіб застосувати збереження лінійного імпульсу.)

Система\(\rightarrow\) Обидва блоки, шків, трос, і опора шківа.
Властивість рахувати\(\rightarrow\) Спробуємо механічну енергію, тобто принцип робота-енергія.
Часовий інтервал\(\rightarrow\) Почніть з скінченно-часової форми, оскільки ми маємо скінченне зміщення.

Спочатку слід намалювати діаграму вільного тіла та визначити всі зовнішні сили, що діють на нашу систему. Якщо ви уважно подивитеся, ви побачите ваги двох ящиків, нормальні сили на двох коробках, дві сили, де ми розрізаємо опору шківа, і вага шківа і його опори. (Подивіться на малюнок і знайдіть кожен з них.) Ви також побачите позитивну\(z\) координату, яка вказує протилежну напрямку сили тяжіння.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Вільна схема системи, що складається з коробок, їх з'єднувального троса, і шківа троса обвивається навколо.

Тепер, щоб застосувати принцип роботи-енергії до цієї системи, ми повинні моделювати замкнуту систему як сукупність частинок без внутрішнього тертя.

\[ \begin{align*} \Delta \left(E_K + E_{GP}\right)_{sys} &= W_{\text{mech}} \\ \Delta E_K + \Delta E_{GP} &= \underbrace{ \cancel{ W_{\text{mech}} }^{=0} }_{\begin{array}{c} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}=0 \text{ for all} \\ \text{contact forces} \end{array}} \\ \Delta \left(m_A \dfrac{V_{A}{ }^{2}}{2} + m_B \frac{V_{B}{ }^{2}}{2}\right) + \Delta \left(m_A gz_A + m_B gz_B\right) &= 0 \\ \underbrace{ \left(m_A \frac{V_{A}{ }^{2}}{2} + m_B \frac{V_{B}{ }^{2}}{2}\right)_2 }_{\begin{array}{c} V_A=V_B=V \text{ since connected} \\ \text{by inextensible cable} \end{array}} + \left(m_A gz_A + m_B gz_B\right)_2 &= \underbrace{ \cancel{ \left(m_A \frac{V_{A}{ }^{2}}{2} + m_B \frac{V_{B}{ }^{2}}{2}\right) }^{=0} }_{\text{Initially stationary, no velocity}} + \left(m_A gz_A + m_B gz_B\right)_1 \\[4pt] \left(m_A + m_B\right) \frac{V_{2}{ }^{2}}{2} &= m_A g \left(z_1 - z_2\right)_A + m_B g \left(z_1 - z_2\right)_B \end{align*} \nonumber \]

При розробці цього рівняння ми також припустили, що всередині системи немає тертя і обертання шківа незначне, тобто він має незначний масовий момент інерції щодо своєї осі обертання.

Уважно зверніть увагу, що сила тяжіння, або вага мас, не роблять ніякої роботи по системі. Включення ваги як сили в термін роботи є поширеною помилкою і призводить до подвійного підрахунку впливу сили тяжіння. Ігнорування впливу сили тяжіння в робочому терміні є прямим наслідком нашого визначення механічної роботи з точки зору поверхневих (контактних) сил. Ми можемо впоратися з ефектом гравітації двома різними способами. Якщо включити силу тяжіння в робочий термін, то гравітаційної потенційної енергії немає. Якщо ми обробляємо вплив сили тяжіння через термін гравітаційної потенційної енергії, то працюють лише поверхневі сили. Щоб відповідати загальному принципу збереження енергії, ми вирішили використовувати останній підхід.

Щоб піти далі, ми повинні вказати, як зміна висоти пов'язана зі зміщенням коробок по площинам. Припустімо, що коробка\(A\) рухається вгору по площині, а коробка\(B\) рухається вниз по площині.

Тому\[\left(z_{2}-z_{1}\right)_{A} = L \sin \theta \quad \text { and } \quad \left(z_{2}-z_{1}\right)_{B}=-L \sin \alpha \nonumber \]

Підставляючи це назад в результат від принципу «робота-енергія», ми маємо\[\begin{aligned} \left(m_{A}+m_{B}\right) \frac{V_{2}{ }^{2}}{2} &= m_{A} g\left(z_{1}-z_{2}\right)_{A} + m_{B} g\left(z_{1}-z_{2}\right)_{B} \\ &= -m_{A} g\left(z_{2}-z_{1}\right)_{A} - m_{B} g\left(z_{2}-z_{1}\right)_{B} \\ &=-m_{A} g(L \sin \theta) - m_{B} g(-L \sin \alpha) \quad \text { but } \quad m_{A}=m_{B}=m_{Box} \\ \left(2 m_{box} \right) \frac{V_{2}{ }^{2}}{2} &= m_{box} g L(\sin \alpha-\sin \theta) \\[4pt] V^{2} &= g L(\sin \alpha-\sin \theta) = \left(9.81 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}\right) (1 \mathrm{~m}) \left(\sin 30^{\circ}-\sin 45^{\circ}\right) = -2.032 \ \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}} \end{aligned} \nonumber \]

Що сталося? Як ми можемо взяти квадратний корінь від'ємного числа? Чи означає це, що ми маємо складну швидкість? Будьте дуже обережні, коли опинитеся перед тим, як взяти квадратний корінь негативного числа. Це майже завжди означає, що щось помилково, оскільки складна швидкість не має фізичного сенсу в цій проблемі.

Що сталося, так це те, що ми здогадалися неправильно про початковий напрямок руху! Якби ми припустили, що коробка\(A\) перемістилася вниз по площині і коробка\(B\) перемістилася вгору по пагорбу, наші рівняння для\(\Delta z\) з точки зору мали\(L\) б протилежні знаки і\[\begin{aligned} \left(m_{A}+m_{B}\right) \frac{V_{2}{ }^{2}}{2} &= -m_{A} g\left(z_{2}-z_{1}\right)_{A} - m_{B} g\left(z_{2}-z_{1}\right)_{B} \\ &= -m_{A} g(-L \sin \theta)-m_{B} g(L \sin \alpha) \quad \text { but } \quad m_{A}=m_{B}=m_{Box} \\ \left(2 m_{box}\right) \frac{V_{2}{ }^{2}}{2} &= m_{box} g L(-\sin \alpha+\sin \theta) \\ V^{2} &= g L(\sin \theta-\sin \alpha) = \left(9.81 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}\right) (1 \mathrm{~m}) \left(\sin 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}\right) = 2.032 \ \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}} \\ V &=1.43 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \text { where the elevation of } B \text{ increases and the elevation of } A \text{ decreases.} \end{aligned} \nonumber \]

Сформуйте енергетичну точку зору, що це означає, що підвищена кінетична енергія виникає внаслідок зменшення загальної гравітаційної потенційної енергії системи. Зниження гравітаційної потенційної енергії коробки\(A\) дорівнює збільшенню гравітаційної потенційної енергії коробки\(B\) плюс збільшення кінетичної енергії всієї системи.

Коментар:

(a) Щоб перевірити цю відповідь, спробуйте скористатися одним з інших методів.

(b) Як би змінилася ваша відповідь, якби коефіцієнт кінетичного тертя для поверхні\(B\) був\(0.1\)? [Відповідь:\(V=1.09 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)]

7.1.3 Механічний енергетичний баланс

На цьому етапі корисно застосувати те, що ми знаємо про концепцію бухгалтерського обліку, щоб краще зрозуміти принцип робота-енергія. Якщо ми почнемо з форми ставки, Eq. \(\PageIndex{10}\)і переставити його так, щоб похідні були на лівій стороні, ми маємо наступне рівняння:\[\frac{d}{dt} \left(E_{K}+E_{G}\right) = \dot{W}_{\text {mech}} \nonumber \] Оскільки кінетична енергія та гравітаційна енергія є великими властивостями, ми можемо збільшити наше розуміння Eq. \(\PageIndex{12}\)вивчивши його в світлі структури бухгалтерського обліку.

Для цього рівняння великим властивістю є механічна енергія системи. Через своє коріння в механіці кінетична енергія та гравітаційна потенційна енергія разом називаються механічною енергією. Якщо ліва сторона Eq. \(\PageIndex{12}\)являє собою швидкість зміни великого властивості системи, тоді права сторона повинна представляти або швидкість транспортування, або швидкість генерації. Оскільки механічна потужність визначається з точки зору сили та швидкості на кордоні, ми будемо називати механічну потужність як швидкість транспортування механічної енергії.

З точки зору механічної енергії, швидкісна форма принципу робота-енергія, Eq. \(\PageIndex{12}\), Можна трактувати наступним чином:

Часова швидкість зміни (або накопичення) механічної енергії системи дорівнює чистої швидкості транспортування механічної енергії в систему механічною роботою.

На жаль, не існує загального фізичного принципу, який завжди задовольняє це твердження. Однак якщо обмежитися механічною енергією і розглядати тільки ті випадки, коли немає руйнування або вироблення механічної енергії, то Eq. \(\PageIndex{12}\)це механічний енергетичний баланс без генерації або руйнування механічної енергії.

Більш загальний аналіз продемонструє, що за більшості умов механічна енергія може бути знищена лише всередині системи. Подумайте про те, що відбувається, коли ви кидаєте м'яч для гольфу на землю і нехай він відскакує, поки він не перестане рухатися. Тепер припустимо, що ви зробили цей експеримент у вакуумі, щоб видалити тертя повітря. Спочатку м'яч для гольфу має гравітаційну потенційну енергію і ніякої кінетичної енергії. Коли він закінчує підстрибуючи і спирається на землю, він має меншу гравітаційну потенційну енергію і ніякої кінетичної енергії. Куди пішла початкова механічна енергія? Пізніше побачимо, що вона необоротно перетворюється у внутрішню енергію — енергію руху атомів і молекул системи.

Іноді Eq. \(\PageIndex{12}\)називається «збереження механічної енергії» для замкнутої системи. Будь ласка, будьте обережні, якщо ви хочете думати в цих умовах. У цьому курсі ми зазвичай залишаємо слово «збереження» для загального вживання - описуючи, як завжди працює світ. Як ми продемонструємо пізніше, використовуючи загальний принцип збереження енергії, Eq. \(\PageIndex{12}\)обмежується адіабатичною, закритою системою, де механічна робота є єдиним робочим механізмом для транспортування енергії, а енергія може зберігатися лише як механічна енергія. Подивіться, скільки кваліфікаторів потрібно додати лише для того, щоб дістатися до «збереження механічної енергії» із загального принципу збереження енергії.

7.1.4 Додаткова механічна енергія - пружинна енергія

Якщо ви згадаєте про свій клас фізики, ви вивчали ідеальні пружини. Для наших цілей ідеальною є пружина, яка слідує за тією ж кривою силового зміщення незалежно від напрямку зміщення кінця пружини, тобто пружина без гістерезису. Одне з перших речей, які ви дізналися, - це те, що сила, необхідна для стиснення або подовження пружини, описується рівнянням:\[F_{\text {spring}}=k x \nonumber \] де\(k\) постійна пружини з одиницями\(\mathrm{N} / \mathrm{m}\)\(\mathrm{lbf} / \mathrm{in}\) або або\(\mathrm{lbf} / \mathrm{ft}\) і\(x\) є зміщенням кінця пружини від її розвантаженого або положення вільної довжини.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Ідеальна весна.

Тепер розглянемо блок маси\(m\) на горизонтальній поверхні без тертя, як показано на малюнку\(\PageIndex{9}\). Спочатку блок тримається проти пружини, а пружина стискається до довжини\(L\). Вільна довжина пружини становить\(L_{o}\). Раптом блок відпускається і блок рухається вправо. Як ми могли використовувати механічний енергетичний баланс для вирішення швидкості блоку?

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Сили, що діють на блок за рахунок розширюється пружини.

Спочатку ми вибираємо блок як нашу систему і малюємо діаграму вільного тіла, яка показує всі зовнішні сили, що діють на нашу систему (див. Рис.\(\PageIndex{9}\)). Особливу увагу приділіть розташуванню системи\(x\) -координат. Далі будемо вважати, що блок можна змоделювати як частинку і можна застосувати скінченно-часову форму механічного енергетичного балансу:

\[\begin{array}{ll} \Delta E_{K} & +\underbrace{ \cancel{ \Delta E_{G P} }^{=0} }_{\text{No change in elevation}} &= W_{\text {mech}} = \int\limits_{\mathbf{s}_{1}}^{\mathbf{s}_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} = \int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} F_{\text {spring}} \cdot dx \\ & \frac{m}{2}\left(V_{2}{ }^{2}-V_{1}{ }^{2}\right) &= \int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} \left[k\left(L_{o}-L\right)\right] \cdot dx \quad \text { where } \quad L=L_{o}+x \\ & &= \int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} \left[k\left(L_{o}-\left(L_{o}+x\right)\right)\right] \cdot dx \\ & &= \int_{x_{1}}^{x_{2}}[-k x] \cdot dx = -\frac{k}{2}\left(x_{2}{ }^{2}-x_{1}{ }^{2}\right) \end{array} \nonumber \]

При початковій стислій\(L_{1}\) довжині пружини швидкість в будь-якому місці\(x_{2}\) може бути розроблена з наведеного вище результату наступним чином:\[\begin{gathered} \frac{m}{2} \left(V_{2}{ }^{2}-\underbrace{V_{1}{ }^{2}}_{=0}\right) = -\frac{k}{2}\left[x_{2}{ }^{2}-x_{1}{ }^{2}\right] = -\frac{k}{2}\left[x_{2}{ }^{2}-\left(L_{1}-L_{o}\right)^{2}\right] \\ m \frac{V_{2}{ }^{2}}{2} = \frac{k}{2}\left[\left(L_{1}-L_{o}\right)^{2}-x_{2}{ }^{2}\right] \\[4pt] V_{2} = \sqrt{\frac{k}{m} \left[\left(L_{1}-L_{o}\right)^{2} - x_{2}{ }^{2}\right]} \end{gathered} \nonumber \]

Перевірте своє розуміння

Як перевірку на результат розглянемо, що відбувається зі швидкістю блоку, якщо\(L_{1}=L_{o}\).

Яка максимальна швидкість руху блоку і де вона виникає?

Яке положення блоку, коли швидкість йде в нуль?

Тепер повернемося до Eq. \(\PageIndex{14}\)і переставити цей результат:

\[\begin{array}{l} &\frac{m}{2} \left(V_{2}{ }^{2}-V_{1}{ }^{2}\right) = -\frac{k}{2}\left(x_{2}{ }^{2}-x_{1}{ }^{2}\right) \\ &\underbrace{\frac{m}{2}\left(V_{2}{ }^{2}-V_{1}{ }^{2}\right)}_{=\Delta E_{K}} + \underbrace{\frac{k}{2}\left(x_{2}{ }^{2}-x_{1}{ }^{2}\right)}_{=\Delta E_{\text {spring}}}=0 \end{array} \nonumber \]

Зверніть увагу, що термін на лівій стороні залежить тільки від кінцевих станів системи. Це характерно для властивості, і насправді обидві величини з лівого боку є змінами в великих властивостях системи. Перший - це наш старий друг - зміна кінетичної енергії. Другий термін є новим і називається зміною пружинної (пружної) енергії системи. Визначимо пружинну (пружну) енергію системи як:\[E_{\text {spring}} \equiv \frac{1}{2} k x^{2} \nonumber \]

Ідеальна пружина зберігає енергію в пружної деформації пружини з кількістю енергії, безпосередньо пов'язаної зі стисненням або розширенням пружини від її ненавантаженої або вільної довжини.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Аналіз системи з пружиною всередині системи.

Якби ми розглядали енергію пружини як форму механічної енергії, і ми розмістили пружину всередині нашої системи (див. Рисунок\(\PageIndex{10}\)), баланс механічної енергії без втрат виглядав би наступним чином для системи пружинних блоків:\[\Delta E_{K} + \Delta E_{G P} + \Delta E_{\text {spring}}=W_{\text {mech}} \nonumber \] Щоб вирішити проблему, ми б знову обчислили\(W_{\text {mech}}\) для система; однак жодна з зовнішніх сил не сприяє механічній роботі. Нормальна сила не сприяє тому, що вона перпендикулярна руху; вага не сприяє тому, що це сила тіла, а не поверхнева сила; і опорна сила, що утримує пружину до стіни, не рухається. Таким чином, рівняння енергії зменшиться наступним чином:

\[\begin{array}{c} \underbrace{\Delta E_{K}}_{V_{1}=0} + \underbrace{ \cancel{\Delta E_{G P}}^{=0} }_{\text {No change in elevation}} + \Delta E_{\text {spring}} = \cancel{ W_{\text {mech}} }^{=0} \\ \Delta E_{K}+\Delta E_{\text {spring}} = 0 \\ m \frac{V_{2}^{2}}{2}+\frac{k}{2}\left(x_{2}{ }^{2}-x_{1}{ }^{2}\right)=0 \end{array} \nonumber \]

Цей результат ідентичний Eq. \(\PageIndex{14}\), результат, отриманий, коли пружина перебувала поза системою; однак нинішній підхід простіший, оскільки не було виконано роботи над системою. З точки зору механічної енергії, що відбувається тут, полягає в тому, що початкова енергія, що зберігається навесні, перетворюється в кінетичну енергію блоку багаторазово, коли блок коливається вперед і назад. Це коливання триватиме вічно, якщо не буде внутрішнього тертя системи або тертя між блоком і горизонтальною поверхнею.

У поточному розділі ми розширили наше визначення механічної енергії, включивши кінетичну енергію, гравітаційну потенційну енергію, а тепер пружинну (або пружну) енергію. Це само по собі мало б наслідків, за винятком того, що ми також стверджували, що ця нова енергія може бути включена в наш існуючий механічний енергетичний баланс. Цей досвід маркування або ідентифікації нової форми енергії з подальшим вписанням її в існуючі рамки характерний для історичного розвитку принципу збереження енергії. Тепер перейдемо до цього більш загального принципу, збереження енергії — одному з найпотужніших і поширених принципів фізики та інженерної науки.