6.2: Чотири питання

6.2.1 Що таке кутовий імпульс?

У главі 5 ми показали, що лінійний\(\mathbf{P}\) імпульс частинки з масою\(m\) і швидкістю\(\mathbf{V}\) є добутком маси частинок і швидкості частинок, наприклад\(\mathbf{P}=\mathrm{mV}\). Кутовий момент частинки по відношенню до точки\(\mathbf{O}\) - векторний (перехресний) твір\(\mathbf{r}\) вектора положення частинки щодо точки\(O\) і лінійного імпульсу частинки\(\mathbf{P}\) (див. Рис.\(\PageIndex{1}\)):\[\mathbf{L}_{0} = \mathbf{r} \times \mathbf{P}=\mathbf{r} \times(m \mathbf{V}) \nonumber \]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Розрахунок лінійного імпульсу частинки.

Важливо визнати, що кутовий момент, як і лінійний імпульс, є вектором - він має як величину, так і напрямок. Розміри кутового моменту становлять\([\mathrm{L}]^{2} [\mathrm{M}] [\mathrm{T}]^{-1}\). Типовими одиницями в системі СІ є\(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}\) або\(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}\) і в системі УСК є\(\mathrm{lbm} \cdot \mathrm{ft}^{2} / \mathrm{s}\) або\(\mathrm{lbf} \cdot \mathrm{ft} \cdot \mathrm{s}\).

Питомий кутовий момент для частинки можна обчислити як кутовий імпульс на одиницю маси:\[\mathbf{l}_{0}=\frac{\mathbf{L}_{0}}{m}=\mathbf{r} \times \mathbf{V} \nonumber \] Розміри питомого моменту\( [\mathrm{L}]^{2} [\mathrm{~T}]^{-1} .\)

6.2.2 Як можна зберігати кутовий момент в системі?

Для системи частинок кутовий імпульс системи по відношенню до точки\(O\) - це сума кутового моменту кожної частинки в системі:\[\begin{align} \mathbf{L}_{O, \text{ sys}} &= \sum_{j=1}^{n} \mathbf{L}_{O, \ j} = \sum_{j=1}^{n}\left(\mathbf{l}_{o} m\right)_{j} \nonumber \\ &= \sum_{j=1}^{n} \left(\mathbf{r}_{j} \times \mathbf{V}_{j}\right) m_{j} \end{align} \nonumber \]

Для безперервної системи підсумовування замінюється інтегралом над об'ємом системи:\[\mathbf{L}_{O, \text{ sys}} = \int\limits_{M_{\text{sys}}} \mathbf{I}_{o} \ dm = \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}}(\mathbf{r} \times \mathbf{V}) \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \nonumber \] Через кінематику, що описує рух системи, оцінка цього інтеграла може бути дуже складною. У цьому розділі ми розглянемо лише два типи руху, для яких цей інтеграл можна легко оцінити — переклад та обертання навколо нерухомої центроїдальної осі. Більш детальне дослідження кутового моменту для загального руху буде відкладено до більш пізнього курсу, тобто ES 204—Аналіз механічних систем.

Рух площини площини системи

У наших застосуваннях кутового моменту до системи, ми обмежимося рухом площини площини системи. Плоска система - це система, яка має площину симетрії, яка містить центр мас системи. Рух площини, як обговорюється в розділі 5.1.2, вимагає, щоб площина симетрії системи і\(x \text{-} y\) площини залишалися паралельними в усі часи.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Плоска система з перекладом.

Плоскова система з перекладом

При перекладі системи кожна точка в системі має однакову швидкість,\(\mathbf{V}=\mathbf{V}_{\mathbf{x}} + \mathbf{V}_{\mathbf{y}}\). Щоб обчислити кутовий момент системи про точку\(\mathrm{O}\), ми повинні оцінити Eq. \(\PageIndex{4}\)наступним чином:

\[ \begin{array}{ll} \mathbf{L}_{0, \text{ sys}} &= \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} (\mathbf{r} \times \mathbf{V}) \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- & \left| \begin{array}{l} \mathbf{V} \text{ comes outside the} \\ \text{integral because} \\ \text{it is a constant.} \end{array} \right. \\[4pt] &= \left( \int\limits_{\ V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} \mathbf{r} \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \right) \times \underbrace{ \mathbf{V} }_{\begin{array}{c} \mathbf{V}_G = \mathbf{V} \\ \text{since} \\ \text{translation} \end{array}} & \left| \begin{array}{l} \text{The integral within () can be} \\ \text{rewritten in terms of the} \\ \text{center of mass (Section } 5.1.2 \text{)} \end{array} \right. \\ &= \left( m_{\text{sys }} \mathbf{r}_G \right) \times \mathbf{V}_G & \left| \begin{array}{l} \mathbf{r}_G \text{ is the position vector of the} \\ \text{center of mass with respect to} \\ \text{point } O. \end{array} \right. \\[4pt] &= m_{\text{sys}} \left( \mathbf{r}_G \times \mathbf{V}_G \right) & \end{array} \nonumber \]

Таким чином, кутовий імпульс перекладається площини системи дорівнює добутку маси системи і поперечного добутку\(\mathbf{r}_{G}\) і\(\mathbf{V}_{G}\), положення і вектора швидкості, відповідно, центру маси системи.

Перевірте свої знання

(a) Починаючи з результату в Eq. \(\PageIndex{5}\), довести, що наступний вираз є правильним для відкритої системи:\[\frac{d \mathbf{L}_{0, \text{ sys}}}{dt} = \frac{d}{d t}\left[ m_{\text{sys}} \left(\mathbf{r}_{G} \times \mathbf{V}_{G}\right) \right] = \left(\mathbf{r}_{G} \times \mathbf{V}_{G}\right) \frac{d m_{\text{sys}}}{d t} + m_{\text{sys}} \left(\mathbf{r}_{G} \times \frac{d \mathbf{V}_{G}}{d t}\right) \nonumber \] Що сталося з\(m_{\text{sys}} \left(\dfrac{d \mathbf{r}_{G}}{d t} \times \mathbf{V}_{G}\right)\)?

(б) Блок, показаний на малюнку, має масу\(50 \mathrm{~kg}\) і перекладається вправо зі швидкістю\(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Визначте величину і напрямок (а) лінійного імпульсу системи; (б) кутовий імпульс системи щодо точки\(A\), (c) кутовий імпульс системи щодо точки\(B\) та (d) кутовий імпульс системи щодо точки\(C\).

Якщо плоска система зазнає лінійного перекладу, тобто вона рухається по прямій, чи може вона мати кутовий імпульс?

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Блок, що рухається вздовж горизонтальної поверхні, з трьома вертикально вирівняними контрольними точками.

Плоска, жорстка система, що обертається навколо нерухомої центроїдальної осі

Багато систем проявляють такий тип руху: обертання стельового вентилятора, обертання ротора в двигуні та обертання каруселі. Центроїдальна вісь - це вісь обертання, яка перетинає центр мас системи. Обертання вашої щітки склоочисника та важеля на автомобілі не відповідає цій категорії, оскільки воно не обертається навколо центроїдальної осі комбінації щітки-рукоятки склоочисника. Те ж саме було б справедливо і з обертанням простого маятника навколо нецентроїдальної точки повороту.

Для обертової плоскої системи ми будемо використовувати, без доказів, кінематичне відношення для швидкості будь-якої точки в жорсткій системі, що обертається в\(x \text{-} y\) площині навколо нерухомої осі:\[\begin{array}{l} \mathbf{V} &= \vec{\omega} \times \mathbf{r} \\ &=\left(\omega_{z} \mathbf{k}\right) \times (x \mathbf{i} + y \mathbf{j}) = \left| \begin{array}{lll} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & \omega_{z} \\ x & y & 0 \end{array} \right| \\ &= -y \omega_{z} \mathbf{i} + x \omega_{z} \mathbf{j} \\[4pt] &= r \omega_{z} \left( \dfrac{-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}}{r}\right) = \left(r \omega_{z}\right) [-(\sin \theta) \mathbf{i} + (\cos \theta) \mathbf{j}] \end{array} \nonumber \]

Зверніть увагу, що вектор кутової швидкості має величину\(\omega_{z}\) і вказує у напрямку позитивної\(z\) -осі.

Коли ви думаєте про використання правила правої руки, щоб перетнути вектор\(\mathbf{\omega} =\omega_{z} \mathbf{k}\) з вектором, вирівняйте пальці з позитивною\(z\) -віссю і скрутіть їх у напрямку до радіального вектора\(\mathbf{r}\).\(\mathbf{r}\) Тепер великий палець повинен вказувати в напрямку, нормальному до\(\mathbf{r}\) вектора.

Коли ми додатково обмежуємося площинними системами, які обертаються навколо центроїдальної осі, осі, яка проходить через центр маси, ми обчислюємо кутовий момент наступним чином:

\[ \begin{array}{ll} L_{G, \text{ sys}} &= \displaystyle \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} (\mathbf{r} \times \mathbf{V}) \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- & \left| \begin{array}{l} \text{where } \mathbf{V} = \omega_z \mathbf{k} \times \mathbf{r} \text{ since only} \\ \text{rotation about z-axis is possible} \end{array} \right. \\ &= \displaystyle \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} \left[ \mathbf{r} \times \left( \omega_z \mathbf{k} \times \mathbf{r} \right) \right] \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- & \left| \begin{array}{l} \text{The rotational velocity } \omega_z \\ \text{is a constant.} \end{array} \right. \\ &=\omega_z \displaystyle \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} \underbrace{ \left[ \mathbf{r} \times \left( \mathbf{k} \times \mathbf{r} \right) \right] }_{= | \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} | \mathbf{k} = r^2 \mathbf{k}} \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- & \left| \begin{array}{l} \text{The double cross product can be} \\ \text{simplified using cylindrical coordinates} \\ \text{where } \mathbf{r} = r \ \mathbf{e}_{\mathbf{r}}, \ \mathbf{k} \times \mathbf{e}_{\mathbf{r}} = \mathbf{e}_{\theta}, \text{ and} \\ \mathbf{e}_{\mathbf{r}} \times \mathbf{e}_{\theta} = \mathbf{k}. \text{ (See Section 5.5)} \end{array} \right. \\[4pt] &= \omega_z \displaystyle \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} \left[ r^2 \mathbf{k} \right] \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \\ &= \omega_z \mathbf{k} \underbrace{ \left[ \displaystyle \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} r^2 \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \right] }_{= \text{Mass moment of inertia } I_G } & \left| \begin{array}{l} \text{The quantity in the brackets is} \\ \text{called the mass moment of inertia} \\ \text{about the } z \text{-axis that contains} \\ \text{the center of mass } G. \end{array} \right. \\ &= \omega_z I_G \mathbf{k} \end{array} \nonumber \]

Таким чином, величина кута імпульсу площини, жорсткої системи, що обертається навколо нерухомої, центроїдальної осі дорівнює добутку швидкості обертання\(\omega_{z}\) навколо\(z\) -осі і масового моменту інерції\(I_{G}\) системи навколо\(z\) -осі. Як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\), маса може мати момент інерції маси навколо будь-якої осі—\(x\)\(y\), або\(z\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Момент інерції маси.

Масовий момент інерції навколо\(z\) -осі буде оцінюватися за допомогою інтеграла

\[ I_{G, \ z} = \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} r^2 \rho \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = \begin{cases} \displaystyle \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} \left( x^2 + y^2 \right) \rho \ dx \ dy & \text{where } d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = dx \ dy \\[4pt] \quad\quad\quad \text{or} \\[4pt] \displaystyle \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{\text{sys}}} r^2 \rho \ r \ d \theta \ dr & \text{where } d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = r \ d \theta \ dr \end{cases} \nonumber \]

Залежно від форми об'єкта,\(\mathrm{x} \text{-} \mathrm{y}\) або\(\mathrm{r} \text{-} \theta\) формулювання може бути кращим. Розміри моменту інерції маси становлять\([\mathrm{M}][\mathrm{L}]^{2}\). Типові одиниці знаходяться\(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}\) в СІ і\(\mathrm{lbm} \cdot \mathrm{ft}^{2}\) в УСК. Значення для прямокутного твердого тіла, твердого циліндра і твердої сфери можна знайти на рис\(\PageIndex{5}\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Центроїдний момент інерції маси для деяких поширених форм.

6.2.3 Як кутовий імпульс транспортується через межу системи?

Кутовий момент навколо точки\(O\) транспортується через межу системи двома механізмами: транспортом кутового моменту із зовнішніми силами та транспортом кутового моменту з масовим потоком.

Транспортування кутового моменту з зусиллями

Коли зовнішня сила застосовується до системи, як обговорювалося раніше, вона створює момент щодо точки\(O\). Цей момент являє собою транспортну швидкість кутового моменту. Більш конкретно, чиста швидкість перенесення моменту моменту про точку\(O\) в систему з обумовленою зовнішньою силою записується математично як сума окремих моментів:\[\dot{\mathbf{L}}_{O, \text { forces}} = \sum_{j} \mathbf{M}_{O, \ j} = \sum_{j}\left(\mathbf{r}_{j} \times \mathbf{F}_{j}\right) = \left[ \begin{array}{c} \text { Transport rate of } \\ \text { angular momentum } \\ \text { with external forces } \end{array} \right] \nonumber \]

Момент про точку,\(O\) обумовлений розподіленою гравітаційною силою або вагою, може бути показаний рівним моменту, виробленому силою ваги, що діє в центрі мас (або центрі ваги) системи. Силові пари, що діють на систему, виробляють момент, а також транспортують кутовий імпульс через межу системи. Думаючи про момент сили як транспортну швидкість лінійного імпульсу, розміри моменту є\([ \text{Force} ][\mathrm{L}] = \left\{ [\mathrm{M}][\mathrm{L}]^{2} / [\mathrm{T}] \right\} / [\mathrm{T}] =[\mathrm{M}] [\mathrm{L}]^{2} [\mathrm{T}]^{-2} .\)

Транспортування кутового моменту з масовим потоком

Як було показано раніше, кожна грудка маси зі швидкістю має кутовий момент близько точки\(O\). Коли масі дозволяється протікати через межу відкритої системи, кожна грудка маси несе з собою лінійний імпульс. Таким чином, кутовий імпульс відкритої системи також може бути змінений масовим потоком, що несе кутовий імпульс через межу системи.

Швидкість, з якою кутовий імпульс навколо точки\(O\) транспортується через межу, може бути представлена добутком масової витрати та місцевої швидкості на кордоні, припускаючи, що швидкість рівномірна:\[\dot{\mathbf{L}}_{O, \text { mass}} = \dot{m} (\mathbf{r} \times \mathbf{V}) = \left[\begin{array}{c} \text { Transport rate of } \\ \text { angular momentum } \\ \text { with mass flow } \end{array}\right] \nonumber \] де\(\dot{m}\) масова витрата на межі потоку,\(\mathbf{r}\) - це положення кордону потоку щодо точки\(O\),\(\mathbf{V}\) а також місцева швидкість потоку. Тепер об'єднавши це для всіх кордонів потоку, чисту швидкість транспортування в систему кутового моменту близько точки\(O\) можна отримати шляхом підсумовування транспортів на всіх границях потоку:\[\mathbf{L}_{O, \text { mass, net}} = \sum_{in} \left( \mathbf{r}_{i} \times \mathbf{V}_{i}\right) \dot{m}_{i} - \sum_{out} \left(\mathbf{r}_{e} \times \mathbf{V}_{e}\right) \dot{m}_{e} \nonumber \]

6.2.4 Як може генеруватися або споживатися кутовий імпульс в системі?

Досвід показав, що кутовий імпульс системи не може бути створений або знищений; таким чином, кутовий імпульс зберігається.

6.2.5 Збираємо все разом

Використовуючи систему бухгалтерського обліку, ми можемо розробити наступне твердження для збереження моменту моменту про точку\(O\):\[\left[ \begin{array}{c} \text { Rate of accumulation } \\ \text { of } \\ \text { angular momentum } \\ \text { inside a system } \\ \text { at time } t \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} \text { Net transport rate of } \\ \text { angular momentum } \\ \text { into the system } \\ \text { by external forces } \\ \text { at time } t \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{c} \text { Net transport rate of } \\ \text { angular momentum } \\ \text { into the system } \\ \text { by mass flow } \\ \text { at time } t \end{array}\right] \nonumber \]

У символах швидкість форма збереження моменту моменту про точку\(O\) стає\[\frac{d \mathbf{L}_{O, \text { sys}}}{d t} = \sum_{j} \mathbf{M}_{O, \ j} + \sum_{in} \left(\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{V}_{i}\right) \dot{m}_{i} - \sum_{out} \left(\mathbf{r}_{e} \times \mathbf{V}_{e}\right) \dot{m}_{e} \nonumber \] Знову, як і при лінійному імпульсі і масі, розумне використання моделювання припущень часто спростить це рівняння, як ми моделюємо системи.