3.3: Збереження рівняння маси

Рекомендованою відправною точкою для застосування рівняння збереження маси є норма-форма балансу маси (збереження рівняння мас):

\[\frac{d m_{sys}}{d t} m= \sum_{in} \dot{m}_{i} - \sum_{out} \dot{m}_{e} \nonumber \]

де\(m_{sys}=\int_{V_{ms}} \rho \ dV\), маса системи, а\(\dot{m}\) це масова витрата через межу системи.

При застосуванні швидкісної форми збереження рівняння маси до системи існує багато поширених моделюючих припущень, які можуть бути використані для налаштування математичної моделі фізичної системи. Вони детально описані в наступних параграфах.

Стаціонарна система: Для стаціонарної системи всі екстенсивні та}}\) інтенсивні властивості не залежать від часу. Таким чином

\[\underbrace{\frac{d m_{sys}}{dt}}_{=0, \, \mathrm{SS}} = \sum_{in} \dot{m}_{i} - \sum_{out} \dot{m}_{e} \,\, \Rightarrow \,\, 0=\sum_{in} \dot{m}_{i}-\sum_{out} \dot{m}_{e} \nonumber \]

Нестисливе речовина: Нестисливе речовина - це та, для якої щільність ніколи не змінюється. У цих умовах масову витрату можна записати через щільність і об'ємну витрату:

\[ \begin{align*} &\dot{m} = \int\limits_{A_c} \rho V_{rel, n} \ dA = \rho \int\limits_{A_c} V_{rel, n} \ dA \,\, \Rightarrow \,\, \dot{m} = \rho \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-} \\ &m_{sys} = \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys}} \rho \ d V\kern-0.5em\raise0.3ex- = \rho \int\limits_{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{sys}} \,\, \Rightarrow \,\, m_{sys} = \rho V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{sys} \end{align*} \nonumber \]

Перевірте своє розуміння

Хоча це не є основним законом, для опису поведінки систем часто використовується наступне рівняння, що включає об'єм системи та об'ємні витрати.

\[ \frac{d V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys}}{dt} = \sum_{in} \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_i - \sum_{out} \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{e} : \nonumber \]

Які умови (або моделювання припущення) повинні застосовуватися, щоб це рівняння було дійсним? Спробуйте почати з Eq. \(\PageIndex{1}\)і вивести це рівняння для обсягу.

Одновимірний потік з рівномірною щільністю на межі потоку: За цих умов і щільність, і швидкість виходять за межі інтеграла, даючи

\[ \dot{m} = \int\limits_{A_c} \rho V_{rel, n} \ dA = \rho V_{rel, n} \int\limits_{A_c} dA \,\, \Rightarrow \,\, \dot{m} = \rho A_c V \nonumber \]

де швидкість, яка\(V\) використовується при розрахунку масової витрати, приймається складовою швидкості маси, що перетинає межу, яка є нормальною до межі і вимірюється відносно кордону (незалежно від того, рухається чи нерухома межа).

Будь ласка, визнайте, що ви не повинні концентруватися на або запам'ятовувати остаточну форму рівнянь, розроблених вище. Ваша увага повинна бути зосереджена на розумінні припущень та вивченні того, як вони впливають на керуючі рівняння. Як ви дізнаєтеся пізніше, припущення та їх вплив будуть використані неодноразово у цих примітках, щоб допомогти розробити математичні моделі для фізичних систем.

Також іноді потрібно застосувати збереження рівняння маси до процесу скінченного часу, коли вам цікаво пов'язати те, що було відомо в якийсь час\(t_1\) з деяким пізніше\(t_2\). Знову ж таки, замість того, щоб запам'ятовувати спеціальну форму рівняння, просто інтегруйте форму швидкості збереження рівняння маси, як показано нижче:

\[\begin{align*} &\int\limits_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{d m_{sys}}{dt} \right] \ dt = \int\limits_{t_1}^{t_2} \left[ \sum_{in} \dot{m}_i - \sum_{out} \dot{m}_e \right] \ dt \\[4pt] &\int\limits_{m_{sys, 1}}^{m_{sys, 2}} \ dm_{sys} = \int\limits_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{in} \dot{m}_{i} \right) \ dt - \int\limits_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{out} \dot{m}_{e} \right) \ dt \\[4pt] &m_{sys, 2} - m_{sys, 1} = \sum_{in} m_{i} - \sum_{out} m_{e} \end{align*} \nonumber \]де

\(m_{sys, 2}; \, m_{sys, 1} \, =\)маса всередині системи за часом\(t_2\) і\(t_1\), відповідно.

\(m_{i} \equiv \int\limits_{t_1}^{t_2} \dot{m}_{i} \ dt \, =\)кількість маси, що транспортується в систему за проміжок часу\(t_1\) до\(t_2\). (Це НЕ зміна маси!)

Наступні приклади демонструють різні застосування збереження рівняння маси до різних задач.

Приклад - Випаровування ацетону

Відкрита колба заповнюється ацетоном. Спочатку колба містить\(25 \mathrm{~kg}\) ацетон. Через дві години частина ацетону випаровується і колба містить\(23 \mathrm{~kg}\) ацетон. Приймаючи в своїй системі рідкий ацетон, дайте відповідь на наступні питання, застосовуючи консервацію маси:

Що таке накопичення ацетону протягом двох годин, в\(\mathrm{kg}\)?

Скільки ацетон випаровувався протягом двох годин, в\(\mathrm{kg}\)?

Яка середня швидкість випаровування за цей часовий проміжок, в\(\mathrm{kg} / \mathrm{s}\)?

Рішення

Відомо: Ацетон випаровується з відкритої колби

Знайти: Накопичення ацетону, в\(\mathrm{kg}\).

Кількість ацетону, що випаровується, в\(\mathrm{kg}\).

Середня швидкість випаровування за цей період, в\(\mathrm{kg} / \mathrm{h}\).

Дано:

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ацетон випаровується з колби протягом 2 годин, при цьому маса системи зменшується з 25,0 кг до 23,0 кг.

Аналіз:

Стратегія\(\rightarrow\) Що таке система? Рідкий ацетон, як запропоновано в постановці проблеми.

На що ми повинні розраховувати? Маса ацетону.

Який часовий період? Кінцевий часовий проміжок 2 години.

Вибравши рідкий ацетон в якості системи, як показано на малюнках вище, ми маємо відкриту систему і відбувається тільки одна взаємодія з навколишнім, масова витрата ацетону з системи за рахунок випаровування. Це відбувається на вільній поверхні рідини в колбі.

Запис швидкісної форми збереження рівняння маси для цієї системи ми маємо

\[\frac{d m_{sys}}{dt} = \underbrace{ \cancel{ \sum_{in} \dot{m}_i } }_{\text {no inlet flows }}^{=0} \underbrace{ \cancel{ \sum_{out} \dot{m} i_e } }_{\text {only one outlet flow}} = \dot{m}_{\text {evap}} \quad \Rightarrow \quad \frac{d m_{\text {sys}}}{d t} = -\dot{m}_{\text {evap}} \nonumber \]

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Швидкість масового потоку з системи.

Щоб знайти накопичення, треба розуміти, що накопичення маси в системі - це зміна маси системи

\[\Delta m_{sys} = m_{sys, 2} - m_{sys, 1} = (23.0 \mathrm{~kg})-(25.0 \mathrm{~kg})=-2.0 \mathrm{~kg} \nonumber \]При цьому накопичення маси в системі відбувається\(-2.0 \mathrm{~kg}\) з ацетону.

Щоб знайти масу ацетону, яка випарувалася протягом цих двох годин, ми повинні звернутися до збереження рівняння маси, розробленого вище. Оскільки ми хочемо, щоб кількість маси випаровувалася, а не швидкість випаровування, ми повинні інтегрувати рівняння швидкості протягом двогодинного періоду.

\[\frac{d m_{sys}}{d t} = -\dot{m}_{evap} \quad \rightarrow \quad \int\limits_{t_1}^{t_2} \left( \frac{d m_{sys}}{d t} \right) \ dt = \int\limits_{t_1}^{t_2} \left( -\dot{m}_{evap} \right) \ dt \quad \rightarrow \quad \int\limits_{m_{sys,1}}^{m_{sys, 2}} dm_{sys} = -\int\limits_{t_1}^{t_2} \dot{m}_{evap} \ dt \quad \rightarrow \quad \Delta m_{sys} = -m_{evap} \nonumber \]

Ліва сторона якраз дорівнює накопиченню маси в системі, а права - це кількість маси, що транспортується з системи шляхом масопередачі протягом проміжку часу. При цьому кількість маси, що випарується, становить\[m_{evap} = -\Delta m_{sys} \quad \rightarrow \quad m_{evap} = -(-2.0 \mathrm{~kg}) = 2.0 \mathrm{~kg} \nonumber \]

Зауважте, що ці дві величини насправді можуть бути обчислені незалежно один від одного за допомогою відповідних вимірювань. Зв'язок між цими величинами полягає в збереженні маси для цієї системи.

Щоб визначити середню швидкість випаровування, ми можемо переглянути скінченно-часову або інтегровану форму збереження рівняння маси

\[\frac{d m_{sys}}{dt} = -\dot{m}_{evap} \quad \rightarrow \quad \int\limits_{m_{sys, 1}}^{m_{sys, 2}} d m_{sys} = \underbrace{ -\int\limits_{t_1}^{t_2} \dot{m}_{evap} \ dt}_{\begin{array}{c} \text { assume mass flow } \\ \text { rate occurs at a } \\ \text{constant rate, } \dot{m}_{sys, evap} \end{array}} \quad \rightarrow \quad \Delta m_{sys} = -\dot{m}_{evap,avg} \Delta t \quad \rightarrow \quad \dot{m}_{evap, sys} = - \frac{\Delta m_{sys}}{\Delta t} \nonumber \]

Таким чином, середня швидкість випаровування становить

\[\dot{m}_{evap, avg} = -\frac{\Delta m_{sys}}{\Delta t} = -\frac{(-2.0 \ \mathrm{~kg})}{(2.0 \ \mathrm{hr})} = 1.0 \ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{hr}} \nonumber \]

Коментар:

Чи змінюється гучність системи? Якщо так, яку інформацію вам потрібно було б вирішити для зміни обсягу?

Як би змінилося ваше рішення, якби ви використовували закриту систему, яка складалася з усього ацетону?

Приклад - Шприц масляний балончик

Для змащення частини машини використовується підшкірний шприц. Внутрішній діаметр скляної шприц-трубки становить\(1.0 \ \mathrm{cm}\) і плунжер переміщається всередині трубки зі швидкістю\(0.5 \ \mathrm{~cm} / \mathrm{s}\). Голка шприца має внутрішній діаметр\(1.0 \ \mathrm{~mm}\). Скільки часу займе\(12 \ \mathrm{cc}\) скидання масла? Яка швидкість масла, коли воно залишає голку? (При необхідності можна припустити, що масло нестисливе, а потік в голці одновимірний.)

Рішення

Відомо: Для змащення деталей використовується підшкірний шприц.

Знайти: Об'ємний витрата масла з голки, в\(\mathrm{cm}^3 / \mathrm{s}\).

Час, необхідний для\(12 \ \mathrm{cc}\) скидання масла.

Швидкість вибризкування масла з голки, в\(\mathrm{cm} / \mathrm{s}\).

Дано:

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Установка шприца масла, при цьому поршень рухається вперед зі швидкістю\(0.5 \ \mathrm{cm/s}\).

Аналіз

Стратегія\(\rightarrow \quad\) Система\(\rightarrow\) Обсяг, зайнятий маслом всередині циліндра і голки

Властивість\(\rightarrow\) Підрахувати масу масла, так як обсяг пов'язаний з масою.

Часовий інтервал\(\rightarrow\) скінченного часу з моменту кількості екструдованого масла з урахуванням чистої швидкості.

Використовуючи об'єм масла всередині циліндра та голки як відкриту систему, ми можемо намалювати системну схему, що показує масові витрати.

Запис збереження рівняння маси для цієї системи дає

\[ \frac{d m_{sys}}{dt} = \underbrace{ \cancel{ \sum_{in} \dot{m}_i }^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{no inlets assuming} \\ \text{boundary at piston moves} \end{array}} - \underbrace{ \cancel{ \sum_{out} \dot{m}_e}^{= \dot{m}_{oil, out}} }_{\begin{array}{c} \text{one outlet assuming} \\ \text{no leakage at piston} \end{array}} \quad \rightarrow \quad \frac{d m_{sys}}{dt} = - \dot{m}_{oil, out} \nonumber \]

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Швидкість руху поршня і масовий витрата масла з системи.

Припускаючи рівномірну щільність для масла дає\(m_{sys}=\rho_{oil} V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys}\) і\(\dot{m}_{oil, out} = \rho_{oil} \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} \).

Підставляючи ці відносини назад в збереження рівняння маси, він стає

\[ \frac{d m_{sys}}{d t} = -\dot{m}_{oil, out} \quad \rightarrow \quad \frac{d}{d t} \left( \rho_{oil} V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys} \right) = -\rho_{oil} \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} \quad \rightarrow \quad \cancel{ \rho_{oil} } \frac{d}{d t} \left( V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys} \right) = - \cancel{ \rho_{oil} } \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} \quad \rightarrow \quad \frac{d V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys}}{d t} = -\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} \nonumber \]

Зауважте, що для цієї конкретної проблеми, здається, що обсяг зберігається; однак, загалом це не так, або існував би загальний закон збереження обсягу.

Думаючи про обсяг системи і про те, що межа у поршня рухається зі швидкістю\(V_{Piston}\), ми можемо уявити швидкість зміни об'єму системи в плані швидкості поршня і площі як

\[\frac{d V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys} }{d t} = -A_{Piston} V_{Piston} = -\left( \frac{\pi}{4} D^{2} \right) V_{Piston} \nonumber \](Чому у нас знак мінус?)

Тепер поєднання цього з результатом від консервації маси дає

\[\begin{align*} \frac{d V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys}}{d t} &= -\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} \\ -\left( \frac{\pi}{4} D^{2} \right) V_{Piston} &= -\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} \quad \rightarrow \quad \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} = \frac{\pi}{4} D^{2} V_{Piston} = \frac{\pi}{4} \left( 1.0 \ \mathrm{~cm}^{2} \right) \left( 0.5 \ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \right) = 0.393 \ \frac{\mathrm{cm}^{3}}{\mathrm{~s}} \end{align*} \nonumber \]

Тепер, щоб знайти час, необхідний для\(12.0 \ \mathrm{~cm}^{3}\) розбризкування, ми інтегруємо збереження масового результату

\[ \frac{d V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys}}{dt} = - \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} \quad \rightarrow \quad \int\limits_{ V\kern-0.5em\raise0.3ex- _{initial}}^{ V\kern-0.5em\raise0.3ex- _{final}} dV = - \int\limits_{t_{initial}}^{t_{final}} \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} \ dt \quad \rightarrow \quad \Delta V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys} = - \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} \Delta t \nonumber \]

\[ \Delta t = \frac{\Delta V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys}}{\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{sys}} = \frac{ (12.0 \ \mathrm{cm}^3) }{\left( 0.393 \ \frac{\mathrm{cm}^3}{\mathrm{s}} \right)} = 30.5 \ \mathrm{seconds} \nonumber \]

Тепер, щоб знайти швидкість виходу масла з голки, можна припустити одновимірний потік і використовувати визначення масової витрати

\[\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out} = A_{out} V_{out} \quad \rightarrow \quad V_{out} = \frac{\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out}}{A_{out}} = \frac{\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{out}}{\left( \frac{\pi}{4} D^{2} \right)} = \frac{\left( 0.393 \ \frac{\mathrm{cm}^{3}}{\mathrm{~s}} \right)}{\left( \frac{\pi}{4} \right)(0.1 \ \mathrm{~cm})^{2}}=50.0 \ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \nonumber \]

Коментар

Чи могли б ви вирішити цю проблему за допомогою недеформуючого регулюючого гучності? [Підказка: Розглядайте поршень, що входить в систему, як масову витрату. Потім визнайте, що маса в системі змінюється.]

Чи могли б ви вирішити цю проблему за допомогою деформуючої замкнутої системи? [Підказка: Розгляньте закриту деформуючу систему, яка включає все масло спочатку в об'ємі циліндра та голку.]

Приклад — Злив бензобака

Бензин перекачується в резервуар для зберігання об'ємом 1000 галонів зі швидкістю 10 галлонів в хвилину (галонів в хвилину). В процесі заправки бензин зливається зі швидкістю 2 г/хв. Вхідний отвір і злив обидва розташовані нижче вільної поверхні бензину в баку. Скільки часу знадобиться для заповнення бака, якщо він спочатку містить 100 галонів бензину?

Рішення

Відомо: Наповнюється бензобак

Знайти: Час, необхідний для заповнення бака.

Дано:

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Визначення системи та об'ємних витрат в неї та з неї.

Аналіз:

Стратегія\(\rightarrow \quad\) Система\(\rightarrow\) Деформування об'єму бензину всередині бака протягом усього процесу
Властивість підраховувати\(\rightarrow\) Маса масла Період
часу\(\rightarrow\) Кінцевий час

Написання консервації маси для деформуючої відкритої системи, показаної нижче, ми маємо\[\frac{d m_{sys}}{d t}=\dot{m}_{1}-\dot{m}_{2} \nonumber \]

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Бензин в баку утворює систему з рухомою непроникною кордоном.

Припустимо рівномірну щільність і те, що бензин нестисливий,\(\dot{m}=\rho \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}\) і\(m=\rho V\kern-0.8em\raise0.3ex-\). Підстановка цих значень назад у збереження рівняння маси дає

\[\frac{d m_{sys}}{d t} = \dot{m}_1 - \dot{m}_2 \quad \rightarrow \quad \underbrace{ \frac{d}{d t} \left( \cancel{\rho} V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{sys} \right) = \left( \cancel{\rho} \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_1 \right) - \left( \cancel{\rho} \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_2 \right) }_{\text{Density cancels out of all terms}} \quad \rightarrow \quad \frac{d V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{sys}}{d t} = \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_1-\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_2 \nonumber \]

Тепер інтегруйтеся з часом, щоб отримати кінцеву форму часу\[\int\limits_{t_i}^{t_f} \frac{d V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{sys}}{d t} d t = \int\limits_{t_i}^{t_f} \left( \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_1-\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_2 \right) d t \quad \rightarrow \quad \Delta V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys} = \underbrace{ \left(\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_1-\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_2 \right) \Delta t}_{\begin{array}{l} \text { Assumes that volumetric } \\ \text { flow rates are constant } \end{array}} \nonumber \]

Рішення для часового інтервалу\[\Delta t = \frac{\Delta V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{sys}}{\left( \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_1-\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_2 \right)}=\frac{(1000-100) \ \cancel{\mathrm{gal}}}{(10-2) \frac{\cancel{\mathrm{gal}}}{\mathrm{min}}}=112.5 \ \mathrm {minutes} \nonumber \]

Коментар

Як би змінилася ваша відповідь, якщо\(\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_2 = \left(2 \frac{\text {gal}}{\text{min}}\right) \left( \frac{t}{10 \ \text{min} +t}\right) \)?

Приклад - Потік через редуктор

Вода стабільно протікає через сталеву трубу діаметром 3 дюйма, перш ніж вона проходить через штуцер редуктора в трубу діаметром 1 дюйм. Всі діаметри є внутрішніми діаметрами. Середня швидкість в більшій трубі дорівнює 5\(\mathrm{ft} / \mathrm{s}\). Щільність води становить\(62.4 \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}\). Визначте (а) масову витрату та об'ємну швидкість потоку у більшій трубі та (б) об'ємну швидкість потоку та середню швидкість у меншій трубі.

Рішення

Відомо: Вода стабільно тече через редукторний штуцер

Знайти: Об'ємний і масовий витрата в 3-дюймовій трубі. Об'ємна швидкість потоку та середня швидкість в 1-дюймовій трубі.

Дано:

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Визначення системи як води всередині редуктора.

\(\rightarrow \quad \)Стратегічна система - недеформуюча відкрита система, як показано на малюнку, щоб пов'язати потоки на вході та виході.
Властивість для підрахунку - Маса, тому що ми повинні співвідносити потоки в двох місцях
Часовий період - Стабільна проблема, оскільки дані лише ставки.

Написання збереження рівняння маси для цієї відкритої системи дає

\[ \underbrace{ \cancel{ \frac{d m_{sys}}{dt} }^{=0} }_{\begin{array}{c} \text {steady-state} \\ \text {conditions} \end{array}} =\dot{m}_{1}-\dot{m}_{2} \quad \rightarrow \quad \dot{m}_{2}=\dot{m}_{1} \nonumber \]

З визначення середньої швидкості\(\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}=A_{c} V_{\text {avg }}\) ми можемо вирішити\(\dot{m}=\rho A_{c} V_{\text {avg }}\) і для запитуваної інформації на Вході 1:

\[\begin{align*} &\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{1} = A_{c, 1} V_{avg, 1} = \left( \frac{\pi}{4} D_{1}^{2}\right) V_{avg, 1} = \left[ \frac{\pi}{4} \left(\frac{3.00}{12} \ \mathrm{ft}\right)^{2}\right] (5.00 \ \mathrm{ft} / \mathrm{s}) = 0.245 \ \frac{\mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{~s}} \\ &\dot{m}_{1} = \rho \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{1} = \left(62.4 \ \frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{ft}^{3}}\right)\left(0.245 \ \frac{\mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{~s}}\right) = 15.3 \ \frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{s}} \end{align*} \nonumber \]

Тепер на Outlet 2 ми можемо скористатися збереженням масових результатів зверху. Якщо припустити, що щільність рівномірна, то

\[\dot{m}_{2} = \dot{m}_{1} \quad \rightarrow \quad \cancel{ \rho } \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{2} = \cancel{ \rho } \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{1} \quad \rightarrow \quad \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{2} = 0.245 \ \frac{\mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{~s}} \nonumber \]

Щоб знайти швидкість\[\begin{align*} &\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{2}=\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{1} \quad \rightarrow \quad A_{c, 2} V_{avg, 2}=A_{c, 2} V_{c, 1} \quad \rightarrow \quad V_{avg, 2}=\frac{A_{c, 1}}{A_{c, 2}} V_{c, 1} \\ &V_{avg, 2} = \frac{\left(\dfrac{\pi}{4} D_{1}^{2}\right)}{\left(\dfrac{\pi}{4} D_{2}^{2}\right)} V_{avg, 1}=\left(\frac{D_{1}}{D_{2}}\right)^{2} V_{avg, 1}=\left(\frac{3}{1}\right)^{2} \left(5 \ \frac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}}\right) = 45.0 \ \frac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}} \end{align*} \nonumber \]

Приклад — Fill 'er Up - Урок збереження маси

Розглянемо бак для води, показаний нижче. Резервуар можна заповнити за допомогою крана вгорі або вхідного отвору в нижній частині бака. Пол бака має площу\(A_{\text {tank }}=10 \mathrm{~m}^{2}\), а стінки бака вертикальні.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Визначення системи та двох вхідних отворів, що ведуть в неї.

Під рукою стоїть питання, скільки часу буде потрібно, щоб підняти рівень\(h\) води з 2 метрів до 5 метрів, якщо я заливаю бак з впускним отвором на дні бака? Що робити, якщо я використовую кран у верхній частині бака? Чи буде це мати якусь різницю?

Наповнення бака з вхідного отвору в підлогу бака

Для цілей цього аналізу ми повинні вибрати систему, матеріал для підрахунку та період часу:

Система\(\rightarrow\) підбирає обсяг води всередині бака. (Див. Пунктирні лінії на малюнку вище. Маса може надходити в цей обсяг на 1 і верхня межа бака, яка відповідає вільній поверхні води в резервуарі, рухається разом з водою вгору і вниз. Назвіть цю Систему I.)

Матеріал для підрахунку\(\rightarrow\) Маса води всередині системи

Період часу\(\rightarrow\) Оскільки нас просять знайти кількість часу, нам врешті-решт знадобиться аналіз скінченного часу. (Однак мій досвід, яким я ділюся з вами, говорить мені, що найпростіше почати з форми швидкості (нескінченно малий період часу), а потім інтегрувати, щоб отримати форму скінченного часу.)

Застосування збереження рівняння маси до цієї системи дає наступне:

\[ \frac{d m_{sys}}{dt} = \dot{m}_1 \nonumber \]

Тепер, щоб отримати рівень або глибину залягання води в проблему, потрібно розглянути, як маса системи пов'язана з глибиною залягання води. Застосування фундаментального рівняння для обчислення маси всередині системи дає наступний результат:

\[ m_{sys} = \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys}} \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- = \underbrace{ \rho \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys}} d V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{\begin{array}{c} \text {Assume} \\ \text {uniform} \\ \text{density} \end{array}} = \rho V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{sys} = \underbrace{ \rho A_{\text{tank}} h }_{\text{Since} V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys} = A_{\text{tank}} h} \nonumber \]

Аналогічно нам потрібно визначити масову витрату на 1 з точки зору відомої інформації наступним чином:

\[\dot{m}_{1} = \int\limits_{A_1} \rho V_{\text{n, rel}} \ dA = \underbrace{\rho_{1} \int_{A_1} V_{\text {n, rel}} \ dA}_{\begin{array}{c} \text { Uniform density} \\ \text {at the inlet} \end{array}} = \underbrace{\rho_1 V_1 \int\limits_{A_1} dA}_{\begin{array}{c} \text { Uniform velocity } \\ V_1=V_{\text{n, rel}} \end{array}} = \rho_{1} V_{1} A_{1} \nonumber \]

Тепер ми можемо об'єднати всю цю інформацію назад в збереження рівняння маси Eq. \(\PageIndex{2}\)наступним чином:

\[\begin{align} \frac{d m_{sys}}{d t} &=\dot{m}_{1} \nonumber \\ \frac{d}{d t} \left( \rho A_{\text {tank}} h \right) &= \rho_{1} A_{1} V_{1} \end{align} \nonumber \]

Якщо припустити, що вода нестислива, то щільність води в системі\(\rho\) і щільність води, що надходить в систему\(\rho_{1}\), рівні і збереження рівняння маси зменшується (як розроблено в Eq. \(\PageIndex{5}\)) до

\[\begin{align} A_{\mathrm{tank}} \frac{d h}{d t} &=A_{1} V_{1} \nonumber \\ \frac{d h}{d t} &=\frac{A_{1}}{A_{\mathrm{tank}}} V_{1} \end{align} \nonumber \]

Інтегруючи це рівняння, щоб знайти час, необхідний для\(h\) того, щоб перейти від 2 до 5 метрів, ми будемо використовувати певний інтеграл між зазначеними межами\[\begin{gather} \int d h = \int\left(\frac{A_1}{A_{\text{tank}}} V_1\right) dt = \left( \frac{A_1}{A_{\text{tank}}} V_1 \right) \int dt \quad \rightarrow \quad \int\limits_{h_1}^{h_2} dh=\int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{A_1}{A_{\text{tank}}} V_1 \right) dt = \left(\frac{A_1}{A_{\text{tank}}} V_1 \right) \int\limits_{t_1}^{t_2} dt \nonumber \\ h_{2}-h_{1}=\left(\frac{A_{1}}{A_{\text {tank }}} V_{1}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right) \end{gather} \nonumber \]

Тепер рішення для числової відповіді у нас є

\[ \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{\left( h_2 - h_1 \right) }{\left( \frac{A_1}{A_{\text{tank}} V_1} \right)} = \frac{(5-2) \ \mathrm{m}}{\left( \frac{0.2 \ \mathrm{m}^2}{10 \ \mathrm{m}^2} \right) \left( 3 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)} = 50 \ \mathrm{s} \nonumber \]

Наповнення бака з крана у верхній частині бака

Для цілей цього аналізу ми повинні вибрати систему, матеріал для підрахунку та період часу:

Система\(\rightarrow\) підбирає обсяг води всередині бака. (Див. пунктирні лінії на малюнку нижче.) Маса може надходити в цей обсяг при 2, що є частиною верхньої межі системи. Крім того, вся верхня межа бака, яка відповідає вільній поверхні води в резервуарі, рухається разом з водою вгору і вниз. Назвіть цю Систему II.

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Визначення системи та двох вхідних отворів, що ведуть в неї.

Матеріал для підрахунку\(\rightarrow\) Маса води всередині системи

Період часу\(\rightarrow\) Оскільки нас просять знайти кількість часу, нам врешті-решт знадобиться аналіз скінченного часу. (Однак мій досвід, яким я ділюся з вами, говорить мені, що найпростіше почати з форми швидкості (нескінченно малий період часу), а потім інтегрувати, щоб отримати форму скінченного часу.)

Перш ніж продовжувати, переконайтеся, що ви розумієте різницю між системою, обраною тут (System II), і тією, яка використовувалася раніше (System I). Це дуже важливо.

Розглянемо питання:

• Що знаходиться всередині кожної системи?
• Вони обидві відкриті системи?
• Які межі мають перебіг?
• Які межі рухаються?
• Як би ви очікували, що форма кожної системи зміниться з часом?

Застосування збереження рівняння маси до системи II дає наступне:

\[ \frac{d m_{sys}}{dt} = \dot{m}_2 \nonumber \]

Тепер, щоб отримати рівень або глибину залягання води в проблему, потрібно розглянути, як маса системи пов'язана з глибиною залягання води. Застосування фундаментального рівняння для обчислення маси всередині системи дає наступний результат:

\[ m_{sys} = \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys}} \rho \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- = \underbrace{ \rho \int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-} d V\kern-0.8em\raise0.3ex- }_{\begin{array}{c} \text {Assume} \\ \text{uniform} \\ \text{density} \end{array}} = \rho V\kern-0.8em\raise0.3ex- = \underbrace{ \rho A_{\text{tank}} h }_{\text{Since } V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys} = A_{\text{tank}} h} \nonumber \]

Аналогічно нам потрібно визначити масову витрату на вході 2 з точки зору відомої інформації наступним чином:

\[ \dot{m}_2 = \int\limits_{A_2} \rho V_{\text{n, rel}} \ dA = \underbrace{ \rho_2 \int\limits_{A_2} V_{\text{n, rel}} \ dA }_{\begin{array}{c} \text{Uniform density} \\ \text{at the inlet} \end{array}} = \underbrace{ \rho_2 V_{\text{2, rel}} \int\limits_{A_2} dA }_{\begin{array}{c} \text {Uniform density} \\ V_{2, rel} = V_{n, rel} \end{array}} = \rho_2 V_{\text{2, rel}} dA = \rho V_{\text{2, rel}} A_2 \nonumber \]

На цьому етапі ми повинні бути дуже обережними, щоб правильно розрахувати швидкість маси, що перетинає межу системи. Нагадаємо, що масова витрата визначається щодо деякої межі. Наприклад, масова витрата води, що виходить з крана, тобто, перетинаючи площину виходу крана, становить\(\dot{m}_{tap} = \rho A_{tap} V_{tap}\). Це передбачає, що щільність і швидкість рівномірні в перерізі потоку і що швидкість\(\mathbf{V_{tap}}\) вимірюється щодо площини виходу крана.

Тепер, щоб розрахувати масову витрату в 2 на кордоні нашої системи потрібно, щоб ми знали швидкість руху води щодо кордону системи, яка рухається.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Швидкість зміни верхньої межі системи.

Звертаючись до малюнка, бачимо, що по відношенню до землі (або будь-якої іншої нерухомої точки) на малюнку\(V_{boundary}\) можна накидати швидкість струменя\(V_{tap}\) і швидкість кордону. Положення кордону (вільної поверхні води) можна визначити з точки зору висоти поверхні,\(h\) виміряної від дна резервуара. Швидкість кордону по відношенню до дна резервуара (нерухомої точки) можна визначити як\(V_{boundary} = dh/dt\).

Для обчислення відносної швидкості рідини, що надходить в систему, виміряної щодо рухомої межі, ми повинні вдатися до основних фізичних співвідношень для розрахунків відносної швидкості:

Заданий об'єкт, що\(A\)\(V_A\) рухається зі швидкістю, виміряною відносно нерухомої точки,\(O\) і об'єкт, що\(B\)\(V_B\) рухається зі швидкістю, виміряною відносно тієї ж нерухомої точки\(O\), потім

відносна швидкість по\(A\) відношенню до\(B\) є\( \mathbf{V}_{A/B} = \mathbf{V}_A – \mathbf{V}_B\) і

відносна швидкість по\(B\) відношенню до\(A\) є\(\mathbf{V}_{B/A} = \mathbf{V}_B – \mathbf{V}_A\).

Застосування цього результату до нашої проблеми вище дає результат, який

\[ \begin{align} \mathbf{V}_{2, \text{rel}} &= \mathbf{ V _{tap/boundary} } \nonumber \\ &= \mathbf{V}_{\text{tap}} - \mathbf{V}_{\text{boundary}} \nonumber \\ V_{2, \text{rel}} \mathbf{i}_{\text{in}} &= V_{\text{tap}} \mathbf{i}_{\text{in}} - \left( - V_{\text{boundary}} \mathbf{i}_{\text{in}} \right) \\ &= \left( V_{\text{tap}} + V_{\text{boundary}} \right) \mathbf{i}_{\text{in}} \nonumber \\ V_{2, \text{rel}} &= V_{\text{tap}} + V_{\text{boundary}} = V_{\text{tap}} + \frac{dh}{dt} \nonumber \end{align} \nonumber \]

де\(\mathbf{i}_{\text{in}}\) - одиничний вектор, що вказує в систему (див. Малюнок вище рухомої межі).

Зверніть увагу, що Eq. \(\PageIndex{12}\)має фізичний сенс. Межа системи і вода, що надходить рухаються назустріч один одному; таким чином, збільшення швидкості крана або збільшення швидкості зміни\(h\) призведе до збільшення відносної швидкості води, що перетинає межу системи, виміряну щодо рухомої межі.

Тепер об'єднання цих результатів зі збереженням рівняння маси дає\[\frac{d m_{\mathrm{sys}}}{d t}=\dot{m}_{2} \quad \rightarrow \quad \frac{d}{dt} \left( \rho A_{\mathrm{tank}} h \right) = \rho_{2} A_{2} V_{2, \mathrm{rel}} \quad \rightarrow \quad \frac{d}{dt} \left( \rho A_{\mathrm{tank}} h \right) = \rho_{2} A_{2} \left( V_{\mathrm{tap}} + \frac{d h}{d t} \right) \nonumber \]

Знову припускаючи, що вода є нестисливою речовиною, а також припускаючи, що область\(A_{2}=A_{\text {tap }}{ }^{1}\) дає нам наступний результат:

\[\begin{gather} \frac{d}{d t}\left(\rho A_{\text {tank }} h\right)=\rho_{2} A_{2}\left(V_{\text {tap }}+\frac{d h}{d t}\right) \quad \rightarrow \quad \rho A_{\text {tank }} \frac{d h}{d t}=\rho_{2} A_{2}\left(V_{\text {tap }}+\frac{d h}{d t}\right) \nonumber \\ \left(A_{\text {tank }}-A_{2}\right) \frac{d h}{d t}=A_{2} V_{\text {tap }} \nonumber \\ \frac{d h}{d t}=\left(\frac{A_{2}}{A_{\text {tank }}-A_{2}}\right) V_{\text {tap }} \end{gather} \nonumber \]

Інтеграція Eq. \(\PageIndex{14}\)як і раніше, отримуємо:

\[h_{2} - h_{1} = \left( \frac{A_2}}{A_{\text {tank}}-A_2} \right) V_{\text {tap}} \left( t_2-t_1 \right) \nonumber \]

І вирішуючи для числових відповідей, отримаємо

\[\Delta t = t_2 -t_1 = \frac{ \left( h_2-h_1 \right) }{\left[ \left(\frac{A_2}{A_{\text {tank}}-A_2} \right) V_{\text {tap}} \right]}=\frac{(5-2) \ \mathrm{m}}{\left[ \left( \frac{0.2 \ \mathrm{~m}^{2}}{(10-0.2) \ \mathrm{m}^{2}} \right) \left( 3 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right) \right]}=49 \ \mathrm{~s} \nonumber \]

Примітка: Слід зазначити, що припущення,\(A_{2}=A_{\text {tap}}\) яке безпосередньо пов'язане з нашим припущенням, що абсолютна швидкість струменя водопровідної води на кордоні така ж, як і швидкість води, що виходить з крана\(V_{\text {tap}}\)

---

Порівняння результатів

Яка компоновка «наповнює» бак швидше? Це здається вам дивним?

Як би змінилося порівняння\(A_{\text{tap}} = A_1 = 1 \ \mathrm{m}^2\)? Чи буде система II все ще швидшою?

• Система I:
• Система II:

Припустимо, я почав з порожнього бака. Чи завжди буде потрібно менше часу, щоб «наповнити» бак, якщо я використовую кран?