5.6: Проблеми
- Page ID
- 34359
Рух частинки описується\[x = \left( 3.0 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{3}} \right) t^{3} - \left(6.0 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}\right) t^{2} - \left(12.0 \ \mathrm{ft} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right) t + (5.0 \ \mathrm{ft}) \nonumber \] співвідношенням Частинка має масу 5 кілограмів і весь рух знаходиться в горизонтальній площині, тобто гравітація не має ніякого впливу. Дайте відповідь на наступні питання:
(а) Визначте, коли швидкість дорівнює нулю.
(b) Визначте положення та загальну пройдену відстань, коли прискорення дорівнює нулю.
(c) Визначити лінійний імпульс і швидкість зміни лінійного імпульсу частинки протягом\(t=0,1,2,3,\) і\(4\) секунд.
(d) Графік лінійного імпульсу та швидкості зміни лінійного імпульсу частинки як функція часу протягом\(0 \leq t \leq 4\) секунд. [Примітка: вам може знадобитися більше 5 балів для точного побудови цієї функції.]
- Яке максимальне значення лінійного імпульсу частинки за цей часовий проміжок і коли він виникає?
- Яке максимальне значення швидкості зміни лінійного імпульсу частинки і коли це відбувається?
(e) Використовуючи збереження лінійного імпульсу для цієї частинки, визначте чисту зовнішню силу, що діє на частинку протягом\(t=0,1,2,3,\) і\(4\) секунд.
(f) Графік чистої зовнішньої сили, що діє на частинку як функція часу протягом 0\(\leq t \leq 4\) секунд. [Примітка: вам може знадобитися більше 5 балів для точного побудови цієї функції.]
- Яке максимальне значення чистої зовнішньої сили, що діє на частинку за цей часовий проміжок і коли вона виникає?
- Чи змінюється напрямок чистої зовнішньої сили протягом цього часового інтервалу? Якщо так, то коли це відбувається?
(g) Порівняйте результати для (c), (d), (e) та (f). Прокоментуйте подібності та відмінності.
Ракета сани зважування\(3,220 \ \text{lbf}\) досягає постійної швидкості\(700 \ \mathrm{ft} / \mathrm{s}\) під силою тяги\(8,000 \ \mathrm{lbf}\). Первинним опором руху є сила опору рідини з величиною\(F_{\text {drag}}=k V^{2}\) і напрямком, що протистоїть руху.
(a) Визначте значення константи\(k\) в моделі сили перетягування.
(b) Якщо двигун відключений, визначте, скільки часу він займає і як далеко їде сани, коли він сповільнюється\(70 \ \mathrm{ft} / \mathrm{s}\).
Два кабелі пов'язані разом\(C\) і завантажуються, як показано на малюнку. Вся система стаціонарна. Ви повинні намалювати повну діаграму взаємодії лінійного імпульсу (також називається діаграмою вільного тіла) для кожної проблеми, чітко показуючи важливі транспорти лінійного імпульсу.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{1}\): Навантажена кабельна система.
(а) Починаючи з форми швидкості збереження лінійного імпульсу, використовуйте замкнуту систему, показану пунктирною лінією, для вирішення натягу в тросах\(A C\) і\(B C\).
(b) Як би змінився ваш аналіз, якби ви використовували закриту систему, яка включала лише спільний вузол\(C\)? Як би ви впоралися з силою, прикладеною висячим предметом?
(c) Яке напруження було б в обох кабелі, якби кут для обох\(A C\) і\(B C\) був\(5^{\circ}\)? Яке відношення натягу в кожному тросі до ваги маси? Це співвідношення іноді називають механічною перевагою, про яку ви дізналися, вивчаючи важелі. Чи дає це вам які-небудь уявлення про те, що було б найкращим способом, щоб облаштувати кабель, щоб підтягнути автомобіль до набережної? Будь-які проблеми з вашою ідеєю?
Трактор-причіп їде на,\(60 \ \mathrm{mi} / \mathrm{h}\) коли водій застосовує її гальма. Трактор має масу\(15,000 \ \mathrm{lbm}\), а причіп має масу\(17,400 \ \mathrm{lbm}\). Знаючи, що гальмівні зусилля трактора і причепа є\(3600 \ \mathrm{lbf}\) і\(13,700 \ \mathrm{lbf}\), відповідно, визначають (а) відстань, пройдену тракторним причепом до його зупинки, і (б) горизонтальну складову сили в зчіпці між трактором і причепом, поки вони сповільнюються вниз.
Не забудьте почати з відповідних рівнянь збереження і ретельно вибрати систему і визначити важливі взаємодії між системою і навколишнім середовищем. Крім того, не забудьте намалювати діаграму вільного тіла (діаграма взаємодії лінійного імпульсу). [Підказка: Використовуйте дві різні системи, щоб відповісти на питання. Для частини (а) візьміть всю вантажівку та причіп як систему. Для частини (b) використовуйте або вантажівку, або причіп для аналізу. Зверніть увагу, що оскільки вантажівка та причіп з'єднані разом, таку інформацію, як прискорення та швидкість, яку ви обчислюєте частково (а), можна використовувати безпосередньо в частині (b) без перепланування інформації. Навіщо вам використовувати цю систему для частини (b)?]
Чому атмосферний тиск скасовується в цій проблемі - чи це?
(Адаптовано з динаміки пива та Джонсона, 6-е видання)
Чоловік, який спускається по його під'їзній дорозі, помилково потрапляє в задню частину своєї поштової скриньки. Швидкість і площа поперечного перерізу водного потоку при попаданні на задню частину поштової скриньки є\(25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) і\(300 \mathrm{~mm}^{2}\), відповідно. Потік води горизонтальний, коли потрапляє на вертикальну поверхню поштової скриньки. Припустімо, що всі системи є стаціонарними і відповідають на наступні питання. Уважно покажіть всю свою роботу, особливо, як ви створюєте відповідну модель для цієї системи, починаючи з форми швидкості лінійного рівняння імпульсу. Якщо потрібно, припускаємо, що атмосферний тиск буде\(100 \ \mathrm{kPa}\).
.png)
Рисунок\(\PageIndex{2}\): Поведінка потоку води при попаданні на вертикальну сторону поштової скриньки.
(а) Визначте напрямок та величину в Ньютоні горизонтальної сили зсуву, яка прикладається поштою до поштової скриньки. [Підказка: Виберіть відкриту систему, яка розрізає дерев'яний стовп і потік води. Для цієї системи існує тільки одне контактне зусилля з горизонтальною складовою. Припустимо, що вся вода надходить в систему з горизонтальною швидкістю\(25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) і що вона залишає систему без горизонтальної складової швидкості.]
(б) Тепер визначте напрямок та величину в Ньютоні сили води, що діє на поштову скриньку. Чи відрізняється ця відповідь, ніж ваша відповідь вище? [Підказка: Цього разу виберіть закриту систему, поштову скриньку. Для цієї системи сила води виступає у вигляді контактної (або поверхневої) сили, що діє на кордоні системи. Будьте уважні, враховуйте сили тиску, що діють на систему.]
- Відповідь
-
а)\(187.5 \mathrm{~N}\) діючи ліворуч.
б) Так, це більше, ніж відповідь частково (а).
Вода стабільно тече через\(180^{\circ}\) редукційний вигин труби, як показано на малюнку. Атмосферний тиск поза системою трубопроводів є\(P_{\mathrm{atm}}=100 \ \mathrm{kPa}\). Вигин труби з'єднується з двома трубами фланцями. Фланці скріплюються між собою фланцевими болтами. Припустимо, щільність води є\(1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\).
Малюнок\(\PageIndex{3}\): Вода рухається через редукційний вигин труби, сформований півколом.
На вході в вигин тиск є\(P_{1}=350 \ \mathrm{kPa}\), діаметр труби -\(D_{1}= 25 \mathrm{~cm}\), а швидкість води -\(V_{1}=2.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). На виході з вигину тиск є\(P_{2}=120 \ \mathrm{kPa}\) і діаметр труби\(D_{2}=8 \mathrm{~cm}\).
Нехтуючи вагою вигину труби і водою в вигині, визначають величину і напрямок сумарного зусилля (не сили в\(x\) -напрямку) болтів фланця на вигин труби. Чи було б «нормально» нехтувати впливом тиску?
(Адаптовано з динаміки пива та Джонсона, 6-е видання)
Легкий поїзд з двох вагонів подорожує на\(45 \ \mathrm{mi} / \mathrm{h}\). Вагон\(A\), який знаходиться в передній частині поїзда, важить 18 тонн, а вагон\(B\) важить 13 тонн. Постійна сила розриву\(4300 \ \mathrm{lbf}\) прикладається до автомобіля,\(B\) але гальма на автомобілі не\(A\) застосовуються. Визначте (а) час, необхідний для зупинки поїзда після застосування гальм, і (б) силу в зчепленні між вагонами, які поїзд сповільнює.
- Відповідь
-
(а)\(29.6 \mathrm{~s}\) і (b)\(2500 \ \text{lbf}\) в напрузі
Блок маси\(m_{2}\) укладають на клиноподібний блок маси\(m_{1}\). Кут нахилу клина дорівнює\(\theta\). Похила поверхня без тертя, і невеликий блок вільно ковзає по нахилу. Крім того, невеликі ролики під клином також без тертя, тому клин вільно ковзає по горизонтальній поверхні.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{4}\): Система, де сила чиниться на клин, на який спирається блок.
(а) Визначте значення прикладеної сили\(P\) в Ньютоні, яке повинно бути застосовано так, щоб менший блок не ковзав на клиновидному блоці, тобто немає відносного руху між двома блоками.
(b) Як швидко блоки будуть прискорюватися, в\(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\)?
Примітка: Можливо, неможливо вирішити цю проблему, використовуючи лише одну систему
\(20 \text{-kg}\)Пакет знаходиться в стані спокою на нахилі при\(\mathbf{P}\) прикладанні до нього сили. Коефіцієнти статичного і кінетичного тертя між пакетом і нахилом є\(0.4\) і\(0.3\), відповідно.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{5}\): Система, де сила прикладається на пакет під нахилом.
(a) Визначте\(\mathbf{P}\) мінімальне зусилля, необхідне для переміщення упаковки.
(b) Визначте величину,\(\mathbf{P}\) якщо\(10 \mathrm{~s}\) потрібно для того, щоб пакет\(5 \ \mathrm{m}\) подорожував вгору по нахилу.
(Адаптовано з динаміки пива та Джонсона, 6-е видання)
Потрійний стрибок - це легка подія, в якій спортсмен отримує біговий старт і намагається стрибати, наскільки він може, з стрибком, кроком і стрибком. Бігун наближається до лінії зльоту зліва з горизонтальною швидкістю\(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), залишається в контакті з землею для\(0.18 \mathrm{~s}\), і злітає зі швидкістю під кутом\(50^{\circ}\) від горизонталі.\( 12 \mathrm{m} / \mathrm{s}\)
Визначте вертикальну складову середньої імпульсної сили, що чиниться землею на ногу. Ретельно визначте свою систему і пов'язані з ними передачі лінійного імпульсу. Дайте свою відповідь в плані ваги\(W\) спортсмена.
(Адаптовано з динаміки пива та Джонсона, 6-е видання)
Два плавці\(A\) і\(B\) ваги\(190 \ \mathrm{lbf}\) і\(125 \ \mathrm{lbf}\), відповідно, знаходяться в діагонально протилежних кутах плаваючого плоту, який є\(20 \ \mathrm{ft}\) широким і\(10 \ \mathrm{ft}\) довгим. Раптом вони розуміють, що пліт відірвався від своїх причалів і плаває вільно. Плавець\(A\) відразу ж починає ходити назустріч\(B\) зі швидкістю\(2 \ \mathrm{ft} / \mathrm{s}\) щодо плоту. Знаючи, що пліт важить\(300 \ \mathrm{lbf}\), визначте (а) швидкість плоту, якщо\(B\) не рухається, і (б) швидкість, з якою\(B\) повинен йти назустріч,\(A\) якщо пліт не рухатися.
(Адаптовано з динаміки пива та Джонсона, 6-е видання)
Блок ковзає вгору по похилій площині від точки,\(A\) де його швидкість -\(30 \ \mathrm{ft} / \mathrm{s}\) до точки, де його швидкість дорівнює нулю. Площину роблять кут\(20^{\circ}\) з горизонтальним. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і площиною дорівнює\(0.30\).
(а) Визначте час, необхідний для подорожі блоку від\(A\) до\(B\).
(b) Визначте мінімальне значення коефіцієнта статичного тертя, необхідного для утримання блоку від ковзання назад вниз по схилу після того, як він досягне точки\(B\).
(взято з основ механіки рідини Мансон, Янг та Окіші)
Вертикальним круговим поперечним перерізом струмінь повітря вдаряє по конічному дефлектору, як зазначено на малюнку. Вертикальна анкерна сила\(0.1 \mathrm{~N}\) необхідна для утримання дефлектора на місці. Визначте масу\(\mathrm{kg}\), в, дефлектора. Величина швидкості повітря залишається постійною і щільність повітря дорівнює\(1.23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\).
Малюнок\(\PageIndex{6}\): Вертикальний повітряний потік розщеплюється навколо конічного дефлектора.
Конвеєрна стрічка, показана нижче, рухається з постійною швидкістю\(v_{\mathrm{o}} = 24 \ \mathrm{ft} / \mathrm{s}\). Довжина пояса дорівнює\(L=20 \ \mathrm{ft}\).
(а) Визначте кут,\(\alpha\) для якого пісок осідає на запас при B.
(b) Якщо пісок падає практично з нульовою швидкістю на конвеєр з постійною швидкістю,\(\dot{\mathrm{m}}=100 \ \mathrm{lbm} / \mathrm{s}\) як показано нижче, визначте величину чистої сили,\(\mathrm{P}\) необхідної для підтримки постійної швидкості стрічки\(v\) (використовуйте менший з двох кутів з частини а). Примітка: не\(\mathrm{P}\) буде діяти на вказаному нижче місці - його розміщують там тільки для зручності. Припустимо, можна знехтувати масою пояса, але не масою піску на стрічці.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{7}\): Пісок падає на похилу стрічку конвеєра і дуги від кінця стрічки.
Опір\(R\) проникненню\(0.25 \mathrm{~kg}\) снаряда, випущеного зі швидкістю\(600 \ \mathrm{m} / \mathrm{s}\) в певний блок волокнистого матеріалу, показано на графіку нижче. Представляють цей опір пунктирною лінією і обчислюють швидкість снаряда на мить, коли\(x=25 \mathrm{~mm}\) якщо снаряд приведений в спокій після повного проникнення\(75 \mathrm{~mm}\).
Малюнок\(\PageIndex{8}\): Графік опору проникненню блоку проти відстані, проникненого в блок снарядом.
На\(125 \ \mathrm{lb}\) блок спочатку в стані спокою діє сила,\(\mathbf{P}\) яка змінюється, як показано на малюнку. Знаючи, що коефіцієнти тертя між блоком і горизонтальною поверхнею є\(\mu_{\mathrm{s}}=0.50\) і\(\mu_{\mathrm{k}}=0.40\), визначають
(а) час, коли блок почне рухатися
(б) максимальна швидкість, досягнута блоком
(c) час, в який блок припинить рух.
.jpg)
Рисунок\(\PageIndex{9}\): Графік, що показує зміну часу сили, що чиниться на блок.
Ящики\(\mathrm{A}\) і\(\mathrm{B}\) знаходяться в стані спокою на конвеєрній стрічці, яка спочатку знаходиться в стані спокою. Пояс раптово почав у напрямку вгору, так що між поясом і коробками відбувається ковзання. Коефіцієнти кінетичного тертя між ременем і коробками становлять\(\left(\mu_{\mathrm{k}}\right)_{\mathrm{A}}=0.30\) і\(\left(\mu_{\mathrm{k}}\right)_{\mathrm{B}}=0.32\).
(а) Визначте початкове прискорення кожної коробки.
(b) Якщо два блоки залишаються в контакті, скільки часу їм знадобиться для подорожі\(3 \ \mathrm{ft}\)? Якщо вони розділяться, якою буде відстань між двома блоками після того, як\(\mathrm{A}\) пройшов ухил\(3 \ \mathrm{ft}\)?
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{10}\): Система, де дві коробки в контакті спираються на похилу стрічку конвеєра.
Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між\(20 \mathrm{-kg}\) блоком\(\mathrm{A}\) і\(100 \mathrm{-kg}\) візком\(\mathrm{B}\) дорівнює\(0.50\), а коефіцієнт статичного тертя дорівнює\(0.55\), визначають прискорення кожного блоку при:
а)\(\mathrm{P}=40 \mathrm{~N}\),
б)\(\mathrm{P}=60 \mathrm{~N}\),
в)\(\mathrm{P}=100 \mathrm{~N}\).
Малюнок\(\PageIndex{11}\): Зусилля прикладається до коробки, укладеної на інший ящик, який може котитися.
(Підказка: Щоб визначити, чи ковзає A на B, припустимо, що це не так, а потім вирішити силу тертя і порівняти з\(\mu_{s} N\))
(модифікована версія проблеми взята з V ector Mechanics for Engineers by Beer and Johnson)
\(10 \text{-kg}\)Пакет падає з жолоба у\(25 \text{-kg}\) візок зі швидкістю\(3 \ \mathrm{m} / \mathrm{s}\). Знаючи, що візок спочатку знаходиться в стані спокою і може вільно котитися, визначаємо
(а) кінцева швидкість візка
(б) імпульс, що чиниться візком на упаковці.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{12}\): Коробка падає під кутом у бік відкритого візка.
(модифікована версія завдання взята з векторної механіки для інженерів Біром та Джонсоном)
На перехресті автомобіль\(\mathrm{B}\) їхав на південь і автомобіль\(\mathrm{A}\) їхав 30 градусів на північ від сходу, коли вони врізалися один в одного. За фактом розслідування було встановлено, що після аварії два автомобілі застрягли і занесли під кутом 10 градусів на північ від сходу. Кожен водій стверджував, що він їде на обмеження швидкості\(50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) і що він намагався сповільнити швидкість, але не міг уникнути аварії, тому що інший водій їхав набагато швидше. Знаючи масу двох автомобілів\(\mathrm{A}\) і\(\mathrm{B}\) були\(1500 \ \mathrm{kg}\) і\(2000 \ \mathrm{kg}\), відповідно, визначають
(а) який автомобіль їхав швидше
(б) швидкість швидшого автомобіля, якщо повільніший автомобіль їхав з обмеженням швидкості.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{13}\): Напрямки руху двох автомобілів, до і після їх зіткнення.
(модифікована версія завдання взята з векторної механіки для інженерів Біром та Джонсоном)
Мати і її дитина катаються на лижах разом, а мати тримає кінець мотузки, прив'язаний до талії дитини. Вони рухаються зі швидкістю по\(7.2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) рівній ділянці лижної траси, коли мати спостерігає, що вони наближаються до крутого спуску. Вона вирішує потягнути за мотузку, щоб зменшити швидкість своєї дитини. Знаючи, що цей маневр змушує швидкість дитини скорочуватися навпіл\(3 \mathrm{~s}\) і нехтуючи тертям, визначте
(а) швидкість матері в кінці\(3 \text{-s}\) інтервалу
(б) середнє значення натягу в мотузці протягом цього часового інтервалу.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{14}\): Мати і дитина на лижах одиночний напилок, з'єднаний мотузкою
(взято з основ механіки рідини Герхарта, Гросса та Хохштейна)
Вуглецева сталь,\(14 \text{-in}\) зовнішній діаметр (\(13.25 \text{-in}\)внутрішній діаметр), графік\(30\),\(90^{\circ}\) лікоть повинен бути стиковий зварений до труби, що несе воду в\(Q=4000 \ \mathrm{gal} / \mathrm{min}\).
Знайдіть зусилля, необхідне в зварювальному шві для підтримки ліктя. Лікоть важить\(150 \ \mathrm{lbf}\). Щільність води становить\(1.94 \ \mathrm{slug} / \mathrm{ft} ^{3}\).
(Підказка: Маса води приблизно дорівнює тому,\(\mathrm{m}_{\mathrm{w}} \approx \left(\pi D^{2} / 4 \right) L \rho\) де\(D\) знаходиться внутрішній діаметр труби і\(L\) довжина дуги, пов'язана з\(Re\).)
Малюнок\(\PageIndex{15}\): Вода рухається вгору по вертикальній трубі, привареної до\(90^{\circ}\) ліктя.
\(0.02 \mathrm{~kg}\)Куля вдаряє блок\(\mathrm{A}\) зі швидкістю\(\mathrm{v}_{0}=150 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), як показано нижче. Маси блоків наведені на малюнку. Припустимо, що куля потрапляє в\(\mathrm{A}\) і час удару дуже малий.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{16}\): Куля рухається до одного з двох складених блоків.
Визначте:
(а) швидкість\(\mathrm{A}\) після удару,
(b) прискорення\(\mathrm{A}\) і\(\mathrm{C}\) після удару, і
(c) час, який знадобиться для блоку,\(\mathrm{C}\) щоб припинити ковзати на блоці\(\mathrm{A}\). (Припустимо, блок\(\mathrm{A}\) досить великий,\(\mathrm{C}\) щоб не впасти з нього.)
Підказки: Сила тертя між блоками не є імпульсною силою. Між блоками буде відбуватися ковзання.
Частка рухається по прямій лінії в горизонтальній площині. Маса частинки становить\(0.10 \mathrm{~kg}\). Прискорення частинки описується наступним рівнянням:\[a =\frac{dv}{dt} = A - B t^2 \nonumber \] де\(A= \text{constant}\) і\(B=6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{4}\). Про рух частинки відома наступна додаткова інформація:\[\text { At } t=0: \quad x=x_{0}=8 \mathrm{~m}, \,\, V=V_{0}=0 \quad \text { and } \quad \text { At } t=1 \text { second: } \quad V=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \nonumber \]
(а) Визначте час (и), коли швидкість дорівнює нулю.
(b) Визначте загальну пройдену відстань, коли\(\mathrm{t}=5 \ \mathrm{sec}\). (Зверніть увагу, що зміна положення не\(\mathrm{x}\) збігається з пройденою дистанцією.)
(c) Побудувати прискорення, швидкість і положення частинки для\(0 \leq \mathrm{t} \leq 5 \mathrm{~seconds}\). Визначте час (и), коли рух частинки змінює напрямок.
(d) За той же проміжок часу, що і в частині (c), побудуйте лінійний імпульс частинки, швидкість зміни лінійного імпульсу частинки та чисту зовнішню силу на частинку в горизонтальній площині. Визначте час (и), коли чиста зовнішня сила змінює напрямок.
(e) Обговоріть, як час (и), який ви обчислювали в частині (c), коли частка змінила напрямок руху, відноситься до часу (ів), який ви обчислювали в частині (d), коли чиста зовнішня сила змінює напрямок. Чи є якесь відношення?
(Адаптовано з інженерної механіки: Статика Бедфорда та Фаулера, Еддісон-Веслі)
Малюнок\(\PageIndex{17}\): Світлофор звисає від кабелів, підключених до двох стовпів.
\(140 \text{-kg}\)Світлофор підвішується над вулицею двома тросами, як показано на малюнку вище. У вітряний день вітер дме зліва направо по фігурі і створює горизонтальну силу\(200 \mathrm{~N}\) на світлофорі. Припустимо, що прогин світлофора від вертикальної орієнтації через поперечного вітру незначний.
(а) Починаючи з форми швидкості збереження лінійного імпульсу, використовуйте замкнуту систему, показану пунктирними лініями на малюнку, щоб вирішити напругу в кабелі\(AB\) та\(AC\) з силою бокового вітру та без неї.
(b) Як би змінився ваш аналіз для (а), якби ваша система включала лише перетин двох кабелів та світлофора, як показано всередині світло-сірого пунктирного кола? Як би ви впоралися з силою, прикладеною висячим світлофором?
\(30 \text{-kg}\)Пакет ставиться під нахилом, коли до нього\(\mathbf{P}\) прикладається сила, як показано на малюнку. Коефіцієнти статичного і кінетичного тертя між пакетом і нахилом є\(0.2\) і\(0.1\), відповідно. Рух упаковки залежить від величини сили\(\mathbf{P}\).
Малюнок\(\PageIndex{18}\): Пакет, що спирається на пандус, відчуває\(\mathbf{P}\) прикладену до нього силу.
(а) Визначити діапазон значень,\(\mathbf{P}\) для яких пакет залишатиметься нерухомим на похилій площині.
(б) Припускаючи, що пакет спочатку нерухомий, визначте його швидкість і положення через 10 секунд після того, як сила\(\mathbf{P}\) зменшиться до нуля, т\(\mathbf{P}=0\).
Маса Блоку\(A\) є\(30 \mathrm{~kg}\) і маса Сфери\(B\) є\(5 \mathrm{~kg}\). Блок\(A\) ковзає по поверхні, і в міру ковзання Сфера\(B\) може вільно переміщатися, як показано на малюнку. Коефіцієнт кінетичного тертя між Блоком\(A\) і поверхнею дорівнює\(0.24\). Припустимо, що ланка, що з'єднує блок і сферу, має незначну масу.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{19}\): Сфера звисає з блоку, що ковзає по поверхні.
(а) Визначте числове значення сили\(F\), якщо кут\(\theta=20^{\circ}\) постійний.
(b) Чи лінійний імпульс блоку збільшується, зменшується або постійний? Блок прискорюється, уповільнює або рухається з постійною швидкістю?
(в) Визначити величину і напрямок сили ланки, що діє на сферу. Чи є напруга або стиснення в ланці, що з'єднує Блок\(A\) і Сфера\(B\)?
В електронно-променевої трубці електрон з масою\(m\) потрапляє в зазор між двома зарядженими пластинами в Точці\(O\) зі швидкістю\(\mathbf{V}=V_{o} \mathbf{i}\). Поки він знаходиться між зарядженими пластинами, електричне поле, що генерується пластинами, піддає електрон силі,\(\mathbf{F}=-e E \mathbf{j}\) де\(e\) є заряд електрона і\(E\) є напруженістю електричного поля. Відстань між пластинами є\(2 h\), довжина заряджених пластин є\(l\), а відстань до екрану -\(L\). (Див. Малюнок нижче.) Припустимо, що гравітаційними силами можна знехтувати і що зовнішні сили на електрон незначні, коли він не знаходиться між пластинами заряду.
Малюнок\(\PageIndex{20}\): Електрон проходить між протилежно зарядженими пластинами для впливу на екран.
(а) Починаючи з відповідних відносин збереження та обліку, розробити вираз для розташування точки удару електрона з екраном. Ваша відповідь повинна бути представлена в терміні початкової швидкості електрона\(\left(V_{o}\right)\), маси електрона\((m)\), заряду електрона\((e)\), напруженості електричного поля\((E)\), а також розмірів\(h, \ l,\) і\(L\). Чітко визначте свою систему і покажіть, як ви використовуєте матеріал у проблемі та будь-які додаткові припущення, щоб розробити свою відповідь.
(б) Намалюйте шлях електрона на малюнку.
(c) Обчисліть відхилення з точки зору,\(h\) якщо відомі наступні числові значення:\[ \begin{aligned} & V_{o}=2.2 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \quad m=9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ; \quad e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \text { (coulombs); } \quad E=15 \ \mathrm{kN} / \mathrm{C} \\ & L=100 \mathrm{~mm} ; \quad l=30 \mathrm{~mm} \end{aligned} \nonumber \]
Блок з масою\(m=200 \mathrm{~kg}\) спирається на похилу площину з прикладеною навантаженням\(\mathbf{P}\). Залежно від величини\(\mathbf{P}\), блок може рухатися вгору по нахилу, вниз по ухилу або залишатися нерухомим. Між поверхнями контакту коефіцієнт статичного тертя дорівнює\(\mu_{\mathrm{s}}=0.25\) і коефіцієнт кінетичного тертя дорівнює\(\mu_{\mathrm{k}}=0.20\).
Визначте діапазон величини горизонтальної сили\(\mathbf{P}\), в Ньютонах, яка буде тримати блок в рівновазі, тобто не рухаючись.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{21}\): Блок неправильної форми, що спирається на нахил, відчуває силу\(\mathbf{P}\).
Канальний блок вентилятора, показаний на малюнку, має масу\(m=100 \mathrm{~kg}\) і спирається у вертикальному положенні на своєму фланці\(A\). Агрегат втягує повітря з щільністю\(\rho=1.200 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\) і швидкістю\(V_{1}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) через вхідний отвір діаметром\(D_{1}=1.00 \mathrm{~m}\). Він скидає повітря через два виходи в нижній частині вентилятора. Масова витрата через кожне випускне отвір становить\(1 / 2\) вхідну масову витрату, а швидкість на кожному виході -\(V_{2}=V_{3}=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Як вхідний, так і вихідний тиск є атмосферними.
Визначте вертикальну силу\(R\), в Ньютоні, прикладену до фланця вентиляторного блоку опорами.
Малюнок\(\PageIndex{22}\): Вентиляторний блок утримується у вертикальному положенні фланцевим верхнім ободом.
Обрешітку з масою\(m=500 \ \mathrm{lbm}\) кріплять до моторизованої лебідки і розташовують на похилій доці з кутом нахилу\(\theta=30^{\circ}\), як показано на малюнку. Лебідка надає силу натягу\(T\) на обрешітку через трос лебідки. Коефіцієнти тертя між обрешіткою та поверхнею дока призначені\(\mu_{\mathrm{s}}=0.30\) для статичного тертя та\(\mu_{\mathrm{k}}=0.25\) кінетичного тертя.
Спочатку обрешітка нерухома, а гальмо лебідки увімкнено, щоб запобігти будь-якому руху. Раптово при\(t=0\), гальмо відпускається і лебідка чинить постійну силу натягу\(T=100 \ \mathrm{lbf}\) на обрешітку. У\(t>2\) секундах сила натягу, що чиниться лебідкою на обрешітку, раптово збільшується до постійної величини\(T=400 \ \mathrm{lbf}\).
2 секунди, лебідка працює з силою натягу кабелю 400 фунтів на секунду.» src =»/@api /deki/файли/54938/screenshot_ (79) .png">
Малюнок\(\PageIndex{23}\): Обрешітку підтягують до пандуса тросом, прикріпленим до лебідки. Натяг кабелю змінюється в залежності від часу.
(а) Розглянемо зусилля на нерухомій обрешітці при включеному гальмі лебідки і знайдіть значення або діапазон значень сили натягу в цих\(T\) умовах.
(b) Розгляньте рух обрешітки,\(0 \leq t \leq 2 \mathrm{~s}\) коли сила натягу є\(T=100 \ \mathrm{lbf}\). Знайдіть прискорення, швидкість і положення ящика в\(t=2\) секундах.
(c) Розгляньте рух обрешітки за період,\(t>2 \mathrm{~s}\) коли сила натягу є\(T=400 \ \mathrm{lbf}\). Якісно опишіть, як рухається обрешітка в цей період (Будьте лаконічні; використовуйте слова, а не цифри!)
(d) Обчисліть імпульс для сили натягу\(T\) протягом інтервалу часу\(t=0\) до\(4 \ \mathrm{s}\). Обов'язково вказуйте як напрямок, так і величину.
Вас попросили дослідити продуктивність реактивного човна за допомогою водного каналу, де швидкість води\(V_{\text {water}}\) може бути змінена за потребою. Човен поміщають в канал і прив'язують так, щоб вона була нерухомою. Човен реактивний за допомогою насоса, який розвиває постійний об'ємний витрата води,\(\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-} _{\text {pump}}\). Вода потрапляє в кормову (передню) частину човна через область\(A_{1}\) і виходить на кормі (ззаду) через область\(A_{2}\).
Вода, що протікає по корпусу човна, чинить силу опору на човні в напрямку тече вода. Ця горизонтальна сила опору, яка включає чисті сили тиску на корпус, задається наступним рівнянням:\[F_{\text {drag}}=k V_{\text {water}}^{2} \nonumber \] де\(k\) постійна.
Припустимо, що кут\(\theta\) і щільність\(\rho\) води відомі.
а) Знайти вирази для швидкостей води\(V_{1}\) і\(V_{2}\) в перерахунку на витрату насоса,\(\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{\text{pump}}\).
б) Знайти вираз для об'ємного витрати через насос\(\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{\text {pump}}\) в залежності від швидкості води в каналі\(V_{\text {water}}\), коли напруга в тросі дорівнює нулю, т\(\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{\text {pump}} = f\left(V_{\text {water}} \right)\).
Малюнок\(\PageIndex{24}\): Вода надходить на корабель для відкачування з іншого боку.
\(10 \mathrm{-kg}\)Сталева сфера підвішена до\(15 \mathrm{-kg}\) рами, а комбінація сфера-рама ковзає вниз під\(20^{\circ}\) нахилом, як показано на малюнку. Коефіцієнт кінетичного тертя між рамою і ухилом дорівнює\(\mu_{\mathrm{k}}=0.15\).
Визначте напругу в кожному з підтримуючих проводів, в ньютонах.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{25}\): Сфера, підвішена в прямокутній рамі двома тросами, ковзає вниз під нахилом.
Ви були найняті NASCAR для аналізу впливу автомобіля в стіну. Для аварії нижче вирішіть для середніх реакцій (\(R_{x, \text { avg}}\)і\(R_{y, \text { avg}}\)) стіни на автомобіль з точки зору маси транспортного засобу\(m\), початкової швидкості, кута\(V_{1}\), відстаней\(h\) і\(\theta\), і часового інтервалу\(d\),\(\Delta t=t_{2} - t_{l}\) що передбачає транспортний засіб доходить до повної зупинки протягом часового інтервалу.
Сміливо припускайте, що автомобіль залишається прямокутником під час удару.
Малюнок\(\PageIndex{26}\): Вид зверху вниз автомобіля, що рухається до стіни.
\(B\)Блоки\(A\) і ідентичні і кожен має масу\(10 \mathrm{~kg}\). Блок\(B\) знаходиться в стані спокою, коли він потрапляє в блок\(A\), який рухається зі швидкістю\(V_{\mathrm{A}}=6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) безпосередньо перед ударом. Блоки\(A\) і\(B\) злипаються після удару, і ви можете знехтувати тертям під час удару.
Після удару швидкість блоків\(A\) і\(B\) зменшується за рахунок тертя. Коефіцієнт кінетичного тертя між усіма поверхнями дорівнює\(\mu_{\mathrm{k}}=0.20\).
(а) Визначити швидкість блоку\(A\) і\(B\) відразу після\(A\) ударів\(B\).
(б) Визначити імпульс сили блоку\(A\) на блок\(B\) під час удару.
(c) Визначити час, необхідний для швидкості блоків, щоб опуститися\(1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).
(г) Визначити відстань, пройдену блоками за цей проміжок часу.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{27}\): Поведінка блоків до і після удару.
Шматок дерева утримується в спокої на гладкій (без тертя) похилій площині упорним блоком в\(A\). Куля рухається, як показано на малюнку зі швидкістю,\(V\) коли вона стає вбудованою в блок. Вбудовування займає короткий час,\(\Delta t\). Маса деревини є\(m_{w}\), маса кулі -, кут нахиленої площини -\(m_{\mathbf{B}}\)\(\theta\), а прискорення за рахунок сили тяжіння -\(g\).
Надайте символічні рішення, щоб відповісти на наступні питання:
(а) Яка швидкість\(V_{a}\) кулі/дерева відразу після того, як куля стає вбудованою? НАЛАШТУВАТИ, АЛЕ НЕ ВИРІШУВАТИ. Чітко показати, як ви б використовувати ваші рівняння для вирішення\(V_{a}\)
Для решти питань, ви можете припустити, що\(V_{a}\) відомо.
(б) Яка середня імпульсна сила, що діє на кулю під час удару?
(c) Яке рівняння швидкості зміни швидкості кулі/деревини після удару?
Малюнок\(\PageIndex{28}\): Куля наближається до дерев'яного клину, утримуваного на місці на пандусі.
Солона вода\(\left( \rho=1025 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right)\) надходить у вертикальну трубу з об'ємною швидкістю потоку\(0.5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\) і скидається в атмосферу з двох\(30^{\circ}\) виходів, як показано на малюнку. Потік ділиться порівну між двома виходами.
Кожен з нагнітальних патрубків має вихідний діаметр\(10.0 \mathrm{~cm}\) і внутрішній діаметр труби на\(A \text{-} A\) перетині\(25 \mathrm{~cm}\). Тиск води на ділянці\(A \text{-} A\) є,\(550 \ \mathrm{kPa}\) а атмосферний тиск є\(100 \ \mathrm{kPa}\). Труба над фланцем і вода всередині нього має масу\(60 \mathrm{~kg}\).
Визначте сумарне зусилля, що чиниться нижньою трубою на ділянці труби над фланцем\(A \text{-} A\). Вкажіть як його величину, в Ньютонах, так і його напрямок.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{29}\): Солона вода стікає по вертикальній трубі і з двох кутових сопел.
Реактивний двигун з випускним патрубком монтується на випробувальний стенд так, як показано на малюнку. Двигун встановлений так, як показано на двох ангарах і діагональної скобі. Всі з'єднання з фрикційними штифтовими з'єднаннями.
Малюнок\(\PageIndex{30}\): Реактивний двигун висить з випробувального стенду, що складається з трьох стійок.
Інформація про площу потоку, тиску і швидкості повітря в трьох місцях вздовж двигуна наведена в таблиці. При стаціонарній роботі повітря всмоктується у вхідний отвір зі швидкістю\(30 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}\).
Визначте напрямок і величину сили\(T\) в діагональній дужці. Підтяжка в напрузі або стисненні?
| Сек. 1 | сек. 2 | сек. 3 | ||
|---|---|---|---|---|
| Площа потоку | \(\mathrm{m}^{2}\) | \(0.15\) | \(0.16\) | \(0.06\) |
| Тиск | \(\mathrm{kPa}\) | \(84\) | \(240\) | \(114\) |
| Швидкість повітря | \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\) | \(120\) | \(315\) | \(600\) |
Куля вдаряє і поглядає з плоскої пластини, як показано на малюнку. Пластина спирається на нефрикційну горизонтальну поверхню. Спочатку куля має швидкість руху\(800 \ \mathrm{ft} / \mathrm{s}\) і пластина нерухома. Після удару по тарілці швидкість кулі дорівнює\(600 \ \mathrm{ft} / \mathrm{s}\).
Визначте кінцеву швидкість плити. \[\begin{aligned} &m_{\text {Bullet }}=0.05 \ \mathrm{lbm} \\ &m_{\text {Plate }}=3 \ \mathrm{lbm} \end{aligned} \nonumber \]
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{31}\): Куля вдаряє плоску пластину під кутом і відкидає погляд.
Вантажівка їде вниз довгий стійкий клас\(\left(\theta=15^{\circ}\right)\), як показано на малюнку. Обрешітка має масу\(m_{\text {Crate}} =500 \mathrm{~kg}\) з висотою\(H=1 \mathrm{~m}\) і довжиною\(L=2 \mathrm{~m}\). Обрешітка спирається на ліжко причепа, а поверхня має статичний коефіцієнт тертя\(\mu_{\mathrm{S}}=0.4\) і кінетичний коефіцієнт тертя\(\mu_{\mathrm{K}}=0.3\). Щоб вантаж не зміщувався, водій повинен обмежити своє гальмування.
Визначте максимально можливе уповільнення вантажівки, якщо обрешітка не ковзає по станині причепа.
Малюнок\(\PageIndex{32}\): Вантажівка, що перевозить ящик на своєму ліжку, рухається вниз по стійкому класу.
Два блоку спираються на похилу площину з\(\theta=35^{\circ}\) таким, як показано на малюнку. Блок\(A\) має масу,\(m_{A}=13.5 \mathrm{~kg}\) а блок\(B\) має масу\(m_{B}=40 \mathrm{~kg}\). Коефіцієнти статичного і кінетичного тертя між усіма поверхнями є\(\mu_{S}=0.3\) і\(\mu_{k}=0.2\), відповідно. Спочатку блоки нерухомі і спираються на упорний блок і провід фіксованої довжини, як показано на малюнку.
Коли блок зупинки знімається, блок\(B\) негайно починає рухатися, оскільки кут\(\theta\) досить великий, щоб виробляти рух.
Знайдіть прискорення блоку\(B\) і натяг в дроті відразу після зняття стопорного блоку.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{33}\): Блоки, укладені під нахилом, утримуються нерухомо упорним блоком і дротом, прикріпленим до опори.
Показаний кабріолет рухається з постійною швидкістю\(\mathrm{v}_{\mathrm{c}}\), у показаному напрямку. У мить показаний пасажир в машину кидає м'яч з машини. Величина і напрямок початкової швидкості кулі по відношенню до автомобіля\(\mathrm{v}_{0}\), показані на малюнку. М'яч б'є об землю\(30 \ \mathrm{ft}\) праворуч від точки, з якої він був випущений.
Малюнок\(\PageIndex{34}\): Автомобіль пасажир кидає м'яч вгору і навпаки напрямку руху автомобіля.
а) Скільки часу потрібно м'ячу, щоб вдарити об землю з моменту його випуску?
б) Яка швидкість руху автомобіля?
Візок має масу\(\mathrm{M}\) і утримує воду, яка має масу\(m_{0}\). Якщо насос викидає воду через сопло, що має площу\(\mathrm{A}\) поперечного перерізу з постійною швидкістю\(\mathrm{v}_{0}\) щодо візка, визначають швидкість візка в залежності від часу. Яку максимальну швидкість розвиває візок, припускаючи, що вся вода може бути відкачана? Припустимо, що опір тертя для руху вперед є\(\mathrm{F}\) і щільність води є\(\rho\).
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{35}\): Вода на рухомому візку стабільно відкачується з візка.
Двоє плавців\(A\) і\(B\), з маси\(75 \mathrm{~kg}\) і\(50 \mathrm{~kg}\), відповідно, пірнають з кінця\(200 \text{-kg}\) човна. Кожен плавець має відносну горизонтальну швидкість\(3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) при виході з човна. Якщо човен спочатку знаходиться в стані спокою, визначте його кінцеву швидкість, припускаючи, що (а) два плавці пірнають одночасно, (б) плавець\(A\) пірнає першим, (в) першим\(B\) пірнає плавець.
.jpg)
Малюнок\(\PageIndex{36}\): Два плавця шикуються в лінію, щоб пірнути з кінця човна.